Bài tập về tính đơn điệu của hàm số chứa tham số
þ Xét bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y=f\left( x;m \right)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng, nửa đoạn).
Chú ý: Với hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ thì nó đồng biến trên đoạn $\left[ a;b \right]$. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số các bạn xem chủ đề GTLN, GTNN của hàm số. Lưu ý bất đẳng thức Cosi (AM – GM): Cho các số thực không âm ${{a}_{1}},\text{ }{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ thì ta có: ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}>n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{n}}$. Với hàm số lượng giác $F\left( x \right)=a\operatorname{sinx}+b\cos x+c$ thì $\left\{ \begin{array} {} MaxF\left( x \right)=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ {} MinF\left( x \right)=-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+c \\ \end{array} \right.$. Bài tập xét tính đồng biến nghịch biến của hàm bậc 3 có đáp án
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-6x+m\ge 0\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}+6x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$ Mặt khác ${g}'\left( x \right)=-6x+6=0\Leftrightarrow x=1$. Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=3$. Do vậy $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=+\infty $. Do đó $m\ge 3$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+6x+3m$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\forall x\subset \left( 0;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g\left( x \right)\text{ }\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$ Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\left( x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)=2x-2=0\Leftrightarrow x=1$ $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;\text{ }\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty ;\text{ }g\left( 1 \right)=-1$ nên $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-1$ Do đó $m\le -1$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2x-m$. Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;0 \right]$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right)$ $\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left[ -2;0 \right] \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)$ Mặt khác ${g}'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1$ Lại có $g\left( -2 \right)=0;\text{ }g\left( 0 \right)=0;\text{ }g\left( -1 \right)=-1$. Do vậy $\underset{\left[ -2;0 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=0$ Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}-12x+4m-9\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 4m\le 3{{x}^{2}}+12x+9\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le {{x}^{2}}+4x+3\left( \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right) \right)\left( * \right)$ Xét $g\left( x \right)={{x}^{2}}+4x+3$ trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ ta có: ${g}'\left( x \right)=2x+4=0\Leftrightarrow x=-2$. Ta tìm được $\underset{\left( -\infty ;-1 \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( -2 \right)=-1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \frac{4m}{3}\le -1\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{4}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'={{x}^{2}}+2\left( m-2 \right)x+2m+3$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)$ (Do hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta mở rộng ra đoạn $\left[ 0;3 \right]$). $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le -2m\left( x+1 \right)\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)\Leftrightarrow 2m\le \frac{-{{x}^{2}}+4x-3}{x+1}=g\left( x \right)\left( \forall x\in \left[ 0;3 \right] \right)$ $\Leftrightarrow 2m\le \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)$ Ta có: ${g}'\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}-7x+7}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\xrightarrow{x\in \left[ 0;3 \right]}x=-1+2\sqrt{2}$ Mặt khác $g\left( 2\sqrt{2}-1 \right)=6-4\sqrt{2},\text{ }g\left( 0 \right)=-3,\text{ }g\left( 3 \right)=0$. Do đó $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=-3\Rightarrow 2m\le -3\Leftrightarrow m\le -\frac{3}{2}$.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+12x+m+2$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty \right) \right)$ (Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy $x\in \left[ -1;+\infty \right)$). $\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+12x+2\ge -m\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ -1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$ Ta có: ${g}'\left( x \right)=6x+12>0\left( \forall x\in \left[ -1;+\infty \right) \right),\text{ }g\left( -1 \right)=-7$. Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow -7\ge -m\Leftrightarrow m\ge 7$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m<20 \\ {} m\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.$ Þ có 13 giá trị của tham số m. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{3{{x}^{2}}}$ Hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{3{{x}^{2}}}\ge -m\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$. $\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$. Theo BĐT AM – GM ta có: $3{{x}^{2}}+\frac{1}{3{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{3{{x}^{2}}.\frac{1}{3{{x}^{2}}}}=2$ Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow 2\ge -m\Leftrightarrow m\ge -2$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'={{\left( -m{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+m-2 \right)}^{\prime }}=-3m{{x}^{2}}+2x-3$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -3;0 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} {y}'\le 0 \\ {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3m{{x}^{2}}+2x-3\le 0 \\ {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge \frac{2x-3}{3{{x}^{2}}}=f\left( x \right) \\ {} x\in \left( -3;0 \right) \\ \end{array} \right.$ Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( \frac{2x-3}{3{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2\left( 3-x \right)}{3{{x}^{3}}}>0\left( \forall x\in \left( -3;0 \right) \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -3;0 \right)$. Do đó $\underset{\left( -3;0 \right)}{\mathop{f\left( x \right)}}\,
Lời giải chi tiết Ta có ${y}'={{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m-3 \right)$ Để hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -3;-1 \right)$ và $\left( 0;3 \right)$ thì ${y}'\ge 0$ với mọi $x\in \left( -3;-1 \right)$ và $x\in \left( 0;3 \right)$. Hay ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-\left( m-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+3\ge m\left( 2x+1 \right)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\ge m$ với mọi $x\in \left( 0;3 \right)$ và $\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1}\le m$ với $x\in \left( -3;-1 \right)$. Xét ${f}'\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{2\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\to {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$, để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;3 \right)$ thì $m\le 2$, để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -3;-1 \right)$ thì $m\ge -1\Rightarrow m\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=-{{x}^{2}}+2\left( a-1 \right)x+a+3$ Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$ thì ${y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$ $\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2\left( a-1 \right)x+a+3\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$ $\Leftrightarrow 2ax+a\ge {{x}^{2}}+2x-3\Leftrightarrow a\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}\Leftrightarrow a\ge \underset{\left( 0;3 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\left( * \right)$. Xét hàm số $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}$ trên $\left( 0;3 \right)$. Ta có: ${f}'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$. Vậy $f\left( x \right)
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-4mx-m-1$ Hàm số nghịch biến biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4mx-m-1\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$ $\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-1\le m\left( 4x+1 \right)\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;2 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le m\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$. Xét hàm số $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\text{ }\left( x\in \left[ 0;2 \right] \right)$. Ta có: ${g}'\left( x \right)=\frac{6x\left( 4x+1 \right)-4\left( 3{{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 4x+1 \right)}^{2}}}=\frac{12{{x}^{2}}+6x+4}{{{\left( 4x+1 \right)}^{2}}}>0\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)$ $\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$ Ta có: $g\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}-1}{4x+1}\le \text{m }\left( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 2 \right)=\frac{11}{9}$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Cách 1: Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-2mx+2$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)$. $\Leftrightarrow mx\le 3{{x}^{2}}+1\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge 3x+\frac{1}{x}\text{ }\left( \forall x\in \left( -2;0 \right) \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left( -2;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ Xét $f\left( x \right)=3x+\frac{1}{x}\text{ }\left( x\in \left( -2;0 \right) \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)=3-\frac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=\frac{1}{\sqrt{3}}\text{ }\left( loai \right) \\ {} x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{array} \right.$ Lại có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty ;\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{-13}{2},f\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)=-2\sqrt{3}$ Vậy $m\ge -2\sqrt{3}$. Chọn A. Cách 2: $f\left( x \right)=3x+\frac{1}{x}=-\left[ 3\left( -x \right)+\frac{1}{\left( -x \right)} \right]\le -2\sqrt{3}\Rightarrow \underset{\left( -2;0 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=-2\sqrt{3}$ khi $x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}+m+\frac{1}{{{x}^{6}}}$ Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ $\Leftrightarrow g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge -m\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge -m\left( * \right)$ Lại có: $g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}={{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{6}}}\ge 4\sqrt[4]{{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{6}}}}=4$ (Bất đẳng thức AM – GM) Do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow -m\le 4\Leftrightarrow m\ge -4$. Theo bài ta có $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left( m-1 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)$ (Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ta có thể lấy x trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$) $\Leftrightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}\ge m-1\text{ }\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)\Leftrightarrow \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)\ge m-1\Leftrightarrow 1\ge m-1\Leftrightarrow m\le 2$. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-2{{m}^{2}}x$ Do hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó đồng biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow {y}'\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)$ $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2{{m}^{2}}x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}\ge {{m}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left[ 0;4 \right] \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le 0\Leftrightarrow m=0$. Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: ${y}'=2{{x}^{2}}-2\left( 2m-3 \right)x+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)=2\left( x-m \right)\left[ x-\left( m-3 \right) \right]<0\Leftrightarrow m-3 Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow m-3\le 1\le 3\le m\Leftrightarrow 3\le m\le 4$. Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m=\left\{ 3;4 \right\}$. Chọn C. Lời giải Ta có ${y}'={{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-2=\left[ x-\left( m-2 \right) \right]\left[ x-\left( m+1 \right) \right]$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\text{ }\forall x\in \left( 1;2 \right)\Leftrightarrow \left[ x-\left( m-2 \right) \right]\left[ x-\left( m+1 \right) \right]\le 0$. $\Leftrightarrow m-2\le x\le m+1$ Với $x\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 1\Rightarrow m-2\le 1\Leftrightarrow m\le 3 \\ {} x\le 2\Rightarrow m+1\ge 2\Leftrightarrow m\ge 1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1\le m\le 3$. Suy ra có ba giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x+2m \right)}^{2}}+3\ge 0$ (Luôn đúng). Ta có ${f}'\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3} \right)}^{\prime }}=\frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$, khi đó ${y}'\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow \frac{x+2m}{\sqrt{{{x}^{2}}+4mx+4{{m}^{2}}+3}}\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)$ Suy ra $x+2m\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\le -\frac{x}{2}\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;2 \right) \right)\Leftrightarrow m\le \frac{-2}{2}=-1$. Chọn A.
Lời giải Ta có ${y}'={{\left[ {{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+1 \right]}^{\prime }}=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 PT ${y}'=0$ là hai nghiệm ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$. Hàm số có hai cực trị, khi đó $\text{Δ'}\left( {{y}'} \right)>0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9\left( 2m-1 \right)>0\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$. Khi đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}\text{+ }{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4$ $\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left( 2m-1 \right)=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'={{x}^{2}}-2mx+3-2m$. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $2\sqrt{5}$ khi phương trình ${{x}^{2}}-2mx+3-2m=0\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}$ Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi $\text{Δ'}={{m}^{2}}+2m-3>0$ Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=3-2m \\ \end{array} \right.$ Ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=20\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+8m-12=20\left( t/m \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=-4 \\ {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=-2$. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=\cos x-b$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \cos x-b\le 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge \cos x\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b\ge 1$. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'=2\cos 2x+m$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-2+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 2$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=m\cos x-\sin x+m+1$.Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$. $\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,{y}'=-\sqrt{{{m}^{2}}+1}+m+1\ge 0\Leftrightarrow m+1\ge \sqrt{{{m}^{2}}+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge -1 \\ {} {{m}^{2}}+2m+1\ge {{m}^{2}}+1 \\ \end{array} \right.$ . Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=m-3+\left( 2m+1 \right)\sin x$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow {y}'\le 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ $\Leftrightarrow \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }}\,{y}'=m-3+\left| 2m+1 \right|\le 0\Leftrightarrow 3-m\ge \left| 2m+1 \right|\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 3 \\ {} {{\left( 3-m \right)}^{2}}\ge {{\left( 2m+1 \right)}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 3 \\ {} 3{{m}^{2}}+10m-8\le 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow -4\le m\le \frac{2}{3}$. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+3\left( {{m}^{2}}+4m \right)=3\left( x-m \right)\left( x-m-4 \right);\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=m \\ {} x=m+4 \\ \end{array} \right.$. Do đó phương trình ${y}'=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt Bảng biến thiên Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 1;3 \right]$ thì $\left\{ \begin{array} {} m\le 1 \\ {} m+4\ge 3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le 1 \\ {} m\ge -1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le m\le 1$. Chọn C.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-12mx+12{{m}^{2}}-3=3\left( x-2m+1 \right)\left( x-2m-1 \right);\text{ }{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=2m+1 \\ {} x=2m-1 \\ \end{array} \right.$. Do đó phương trình Bảng biến thiên Để hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ thì $\left\{ \begin{array} {} 2m-1\le 0 \\ {} 2m+1\ge 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le \frac{1}{2} \\ {} m\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{1}{2}$. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3m\left( 3m-2 \right)=3\left( x+m \right)\left[ x-\left( 3m-2 \right) \right]<0$ Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 2;4 \right)$ thì: TH1: $-m\le 2<4\le 3m-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\ge -2 \\ {} m\ge 2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\ge 2$. TH2: $3m-2\le 2<4\le -m\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m\le -4 \\ {} m\le \frac{4}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m\le -4$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 36 giá trị nguyên của m. Chọn B.
Lời giải Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow {y}'=6\left( {{x}^{2}}-m\left( x+1 \right)x+m \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty \right) \right)$ $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-m \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left( \forall x\in \left( 2;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow 2\ge m$. Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2 \right\}$. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=6{{x}^{2}}-6\left( m+2 \right)x+12m\ge 0\text{ }\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m\ge 0$. Giả thiết $\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( x-2 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x-m\ge 0\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow x\ge m\text{ }\left( \forall x>3 \right)\Leftrightarrow 3\ge m$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 14 giá trị của m. Chọn B.
Lời giải Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)$. Ta có: ${y}'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+\left( {{m}^{2}}-1 \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( x-m-1 \right)\left( x-m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge m+1 \\ {} x\le m-1 \\ \end{array} \right.$. Do vậy hàm số đồng biến trên $\left( -\infty ;m-1 \right]$ và $\left[ m+1;+\infty \right)$ Để hàm số đã cho đồng biến trên x$\left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m+1\le 0\Leftrightarrow m\le -1$ .Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 20 giá trị nguyên của m. Chọn D.
Lời giải Ta có: ${y}'=-4{{x}^{3}}+8\left( 3m-2 \right)x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$. $\Leftrightarrow -4{{x}^{3}}+8\left( 3m-2 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( 3m-2 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)$ (Do $-4x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)$) $\Leftrightarrow 2\left( 3m-2 \right)\le {{x}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left( -\infty ;-2 \right) \right)\Leftrightarrow 2\left( 3m-2 \right)\le \underset{\left( -\infty ;-2 \right)}{\mathop{\min }}\,{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow 3m-2\le 2\Leftrightarrow m\le \frac{4}{3}$. Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -20;20 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 22 giá trị của m. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4\left( 2m+3 \right)x$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$. $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4\left( 2m+3 \right)x\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+3 \right)\le 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le 2m+3\text{ }\left( \forall x\in \left( 0;3 \right) \right)\Leftrightarrow 2m+3\ge 9\Leftrightarrow m\ge 3$ Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \mathbb{Z} \\ {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ \end{array} \right.\Rightarrow $có 8 giá trị của m. Chọn A.
Lời giải Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right)x$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$. $\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-8\left( {{m}^{2}}-5 \right)x\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\ge 0\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty \right) \right)$. $\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\le {{x}^{2}}\text{ }\left( \forall x\in \left( 3;+\infty \right) \right)\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}-5 \right)\le 9\Leftrightarrow {{m}^{2}}\le \frac{19}{2}$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ 0;\pm 1;\pm 2;\pm 3 \right\}$. Chọn D. |