Bài tập mômen lực vật lý đại cương

Phương trình  \( \frac{d\left( m\vec{v} \right)}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\overrightarrow{F} \)   (2.36) là một trong những phương trình cơ bản của động lực học. Trong nhiều trường hợp, nhất là khi khảo sát các chuyển động quaym chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm, người ta diễn tả phương trình động lực học (2.36) dưới dạng khác: đó chính là định lí về momen động lượng.

1) Momen của một vectơ đối với điểm O

Cho một vectơ  \( \vec{u}=\overrightarrow{AB} \) có gốc tại A và một điểm O cố định. Ta định nghĩa momen của vectơ  \( \vec{u} \) đối với O là một vectơ, kí hiệu là  \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {\vec{u}} \right) \), được xác định bởi tích bởi hữu hướng:  \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {\vec{u}} \right)=\left[ \overrightarrow{OA},\vec{u} \right]=\left[ \vec{r},\vec{u} \right] \)     (2.44)

Vectơ  \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {\vec{u}} \right) \) có:

+ Gốc: tại O;

+ Phương: vuông góc với mặt phẳng chứa  \( \left( O,\vec{u} \right) \);

+ Chiều: tuân theo quy tắc đinh ốc;

+ Độ lớn:  \( {{\mathcal{M}}_{/O}}=ur\sin \theta =ud  \)    (2.45) với d = OH là cánh tay đòn chính bằng khoảng cách từ O đến giá của  \( \vec{u} \).

Từ định nghĩa trên, ta có các tính chất sau:

a) Nếu \( \vec{u} \) có phương qua O thì \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {\vec{u}} \right)=0 \).

b) Nếu \( \vec{u}=\lambda {{\vec{u}}_{1}} \) thì \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {\vec{u}} \right)=\lambda .{{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {{{\vec{u}}}_{1}} \right) \),  \( \lambda  \) là số thực.

c) Nếu \(\vec{u}={{\vec{u}}_{1}}+{{\vec{u}}_{2}}\) thì \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {\vec{u}} \right)={{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {{{\vec{u}}}_{1}} \right)+{{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( {{{\vec{u}}}_{2}} \right) \)

2) Momen động lượng

Momen động lượng của chất điểm là vectơ  \( \overrightarrow{\mathcal{L}} \) được xác định bởi:  \( \overrightarrow{\mathcal{L}}=\left[ \vec{r},\vec{p} \right]=m\left[ \vec{r},\vec{v} \right] \)     (2.46)

 \( \Rightarrow \mathcal{L}=rp\sin \theta =mrv\sin \theta  \)     (2.47)

Với \( \theta \)  là góc giữa  \( \vec{r} \) và  \( \vec{p} \).

Phương, chiều, điểm đặt của vectơ momen động lượng được xác định như ở mục 1. Trong hệ (SI), đơn vị đo momen  động lượng là kilogram mét bình phương trên giây (kgm2/s).

Momen động lượng của hệ chất điểm bằng tổng các momen động lượng của từng chất điểm trong hệ:  \( \overrightarrow{\mathcal{L}}=\sum{{{\overrightarrow{\mathcal{L}}}_{i}}}=\sum{\left[ {{{\vec{r}}}_{i}},{{{\vec{p}}}_{i}} \right]} \)      (2.48)

Trong đó:  \( {{\vec{r}}_{i}} \) là vectơ bán kính hướng từ gốc O đến chất điểm thứ i;  \( {{\vec{p}}_{i}}={{m}_{i}}{{\vec{v}}_{i}} \) là động lượng của chất điểm thứ i.

3) Momen lực

Tương tự, momen của lực  \( \overrightarrow{F} \) đối với điểm O là: \(\overrightarrow{\mathcal{M}}={{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right)=\left[ \vec{r},\overrightarrow{F} \right]\)    (2.49)

Suy ra độ lớn của momen lực:  \( {{\mathcal{M}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right)=r.F.\sin \theta =F.d  \)   (2.50)

Với  \( d=F\sin \theta  \) là cánh tay đòn (khoảng cách từ O đến giá của lực  \( \overrightarrow{F} \)).

Phương, chiều, điểm đặt của vectơ momen lực được xác định như ở mục 1. Trong hệ (SI), đơn vị đo momen lực là newton mét (Nm).

Trong các chuyển động quay tròn quanh tâm O, momen lực còn được gọi là momen quay. Lực  \( \overrightarrow{F} \) luôn được phân tích thành hai thành phần:  \( \overrightarrow{F}={{\overrightarrow{F}}_{n}}+{{\overrightarrow{F}}_{t}} \). Do đó momen lực: \({{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right)=\left[ \overrightarrow{R},\overrightarrow{F} \right]=\left[ \overrightarrow{R},{{\overrightarrow{F}}_{t}} \right]+\left[ \overrightarrow{R},{{\overrightarrow{F}}_{n}} \right]\). Vì thành phần pháp tuyến \({{\overrightarrow{F}}_{n}}\) song song với bán kính quỹ đạo \(\overrightarrow{R}\), nên \(\left[ \overrightarrow{R},{{\overrightarrow{F}}_{n}} \right]=0\).

Do đó, momen lực trong trường hợp này và được xác định bởi: \({{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right)=\left[ \overrightarrow{R},{{\overrightarrow{F}}_{t}} \right]\Rightarrow {{\mathcal{M}}_{/O}}=R{{F}_{t}}\)   (2.51)

Chỉ có thành phần tiếp tuyến của lực mới tạo ra momen quay.

4) Định lí về momen động lượng

Lấy đạo hàm (2.48) theo thời gian, ta có:

\(\frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}}}{dt}=\sum{\frac{d}{dt}\left[ {{{\vec{r}}}_{i}},{{{\vec{p}}}_{i}} \right]}=\sum{\left[ \frac{d{{{\vec{r}}}_{i}}}{dt},{{{\vec{p}}}_{i}} \right]+\sum{\left[ {{{\vec{r}}}_{i}},\frac{d{{{\vec{p}}}_{i}}}{dt} \right]}}\)

Vì \(\left[ \frac{d{{{\vec{r}}}_{i}}}{dt},{{{\vec{p}}}_{i}} \right]=\left[ {{{\vec{v}}}_{i}},{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right]={{m}_{i}}\left[ {{{\vec{v}}}_{i}},{{{\vec{v}}}_{i}} \right]=0\); \(\left[ {{{\vec{r}}}_{i}},\frac{d{{{\vec{p}}}_{i}}}{dt} \right]=\left[ {{{\vec{r}}}_{i}},{{\overrightarrow{F}}_{i}} \right]={{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{i/O}}\left( {{\overrightarrow{F}}_{i}} \right)\)

Nên  \( \frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}}}{dt}=\sum{{{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{i/O}}\left( {{\overrightarrow{F}}_{i}} \right)}={{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}} \)             (2.52)

Định lí 1: Đạo hàm vectơ momen động lượng của một chất điểm (hay hệ chất điểm) theo thời gian bằng tổng các momen của ngoại lực tác dụng lên chất điểm (hay hệ chất điểm) đó.

Nhân hai vế (2.52) với dt rồi tích phân hai vế, ta được:

 \( \Delta \overrightarrow{\mathcal{L}}={{\overrightarrow{\mathcal{L}}}_{2}}-{{\overrightarrow{\mathcal{L}}}_{1}}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\overrightarrow{\mathcal{M}}dt} \)     (2.53)

Nếu momen ngoại lực không đổi thì ta có:  \( \Delta \overrightarrow{\mathcal{L}}={{\overrightarrow{\mathcal{L}}}_{2}}-{{\overrightarrow{\mathcal{L}}}_{1}}=\overrightarrow{\mathcal{M}}.\Delta t  \)      (2.54)

Định lí 2: Độ biến thiên momen động lượng của hệ bằng xung lượng của các momen ngoại lực tác dụng lên hệ.

5) Momen động lượng trong chuyển động tròn

Phương trình (2.52) được xem là phương trình động lực học trong các chuyển động cong. Xét trường hợp riêng, khi chất điểm chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính R thì độ lớn của momen động lượng là:  \( \mathcal{L}=R.p.\sin \theta =Rmv=m{{R}^{2}}\omega  \)

Đặt:  \( I=m{{R}^{2}} \)    (2.55)

I được gọi là momen quán tính của chất điểm đối với điểm O, thì  \( \mathcal{L}=I\omega  \)   (2.56)

Dễ thấy  \( \vec{\omega } \) và  \( \overrightarrow{\mathcal{L}} \) là hai vectơ cùng phương chiều, nên ta có:  \( \overrightarrow{\mathcal{L}}=I\vec{\omega } \)      (2.57)

Khi đó (2.52) trở thành:  \( \frac{d\left( I\vec{\omega } \right)}{dt}={{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right) \)     (2.58)

Đối với một chất điểm chuyển động trên một đường tròn xác định thì I không đổi. Suy ra:  \( I\frac{d\left( {\vec{\omega }} \right)}{dt}=i\overrightarrow{\beta }={{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right) \)    (2.59)

(2.59) là phương trình động lực học trong chuyển động quay của chất điểm quanh tâm O. Nhân hai vế của (2.59) với dt rồi tích phân, ta được:

\(I\left( {{{\vec{\omega }}}_{2}}-{{{\vec{\omega }}}_{1}} \right)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\overrightarrow{\mathcal{M}}dt}\)     (2.60)

Nếu momen lực không đổi thì (2.60) trở thành: \(I.\Delta \omega =I\left( {{\omega }_{2}}-{{\omega }_{1}} \right)=\mathcal{M}.\Delta t\)   (2.61)

6) Định luật bảo toàn momen động lượng

Từ (2.52) suy ra: Đối với chất điểm (hay hệ chất điểm) cô lập, hoặc chịu tác dụng của ngoại lực, nhưng tổng momen của ngoại lực triệt tiêu, thì momen động lượng của chất điểm (hay hệ chất điểm đó) được bảo toàn.

 \( {{\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{/O}}\left( \overrightarrow{F} \right)=0\Rightarrow \frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}}}{dt}=0 \) \( \Rightarrow \overrightarrow{\mathcal{L}}=\overrightarrow{const} \)    (2.62)

Ví dụ: Chất điểm chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm (phương của lực tác dụng luôn đi qua tâm O) thì theo (2.49), momen lực luôn bằng không, do đó:  \( \frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}}}{dt}=0\Rightarrow \overrightarrow{\mathcal{L}} \) không thay đổi. Vì  \( \overrightarrow{\mathcal{L}} \) luôn vuông góc với mặt phẳng  \( \left( O,\vec{p} \right) \) suy ra, mặt phẳng  \( \left( O,\vec{p} \right) \) cố định.

Vậy khi chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm thì quỹ đạo của vật nằm trong một mặt phẳng cố định.

Đối với hệ chuyển động quay xung quanh một trục cố định, nếu tổng momen ngoại lực triệt tiêu thì momen động lượng của hệ được bảo toàn:  \( \mathcal{L}=I\omega =const \). Suy ra, nếu vì lí do nào đó momen quán tính I tăng lên thì hệ sẽ quay chậm lại; ngược lại, nếu I giảm, hệ sẽ quay nhanh hơn. Điều này được áp dụng trong nghệ thuật múa Bale, vũ công thay đổi vị thế tay chân để thay đổi vận tốc quay của mình.