Bài 4 tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
|
Sách giải toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Luyện tập (trang 77) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Lời giải  Ta vẽ ΔABC và 3 đường trung tuyến AM, BN, CP Trong đó : M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB Lời giải Ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm •AD có là đường trung tuyến của tam giác ABC hay không ? •Các tỉ số Lời giải •AD có là đường trung tuyến của tam giác ABC Vì trên hình 22 ta thấy, D là trung điểm BC (BD = CD = 4 đơn vị độ dài) •Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? Lời giải: + G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH. Theo tính chất đường trung tuyến Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS
Hình 25 Lời giải: Hình vẽ cho ta biết hai đường trung tuyến MR và NS cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác MNP Vì vậy ta điền số như sau: – Ta chứng minh: G là trọng tâm của tam giác MNP và MR và NS là hai đường trung tuyến. Nên theo tính chất đường trung tuyến ta có Ta có
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giải: ΔABC vuông tại A có BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pitago) ⇒ BC2 = 32 + 42 = 25 ⇒ BC = 5 (cm) Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM là trung tuyến. Vì theo đề bài: trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) Lời giải:
Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN. Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A) ⇒ AM = AN. Xét ΔABM và ΔACN có: AM = AN AB = AC Góc A chung ⇒ ΔABM = ΔCAN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng). (Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn kiến thức lớp 7 nên mình xin sẽ không trình bày.) Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) Lời giải: Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.
Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A) ⇒ AM = AN. Xét ΔABM và ΔACN có: AM = AN AB = AC Góc A chung ⇒ ΔABM = ΔCAN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng). (Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn kiến thức lớp 7 nên mình xin sẽ không trình bày.) Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) Lời giải: Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. ⇒ G là trọng tâm của tam giác Mà BM = CN (theo gt) ⇒ GB = GC ⇒ GM = GN. Xét ΔGNB và ΔGMC có : GN = GM (cmt) GB = GC (cmt) ⇒ ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) ⇒ NB = MC. Lại có AB = 2.BN, AC = 2.CM (do M, N là trung điểm AC, AB) ⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A. Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) Lời giải: Giả sử ΔABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. ⇒ G là trọng tâm của tam giác Mà BM = CN (theo gt) ⇒ GB = GC ⇒ GM = GN. Xét ΔGNB và ΔGMC có : GN = GM (cmt) GB = GC (cmt) ⇒ ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) ⇒ NB = MC. Lại có AB = 2.BN, AC = 2.CM (do M, N là trung điểm AC, AB) ⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A. Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI. b) Các góc DIE và góc DIF là những góc gì? c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI. Lời giải: a) Xét ΔDEI và ΔDFI có: DI là cạnh chung DE = DF (gt) IE = IF (I là trung điểm EF) ⇒ ΔDEI = ΔDFI (c.c.c) b) Vì ΔDEI = ΔDFI c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = EF/2 = 5cm. Ta có : Theo định lý Pitago trong tam giác vuông DIE ta có : DE2 = DI2 + EI2 ⇒ DI2 = DE2 – EI2 = 132 – 52 = 144 ⇒ DI =12 (cm). Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) GA = GB = GC Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26. Lời giải: Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P. Khi đó AM, BN, CP đồng quy tại trọng tâm G. Ta có: ∆ABC đều suy ra: + ∆ABC cân tại A ⇒ BN = CP (theo chứng minh bài 26). + ∆ABC cân tại B ⇒ AM = CP (theo chứng minh bài 26). ⇒ AM = BN = CP (1) Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến: Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC. Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Luyện tập (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2) a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC. b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC. Lời giải: a) Gọi trung điểm BC, CA, AB lần lượt là M, N, P. ⇒ AM, BN, CP là các đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có: GB = 2/3.BN (1) GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2) GM=1/2.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=1/2.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = GM’ . Xét ΔGMC và ΔG’MB có: GM = G’M (chứng minh trên)
MC = MB ⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c) ⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng). Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3) Từ (1), (2), (3) ta có : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP. b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BG, BG’. * M là trung điểm GG’⇒ BM là đường trung tuyến ΔBGG. Mà M là trung điểm BC ⇒ BM = ½ .BC (4) Xét ΔIGG’ và ΔNGA có: IG = GN (chứng minh trên)
GG’ = GA (Vì G là trung điểm AG’) ⇒ ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c) ⇒ G’I = AN (hai cạnh tương ứng) Mà GC = BG’ (chứng minh phần a)) ⇒ Nên PG = BK. ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a) Xét ΔPGB và ΔKBG có: PG = BK (chứng minh trên)
BG chung ⇒ ΔPGB = ΔKBG (c.g.c) ⇒ PB = GK (hai cạnh tương ứng) |
