Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

BÀI GIẢNG MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Mục lục

CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT. 2

I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP (1) 2

1.Hoán vị: 2

Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí. Ta đooir chỗ các phần tở cho nhau. Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử. Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1. Quy ước 0! = 1  2

2.Tổ hợp: 2

Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử ( k n ), sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau. Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n. ký hiệu:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
và được chứng minh là :
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
=
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
................ 2

3.Chỉnh hợp: 2

4.Luật tích: 3

5. Công thức Newton: 3

I.2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT (2+1) 3

1. Phép thử và biến cố: 3

2. Khái niệm và định nghĩa về xác suất: 4

2.2.Định nghĩa thống kê về xác suất 7

3. Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ. 8

4.Quan hệ giữa các biến cố. 8

BÀI TẬP. 10

I.3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ( 2 + 1 ) 14

1.Định lý cộng xác suất: 14

2. Định lý nhân xác suất 15

3. Công thức Becnuni: 17

4. Công thức xác suất đầy đủ: 18

5.Công thức Bayes: 19

BÀI TẬP. 20

CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT. 21

II.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN (1) 21

1.Định nghĩa: 21

2. Phân loại biến ngẫu nhiên: 21

II.2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN.. 22


CHƯƠNG I: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

I.1-BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP (1)

1.Hoán vị:

 Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí. Ta đooir chỗ các phần tở cho nhau. Số cách đổi chỗ của na phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử. Số cách ấy được chứng mih bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1. Quy ước 0! = 1

Thí dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. có các cách xếp như sau: ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC Cả thảy có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp.

2.Tổ hợp:

Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử ( k n ), sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau. Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là mọt tổ hợp chập k của n. ký hiệu:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
và được chứng minh là :
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
=
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Chú ý:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 như vậy số cách lấy ra k phần tử từ tập hợp n phần tử cũng bằng số cách lấy ra n-k phần tử còn lại.

         

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 2: chọn ngẫu nhiên 2 người trong một nhóm 3 người A,B,C ta có số cách chọn là:

Giải:  số cách chọn là :   

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
      cách chọn:  AB, AC, BC

3.Chỉnh hợp:

          Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhât một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của các phần tử là khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. ký hiệu :

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 và được chứng minh:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
. ( tích của k số tự nhiên liên tiếp mà số lớn nhất là n)

Thí dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong nhóm 3 người A, B, C để đi làm một nhiệm vụ nào đó. Ai được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng.

Giải: Theo thí dụ 2 ta đã có 3 cách chọn AB, AC, BC

Do hai cách chọn khác nhau còn kể đến thứ tự nên có thêm 3 cách chọn: BA, CA, CB . do đó có tất cả 6 cách chọn. theo công thức:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, do cách chọn theo nghĩa chỉnh hợp có kể tới thứ tự chọn ( có k! cách hoán vị k phần tử )  nên sẽ có:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

4.Luật tích:

Nếu có 2 công việc A1 và A2 khác nhau sao cho có k1 cách thực hiện công việc A1, k2 cách thưch hiện công việc A2 thì số cách thực hiện liên tiếp hai công việc A1 và A2 là k1.k2.

Thí dụ 4: Có bao nhiêu cách lấy ra 5 con bài từ 52 quân bàì của bộ tú lơ khơ sao cho có 3 con át và 2 con 10.

Giải:   Số cách lấy ra 3 con át:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

          Số cách lấy ra 2 con 10: 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

          Số cách lấy ra 3 con át và 2 con 10 là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

5. Công thức Newton :

         

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

I.2. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT (2+1)

1. Phép thử và biến cố:

          Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặt sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện. Việc tung con xúc xắc đó là một phép thử còn việc xuất hiện mặt nào đó là biến cố.

          Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.

Thí du 1: Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Việc lấy ngâu nhiên một sản phẩm là một phép thử còn việc lấy được chính phẩm hay phế phẩm là biến cố.

          Vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện

Các loại biến cố:

+ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử. Ký hiệu : U

Thí dụ 2: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc. Gọi U là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 6 “ . U là biến cố chắc chắn.

+ Biến cố không thể có : Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ký hiệu là: V

Thí dụ 3: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc. Gọi V là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 7 “ . V là biến cố không thể có.

+Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử được thực hiện. Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, …..

 + Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa

Thí dụ 4: khi tung một con xúc xắc, gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i:=1;2;3;4;5;6) Ai là một biến cố ngẫu nhiên. Và thêm nữa đó là các biến cố sơ cấp; gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ B xảy ra khi hoặc A2; hoặc A4, hoặc A6 xảy ra nên B không là biến cố sơ cấp.

2. Khái niệm và định nghĩa về xác suất:

          Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điều kiện, tính ngẫu nhiên  của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó cho thấy có thể định lượng ( đo lường) khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.

          Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.

2.1.Định nghĩa cổ điển về xác suất:

          Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số trường hợp thuận lợi cho A và tổng số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó.

          Ký hiêu : P(A) là xác suất của biến cố A; m là số trường hợp thuận lợi cho A; n là số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử. Khi đó:

                            

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
                         (1.1)

2.1.1. Các tính chất của xác suất:

a.   0 < P(A) < 1

b.       P(U) = 1

c.       P(V) = 0

2.1.2. Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển.

+ Phương pháp suy luận trực tiếp:

Thí dụ 1: Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất .Tìm xác suất xuất hiện mặt có số chấm chẵn.

Giải: Gọi a là biến cố” xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ khi gieo một lần con xúc xắc số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra là n = 6. Biến cố A sẽ xảy ra khi xuất hiện mặt 2 chấm, hoặc 4 chấm, hoặc 6 chấm, nên m = 3. Ta có

                  

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

+ Phương pháp dùng sơ đồ:

Thí dụ 2: ( dạng bảng ma trận )

Tung một con xúc xắc hai lần. tìm xác suất để trong đó có một lần được 6 chấm.

          Giải: gọi A la biến cố “ Trong hai lần tung có một lần được 6 chấm “ Ta mô tả số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử nhờ bảng sau:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
I         II

1

2

3

4

5

6

1

11

12

13

14

15

16

2

21

22

23

24

25

26

3

31

32

33

34

35

36

4

41

42

43

44

45

46

5

51

52

53

54

55

56

6

61

62

63

64

65

66

Có 36 trường hợp duy nhât đồng khả năng, n = 36

Có 10 trường hợp thuần lợi cho A, m = 10

Vậy     P(A) = 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Thí dụ 3: ( dạng tập hợp biểu đồ Ven)

Trong một lớp 50 học sinh có:

20 người chơi bóng đá

15 người chơi bóng chuyền

10 người chơi bóng rổ

8 người chơibongs đá và bóng chuyền

5 người chơi bóng đá và bóng rổ

1 người chơi bóng đá, bóng chuyền và bóng rổ.

Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tìm xác suất để người đó chơi ít nhất 1 môn bóng.

          Giải: gọi A là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một học sinh và học sinh đó biết chơi ít nhất 1 môn bóng “

Ta minh họa bởi sơ đồ sau: 

Số trường hợp thuận lợi là m = 8+5 + 3+7+4+1+2 = 30

Số trường hợp có thể là n = 50

Vậy 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

+ Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp:

Thí dụ 4: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ là chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi.

          Giải: gọi B là biến cố “ quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi “. Số trường hợp duy nhất đồng khả năng là số các trường hợp lập được hai số cuối từ 10 chữ số; 0; 1; 2…; 9 là

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 . Số trường hợp thuận lợi là m = 1

          Vậy:  

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để;

a.     Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm

b.     Trong 3 sản phẩm lấy ra có dúng 2 chính phẩm

Giải: a. Gọi a là biến cố “ lấy ra được 3 chính phẩm”. Số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra là n =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 . số trường hợp thuận lợi cho A là :
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
.  Vậy:
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

b. Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm”.  Số trường hợp lấy được 2 chính phẩm là :

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
, thêm nữa sản phẩm thứ 3 phải là phế phẩm có
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 cách lấy. Do đó số trường hợp thuận lợi cho B là:
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

    Vậy:     

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 6: Trong 3 tháng cuối năm biết rằng có 5 máy đã bị hỏng. Tìm xác suất để không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng.

     Giải; Gọi A là biến cố “ không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng”. Số trường hợp có thể đồng khả năng là chỉnh hợp lặp chập 5 của 92 phần tử

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 . Số trường hợp thuận lợi là số chỉnh hợp chập 5 của 92 phần tử m =
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
     Vậy
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

*Nhận xét:

- Để tìm xác suất của một biến cố bằng định nghĩa cổ điển, ta không cần thực hiện phép thử ( phép thử chỉ là giả định

- Cho phép tính chính xác giá trị của xác xuất ( nếu đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa )

- Định nghĩa cổ điển về xác suất chỉ dùng được trong trường hợp số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là số hữu hạn.

- Việc đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa cổ điển xác suất trên thực tế là khó đạt được chẳng hạn tính cân đối và đồng chất của một con xúc xắc.

2.2.Định nghĩa thống kê về xác suất

2.2.1. Định nghĩa 1: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thứ là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện

Ký hiệu : tần suất của biến cố A là f(A); k là số lần xuất hiện biến cố A; số phép thử là n thì:  

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 1: khi kiểm tra ngẫu nhiên 90 sản phẩm sản xuất do một xí nghiệp sản xuất, phát hiện ra 7 phế phẩm. gọi A là biến cố: “xuất hiện phế phẩm”. Vậy tần suất xuất hiện phế phẩm là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

`    Người ta nhận thấy rằng nếu tiến hành thí nghiệm trong những điều kiện như nhau và số phép thử khá lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định của nó khá lớn.

2.2.2. Định nghĩa 2: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f  xuất  hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh p khi số phép thử tăng lên vô hạn.

     Như vậy với n đủ lớn ta có thể lấy:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

·        Nhận xét:

-         Ưu điểm của định nghĩa thông kê xác suất là không đòihỏi các điều kiện như định nghĩa cổ điển

-         Hạn chế là phải thực hiện số phép thử đủ lớn và chỉ áp dụng được với những biến cố mà tần suất của nó có tính ổn định

   2.3. Định nghĩa tiên đề về xác suất: 

          Gọi ( E1, E2,….,En ) là không gian các biến cố sơ cấp ( Thực tế là tập hợp tất cả các khả năng có thể của một phép thử ). Mỗi biến cố A là một tập con trong  không gian đó.

          Tiên đề 1: Với mọi biến cố A đều có P(A)

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

          Tiên đề 2: Nếu ( E1, E2,….,En ) tạo nên không gian các biến cố sơ cấp thì :

                   P(E1) + P(E2)+….+ P(En) = 1

          Tiên đề 3: Nếu biến cố A1; A2;….Ak;…là các tập con không giao nhau của các biến cố sơ cấp thì:

                            

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

3. Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ

3.1. Nguyên lý xác suất nhỏ:  Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. 

          Tuy nhiên một xác suất như thế nào được xem là nhỏ phải tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Ví như xác suất để dù (dùng cho nhảy dù) không mở là 0,01 thì cũng không thể coi là nhỏ và không thể dùng loại dù đó. Nhưng nếu xác xuất để tàu về ga chậm là 0,01 thì lại có thể xem là tàu về ga đúng giờ.

3.2. nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử  

4.Quan hệ giữa các biến cố.

+.Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
, nếu và chỉ nếu A xảy ra suy ra B xảy ra.

+ Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

+Tổng của hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
( hoặc A + B ) xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra.

+ Tích hai biến cố: Tích hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ( hay A.B) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra

+ Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau khi và chỉ khi xảy ra A thì không xảy ra B và ngược lại Hay A.B =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

+ Hiệu của biến cố A và biến cố B: là một biến cố ký hiệu là A \ B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.


BÀI TẬP

1.lấy ngẫu nhiên ba quân bài từ một cỗ bài có 52 quân. Tìm xác suất để :

          a. Được 3 quân át

          b. Được 1 quân át

Giải: a. Gọi biến cố A là “ lấy được 3 quân át”

Số trường hợp có thể đồng khả năng là :

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Số trường hợp thuận lợi cho A là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Vậy P(A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
= 0,000181

b.Gọi B là biến cố ‘ lấy 2 con bài được 1 con át”

Số trường hợp thuận lợi cho B là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ( có 4 cách chon 1 con át, mỗi cách đó lại có tổ hợp chập 2 của 48 con bài không có át)

Vậy

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

2.Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách. Tìm xác suất để:

          a. Tất cả cùng ra ở tầng 4

          b. Tất cả cùng ra ở một tầng

          c. Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.

Giải: Gọi biến cố tương ứng với a, b, c là A, B, C

số trường hợp có thể đồng khả năng cho cả a, b, c là: n =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  ( Chỉnh hợp lặp chập 3 của 6 phần tử do mỗi khách đều có 6 khả năng để ra ở 6 tầng còn lại của tòa nhà )

a.     Số trường hợp thuận lợi cho A là:  m = 1 Do đó P(A) = 1/216

b.     Số trường hợp thuận lợi cho B là:  m = 6     ; P(B) = 6/216 = 1/36

c.      Số trường hợp thuận lợi cho C là:   m =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 P(C ) = 5/9

Bài 5. Tại một thành phố có 7 siêu thị khác nhau. Có 3 khách du lịch, mỗi ng­ười ngẫu nhiên đi đến một siêu thị để mua sắm. Tính xác suất để

a- ba ng­ười đến 3 siêu thị khác nhau.

b- ba ng­ười không cùng đến một siêu thị.

c- có ít nhất 2 ng­ười cùng đến một siêu thị.

Giải:  Số trường hợp có thể:  mõi người đều có đồng khả năng để đến các hách sạn nên n =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

a.    Số trường hợp thuận lợi cho a) m =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

b.    Gọi  A là biến cố “ cả 3 người cùng vào một siêu thị” thì

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 là biến cố “ 3 người không cùng đến một siêu thi”  P(
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ) = 1 – P(A)  =
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
.

c.    Gọi C1 là biến cố có đúng hai người vào cung một siêu thị; C là biến cố có ít nhất 2 người vào cung một siêu thị, thì : C = C1 + A, do C1 và A là các biến cố độc lập nên P(C) = P(C1) + P(A).

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 cách lấy 2 người cùng nhau đi từ 3 người

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 cách 2 người cùng vào một siêu thị trong 7 siêu thị và khác với siêu thị mà người còn lại vào

Số trường hợp thuận lợi cho C1 là m =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Vậy: P(C) = 18/49 + 1/49 = 19/49

Đáp số:         a.    30/49;     b.    48/49;      c.    19/49

3.Tìm xác suất để 3 người gặp nhau ngẫu nhiên ngoài đường thì họ: ( một năm có 360 ngày )

a. Có ngày sinh nhật khác nhau.

b. Có ngày sinh nhật trùng nhau .

Giải: Số trường hợp có thể đồng khả năng là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 = 7711320

Số trường hợp thuận lợi cho a là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
= 7647059        vậy:  P(A) = 0,992

Số trường hợp thuận lợi cho b là: 1     P(B) = 1/7711320

4. Có thể xem xác suất sinh con trai là bao nhiêu nếu theo dõi 88200 trẻ sơ sinh ở một vùng thấy có 45.600 con trai.

Giải: Gọi A là biến cố “sinh con trai ở vùng nọ”

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
f(A) =
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

5. Số lượng nhận viên của công ty A được phân loại theo lứa tuổi và giới tính như sau:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
                          Giới tính

Tuổi

Nam

nữ

Tổng

Dưới 30

120

170

290

Từ 30 đến 40

260

420

680

Trên 40

400

230

630

Tổng

780

820

1600

Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người của công ty thì được:

a.Một nhân viên từ 40 tuổi trở lên

b.Một nam nhân viên trên 40 tuổi

c. một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống

Giải:

a.

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

b.

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

c.

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

6.Ba nữ nhân viên phục vụ A, B, C, thay nhau rửa chén trong một tháng (30 ngày) và giải thiết ba người này đều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. tìm xác suất để:

a. Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén

b. Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén.

c. Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén.

Giải: Do khả năng vỡ của 4 chén đều có thể vỡ vào một ngày nào đó của tháng nên số trường hợp có thể duy nhất đồng khả năng là: n =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

a.  Số trường hợp thuận lợi cho a là:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  ( có 4 cách chọn 3 chén trong 4 chén, ứng với mỗi cách đó lại có chỉnh hợp lặp chập 3 của 10 khả năng A làm vỡ 3 chén, tiếp đó lại có 10 khả năng b làm vỡ 1 chén )             

 Vậy P(A) = 4/81

b. Có

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 chọn 3 trong 4 chén vỡ

      3 cách chọn 1 trong 3 người làm vỡ 3 chén

    có 103 khả năng người làm vỡ 3 chén trong 10 ngày mình phụ trách

    có 2 khả năng cho hai người còn lại làm vỡ 1 chén, mỗi trường hợp này lại có 10 khả năng làm vỡ trong 10 ngày mà họ phụ trách. Các khả năng trên xảy ra liên tiếp nên:

Số trường hợp thuận lợi cho b là : m = 4.3.103.2.10

Vậy P(B) = 8/27


I.3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT ( 2 + 1 )

1.Định lý cộng xác suất:

1.1. Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố xung khắc bằng tổng các xác suất của các biến cố đó.

 Hệ quả 1: Cho A1, A2, …, An là các biến cố xung khác từng đôi khi đó:

               

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 1: Xác suất để một xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45. xạ thủ đó bắn một viên đạn. tìm xác suất để xạ thủ đó bắn được ít nhất 9 điểm.

Giải: gọi A là biến cố “ Xạ thủ bắn được ít nhất 9 điểm”,  A1 là biến cố “ Xạ thủ bắn trúng điểm 10”; A2 là biến cố “Xạ thủ bắn trúng điểm 9 “ khi đó A1 và A2 là xung khắc với nhau và A = A1+ A2 . theo định lý công xác suất

                   P(A) = P(A1) + P(A2) = 0,1 + 0,2 = 0,3

1.2.Nhóm đầy đủ các biến cố: Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúng xung khắc từng đôi với nhau và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn

Thí dụ 2: Khi gieo một con xúc xắc, gọi Ai (i:= 1,2,..,6) là biến cố xuất hiện mặt  i chấm thì các biến cố Ai lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố

Hệ quả 2: Nếu các biến cố A1, A2, …, An là nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng các xác suất của chúng bằng 1.

+ Biến cố đối lập:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 là biến cố đối lập của A nếu chúng tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố  (
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 )

 Thí dụ 3: Bắn một viên đạn vào bia, gọi A là biến cố “ bắn trúng bia”

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 là biến cố “ bắn không trúng bia thì A va
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 là đối lập nhau.

Hệ quả 3: Tổng xác suất của hai biến cố đối lập nhau bằng 1

Thí dụ 4: Trong hòm có n sản phẩm, trong đó có m chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm. tìm xác suất để trong đó có ít nhất một chính phẩm.

          Giải: Gọi A là biến cố “ Trong k sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm” thì biến cố đối lập

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 là “ trong k sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm” Vậy; P(A) = 1 – P(
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 )

Số trường hợp có thể đồng khả năng là

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Số trường hợp thuận lợi cho

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ( số phế phẩm) là: n – m

         

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  Từ đó tính được P(A)

Thí dụ 5: Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ra 6 chi tiết thì có không quá một chi tiết hỏng.

          Giải: gọi A0 là biến cố “ 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”; A1 là biến cố ‘ trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”; A là biến cố “ trong 6 chi tiết lấy ra có không quá một chi tiết hỏng”

Vậy ; A = A0 + A1 vì A0 và A1 là xung khắc do đó

 P (A) = P(A0+A1) =P(A0) +P(A1) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

2. Định lý nhân xác suất

2.1.Định nghĩa 1: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất của biến cố kia và ngược lại. còn nếu không như thế tức là việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này làm thay đổi xác suất của biến cố kia thì hai biến cố đó gọi là phụ thuộc nhau.

Thí dụ 1: Trong bình có 2 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Gọi A là biến cố “ lấy được cầu đen. Khi đó P(A) = 3/5. Quả cầu được bỏ lại bình và tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 quả. Gọi B là biến cố lấy được cầu đen lần thứ hai, khi đó P(B) = 3/5. Vậy A và B là độc lập nhau.

          Nếu sau khi lấy ra 1 quả cầu lần thứ nhất ta lại hoàn quả cầu lại và lấy ngấu nhiên 1 quả lần thứ hai, thì:

 Lần thứ nhất P(A) = 3/5, và nếu biến cố A xảy ra thì P(B) = 1/2 òn nếu biến cố A không xảy ra thì P(B) = 3/4 Vậy A và B là phụ thuộc nhau.

*Chú ý: Nếu A và B độc lâp thì A và

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
;
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 và B ; 
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 cũng độc lập với nhau 

2.2.Định nghĩa 2: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp hai trong n biến cố đó độc lập với nhau

2.3.Định nghĩa 3: Các biến cố A1, A2, …, An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tổ hợp tùy ý của các biến cố còn lại.

Nhiều bài toán khi biểu diễn các biến cố phức hợp dưới dạng các biến cố đơn giản hơn bằng việc sử dụng phép nhân các biến cố

Thí dụ 2: Một máy sản xuất ra ba sản phẩm. Ta xét các biến cố sơ cấp sau:

 Ai Sản phẩm thứ i là chính phẩm

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  Sản phẩm thứ i là phế phẩm      i:= 1;2;3

Gọi B là biến cố trong ba sản phẩm sản xuất ra có đúng một chính phẩm thì:

B =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Gọi C là biến cố “ Trong ba sản phẩm có ít nhất hai sản phẩm là chính phẩm

C =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

2.4. Định lý 1: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần.

                   P(A.B) = P(A).P(B)

Hệ quả 1: Nếu A và B độc lập thì:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 khi P(B) > 0 và P(A) > 0

Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố độc lập toàn phần bằng tích các xác suất thành phần.

                  

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 3: Có hai cái hộp đưcngj chi tiết. hộp thứ nhất đựng 10 cái ốc, trong đó có 6 cái tốt. hộp thứ hai đựng 15 cái vít, trong đó có 9 cái tốt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chi tiết. tìm xác suất để lấy được bộ ốc vít tốt.

Giải: gọi A1 là biến cố lấy được ốc tốt ở hộp thứ nhất. A2 là biến cố lấy được vít tố ở hộp thứ hai.Goi A là biến cố “ lấy được bộ ốc vít tốt”

Vậy: A = A1.A2 vì các biến cố này độc lập với nhau nên;

          P(A) = P(A1).P(A2) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

2.5.Đinh nghĩa 4: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và ký hiệu là P(A/B).

Thí dụ 4: Trong bình có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả cầu. tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả cầu trắng ( biến cố B) nếu biết rằng lần thứ nhất đã lấy được cầu trắng ( biến cố A)

Giải: do A đã xẩy ra nên khi lấy cầu lần thứ hai trong bình chỉ còn 4 cầu trắng và 3 cầu đen . P(B/A) = 4/7

2.6.Định lý 2: Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại.

          P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)

Hệ quả 1: Nếu P(B) > 0 thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 , còn nếu P(B) = 0 thì xác suất trên không xác định.

Tương tự với P(A) > 0

Hệ quả 2: Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc bằng tích xác suất của n biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp theo sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố xét trước đó đã xảy ra.

          P( A1A2….An) = P(A1).P(A2/A1).p(A3/A1A2)..….P(An/A1A2…..An-1)

Hệ quả 3: Nếu A và B là các biến cố độc lập thì

                   P(A/B) = P(A)              P(B/A) = P(B)

Thí dụ 5: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất để: a) Một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng. b) một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.

Giải: Gọi Ai là biến cố ô tô thứ i bị hỏng trong ngày i = 1;2;3

Gọi A là biến cố “ một ngày có đúng 1 ô tô bị hỏng”.

Gọi B là biến cố “một ngày có ít nhất 1 ô tô bị hỏng.”

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  Do nhóm các biến cố này là xung khắc từng đôi và trong mỗi nhóm các biến cố lại độc lập tòn phần với nhau nên:

          P(A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

B =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 Và áp dụng cách tính tương tựnhư trên

Tuy nhiên

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 =
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 và P(
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ) =
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Vậy: P(B) = 1- P(

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
) = 0,388

2.7. Định lý 3: Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó

  P( A + B)= P(A) + P(B) – P(A.B)

3. Công thức Becnuni:

3.1. Định nghĩa: n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :

i)  Mỗi phép thử xảy ra hai biến cố A hoặc

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

ii) P(A) = p, P(A) như nhau với mọi phép thử.

3.2. Bài toán: Cho phép thử bernoulli. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra x lần.

          Gọi Ai là biến cố xảy ra biến cố A ở phép thử thứ i ( i : 1,2,…,n ) như vậy

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
i là biến cố “ không xảy ra biến cố A trong lần thử thứ i.

          Gọi B là biến cố “ trong n phép thử biến cố A xảy ra x lần”

Ta có: B = A1A2…Ax

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
1
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
2…
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
n +….+
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
1
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
2…
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
n-xAn-x+1….An.

Tổng số các tích biến cố như vậy trong biểu thức trên là

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ( là số cách chon ra x phép thử mà biến cố A xảy ra từ n phép thử ) P(Ai) = p và q = P(
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 ) = 1-p Do các biến cố trong từng tích là xung khắc từng đôi với nhau nên;

          P(B) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
    ta ký hiệu : Pn(x) =
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Công thức trên gọi là công thức Bernoulli 

Thí dụ 1: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động, xác suất để trong ca mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. tìm xác suất để trong ca đó có đúng 2 máy bị hỏng.

Giải: Ta coi hoạt động của 5 máy là 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử này chỉ có hai trường hợp hoặc máy hỏng, hoặc máy tốt, xác suất hỏng của mỗi máy đều như nhau và bằng 0,1. Bài toán này thỏa mãn điều kiện của dãy phép thử Bernoulli.

          Vậy:   P5(2) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  

Thí dụ 2: Bắn 6 viên đạn vào bia. Xác suất trúng đích cuẩ mỗi viên là 0,7. Tìm xác suất để 3 viên trúng bia.

4. Công thức xác suất đầy đủ:  

Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H1,H2,…,Hn. Nhóm H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ các biến cố. khi đó xác suất của biến cố A được tính bằng công thức: 

                                      P(A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 các biến cố H1,H2,…,Hn  gọi là các giả thuyết.

Chứng minh: vì các biến cố H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ nên biến cố A chỉ có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố Hi nên A = H1A + H2A + …+HnA vì các biến cố  H1,H2,…,Hn  xung khắc từng đôi nên HiA và HjA cũng xung khắc từng đôi với mọi i; j

Do đó: P(A) = P(H1A) + P(H2A) + … +P(HnA). Theo công thức nhân xác suất có:    P(A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Thí dụ 2: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 xản phẩm trong đó có 10 chính phẩm, hôp thứ ba đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lẫy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.

          Giải: Gọi A là biến cố “ lấy được chính phẩm” . Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố sau:

Hi – sản phẩm lấy ra từ hộp thứ i ( i = 1,2,3) theo giải thuyết suy ra P(Hi) = 1/3.

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố H1, H2, H3 xảy ra bằng:

P(A/H1) = 6/10; P(A/H2) =10/15;  P(A/H3) = 15/20)

Vậy: P(A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

5.Công thức Bayes:

Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố H1,H2,…,Hn tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố .

Ta có: P(AHi) = P(A).P(Hi/A) = P(Hi)P(A/Hi)   i = 1,2,…,n ( công thức nhân )

Suy ra: P(Hi/A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  Công thức này gọi là công thức Bayes  (công thức này cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giải thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra)

Thí dụ: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người trả lời “ sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể sẽ mua” và 70 người trả lời “ không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với các câu trả lời trên là 40%, 20%; 1%

a.     Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó.

b.     Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả lời sẽ mua?

Giải: a. Thị trường tiềm năng của sản phẩm chính là tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm đó. Goi A là biến cố “lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì người đó thực sự sẽ mua sản phẩm” Có 3 giả thuyết đối với khách hàng đó:

H1- người đó trả lời “Sẽ mua”

H2- người đó trả lời “Có thể mua”

H3-người đó trả lời “ không mua”

Theo công thức xác suất đầy đủ thì

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Vậy tiềm năng của sản phẩm này là 16,75 %

b.Theo công thức Bayes :

 P(H1/A) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ


BÀI TẬP

1. Dây truyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60 % chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết. khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.

 Giải:


CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

II.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN (1)

1.Định nghĩa:

          Một biến số được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ  nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên.

Thí dụ 1: Tung một con xúc xắc , gọi X là “ Số chấm xuất hiện” thì X là biến ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử X có thể nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Thí dụ 2: Gọi X là “ số con trai trong 100 trẻ sắp sinh ra tại một nhà hộ sinh” X là một biến ngẫu nhiên.

Thí dụ 3: Gọi Y là “ khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia” Y là biến ngẫu nhiên.

2. Phân loại biến ngẫu nhiên:

          + Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được

          + Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số

Thí dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Dễ thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2. Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Thí dụ 2: Trong thí dụ 3 ở mục 1 thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục vì ta không thể liệt kê ra khoảng cách một cách chính xác điểm chạm của viên đạn tới tâm bia sau các lần thử.

Thí dụ 3: Gọi Z là “ Số người vào mua hàng tại một siêu thị trong một ngày” Z là biến ngẫu nhiên rời rạc vì các giá trị có thể có của Z lập nên một tập hợp đếm được

Thí dụ 4: Gọi K là “ năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh” k là biến ngẫu nhiên liên tục

Note: Sự khác biệt giữa biến cố ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên ta hiểu là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một phép thử. Còn biến ngẫu nhiên X là một biến cố mà chắc chắn nó sẽ nhận một giá trị nào đó trong số các giá trị có thể có của nó khi phép thử được thực hiện
II.2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

          Việc các biến ngẫu nhiên nhận một giá trị nào đó trong kết quả của một phép thử thực chất chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do đó nếu chỉ biết các giá trị có thể có của nó thì ta mới chỉ biết được rất ít thông tin về biến ngẫu nhiên đó. Ta cần phải xác định các xác suất tương ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên để hoàn toàn xác định nó.

1. Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.

2.Bảng phân phối xác suất

          Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Giả sử biến ngẫu nhiên rời ạc X có thể nhận các giá trị: x1, x2, ….,xn với các xác suất tương ứng là: p1, p2,…., pn. Ta lập bảng sau:

X

.x1          x2   …….xi…………..xn

  P(xi)

.p1          p2             pi                  pn

Với:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 1: giao đồng thời hai đồng tiền cân đối đồng chất. Gọi “ X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau:

Thí dụ 2: Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.

Giải: Gọi Y là “ Số chính phẩm lấy ra” .Ta có bảng phân phối sau:

Y

          0                          1                                2

P(X=i)

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
          
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
                     
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

( lấy được 0 chính phẩm tương đương với việc lấy được 2 phế phẩm )

Kiểm tra:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 3: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ được phát từng viên đạn để bắn cho tới khi trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác suất số viên đạn được phát.

          Giải: Gọi X là “ Số viên đạn được phát” X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có thể nhận các giá trị k:= 1, 2, 3, ….., k,…

Khi X =1 tức là bắn phát đầu tiên trúng bia luôn   P(X=1) = 0,8

Khi X =2 Tức là phát thưa nhất trượt, phát thứ hai trúng bia, hai lần bắn là độc lập với nhau nên theo công thức nhân xác suất P(X=2) = 0,2.0,8

Khi X=k Lập luận tương tự như trên  P(X=k) = (0,2)k-1.0,8

Ta có bảng phân phối xác suất như sau:

    X

           1                  2 ….                         ……..k,……

P(X=i)

         0,8           0,2.0,8  ….                     (0,2)k-1.0,8……

Kiểm tra:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  ( công thức tính tổng các số hạng của cáp số nhân lùi vô hạn )

Note: Bảng phân phối xác suất chỉ dùng được khi biến ngẫu nhiên là rời rạc

3. Hàm phân bố xác suất:

3.1.Định nghĩa: Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), là s để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kỳ.

               F(x) = P(X < x)  

+Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì F(x) =

Thí dụ 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

    X

    1                        3                     4

P(X=i)

   0,1                    0,5                 0,4

Hãy tìm hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị:

Giải: Nếu x 1 Thì biến cố (X<x) là biến cố không thể có nên F(x) = 0

Nếu 1< x 3 biến cố ( X < x ) chỉ xảy ra khi (X=1) nên F(x) = 0,1

Nếu 3 < x 4 biến cố ( X < x) xảy ra khi (X=1) hoặc khi (X=3)

          nên: F(x) = 0,1+0,5 = 0,6

Nếu x > 4 biến cố (X <x)  xảy ra khi (X=1) hoặc khi (X=3) hoặc khi (X=4)

          Nên: F(x) = 0,1 + 0,5 + 0,4 =1

Ta có hàm phân bố xác suất của X là: 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Đồ thị:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  3.2. Các tính chất của hàm phân bố xác suất :

Tính chất 1: Hàm phân bố xác suất luôn nhận giá trị trong đoạn [0; 1]

                             0 F(x) 1

Tính chất 2: Hàm phân bố xác suất là hàm không giảm, tức là với x2 > x1 thì F(x2) F(x1)

          Thật vậy: giải sử x2 > x1 .Xét biến cố (X < x2). Biến cố này có thể phân tích thành hai biến cố xung khắc nhau: (X < x1) và ( x1 X < x2) do đó:

P(X < x2) = P(X < x1) + P(x1 X < x2)

 suy ra: P(X < x2) - P(X < x1) = P(x1 X < x2)   0 hay F(x2)   F(x1)

Hệ quả 1: Xác suất để biến ngâu nhiên X nhận giá trị trong khoảng [a; b) bằng hiệu số của hàm phân bố xác suất tại hai đầu khoảng đó:

                   P(a X < b) = F(b) –F(a)

Suy từ tính chất 2 ( thay a = x1; b = x2 trong chứng minh trên )

Hệ quả 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị xác định X =x thì bằng 0:           P(X = x) = 0.

Thật vậy : ta đặt a = x; b = x +x thì: P(x X < x + x.) = F(x + x) – F(x) lấy giới hạn hai vế khi x tiến tới 0 , do X là biến ngẫu nhiên liên tục nên tại x hàm phân bố xác suất cũng liên tục

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  

Hệ quả 3: Đỗi với biến ngẫu nhiên liên tục X ta có các đẳng thức sau:

          P(a X b) = P (a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b)

Thật vậy: chẳng hạn P( a X < b) = P(X =a) + P(a < X < b) = P( a < X < b)

Tính chất 3: Ta có biểu thức giới hạn sau:

                                                                  

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Hệ quả: Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị trong đoạn [a ; b] thì với :

x a, F(x) = 0; với x > b, F(x) =1

3.3. Ý nghĩa của hàm phân bố xác suất :

Từ định nghĩa hàm phân bố xác suất F(x) = P(X < x) nên giá trị của hàm phân bố xác suất tại một điểm x cho thấy có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất ( do toàn bộ xác suất của biến ngẫu nhiên bằng 1) phân bố trên đoạn ( - ; x)

Thí dụ: Biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố như sau:

          F(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
. Tìm xác suất để trong kết quả của phép thử, X nhận giá trị trong khoảng [0 ; 1/3).

Giải: Ta có: P (0 X < 1/3) = F(1/3) - F(0) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

4. Hàm mật độ xác suất : ( chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục)

4.1. Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X ( ký hiệu là f(x)) là đọ hàm bậc nhất của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó.

                             F’(x) = f(x)

4.2.Các tính chất:

Tính chất 1: Hàm mật độ xác suất luôn không âm: f(x)   0 với mọi x

Tính chất 2: Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a;b) bằng tích phân xác định của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó:

                   P(a < X < b) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

Thật vậy: do X là biến ngẫu nhiên liên tục nên:

 P( a <X<b) = F(b) – F(a) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Ý nghĩa hình học: Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng diện tích miền phẳng giới hạn bởi trục ox; đường cong y = f(x) đường thắng x = a; x = b.

Tính chất 3: Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X bằng tích phân suy rộng của hàm mật độ xác suất trong khoảng ( - ; x):

                             F(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thật vậy: theo định nghĩa hàm phân bố xác suất F(x) = P(X < x) = P(- <X < x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 . Vậy giá trị của hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X bằng diện tích miền phẳng giới hạn bới trục ox; đường cong f(x) và đưởng thẳng x = a

Tính chất 4: Tích phân suy rộng trong khoảng ( - ; + ) của hàm mật độ xác suất bằng 1.          

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thật vậy: Theo t/c 2 P( - <X<+ ) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 vì ( - <X< + ) là biến cố chắc chắn.

Về mặt hình học thì toàn bộ diện tích giới hạn bởi trục ox, đường cong f(x) bằng 1.

Thí dụ 1: Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:

                   F(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

a.Tìm hệ số a.

b. tìm hàm mật độ xác suất f(x)

c. tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng(0,25;0,75)

          Giải: a. Do hàm phân bố xác suất F(x) liên tục tại x = 1 nên:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  vậy  a =1

b. Từ định nghĩa hàm mật độ xác suất f(x) = F’(x)

Ta có: f(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

c.Ta có P(0,25 <X<0,75) = F(0,75) – F(0,25) = (0,75)2 – (0,25)2 = 0,5

Thí dụ 2: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

          .f(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

a.Tìm hệ số a.

b. Tìm hàm phân bố xác suất F(x).

c.Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận kết quả trong khoảng (0; π/4)

          Giải: a.Theo tính chất của hàm mật độ xác suất :

         

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 suy ra a = 1/2

b.Theo tính chất hàm mật độ xác suất 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

+ Với x   -π /2:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
= 0

+Với: -π/2 < x π /2:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 

+Với x > π/2 :

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Vậy hàm phân bố xác suất của X là:

F(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

c. Theo tính chất của hàm phân bố xác suất

       P(0 < X <π /4) = F(π /4) – F(0) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Thí dụ 3: Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng:

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X có 2 lần nhận giá trị trong ( -1 ; 1) khi tiến hành 3 phép thử độc lập

          Giải: Xác suất để khi tiến hành 1 phép thử biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong (-1 ; 1) là: P(-1 < X < 1) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
Theo bài ra ta tiến hành 3 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có hai khả năng hoặc X nhận giá trị trong khoảng (-1;1) ( biến cố A), hoặc không thuộc khoảng đó (biến cố
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
) P(A) = 0,5 cho mỗi phép thử. Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Vậy xác suất để X nhận 2 giá trị trong khoảng (-1; 1) là:

                   P3(2) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

4.3. Ý nghĩa của hàm mật độ xác suất :

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm x cho biết mức độ tập trung xác suất tại điểm đó

BÀI TẬP

1. Tuổi thọ của một sản phẩm là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như sau:

                     .f(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

a.Tìm a.

b. Tìm xác suất để láy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất 600 giờ.

Giải: a. Theo điều kiện của hàm mật độ xác suất ta có:

1 =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 suy ra a = 400

b. P(X>600) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
-400
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ


II.2. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

1. Kỳ vọng toán:

1.1.Định nghĩa: Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có x1, x2,….,xn với các xác suất tương ứng là: p1, p2,….,pn. Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là E(X) là tổng của các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên rời rạc với xác suất tương ứng.

          E(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

          Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) thì kỳ vọng toán E(X) được xác định :

                                                E(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

1.2. Ý nghĩa: kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là giá trị trung bình mà biến ngẫu nhiên nhận hoặc kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là trọng tâm của phân phối xác suất với khối lượng 1 .

          Ta đã biết trung bình cộng hoặc trung bình số học. Trung bình cộng là tốt trong trường hợp các số trị đang xét có đồng khả năng, song trung bình cộng sẽ không tốt khi các trị đang xét không đồng khả năng, khi đó dùng trung bình trọng lượng, hay trung bình theo nghĩa xác suất như trên sẽ tốt hơn – Tất nhiên trong trường hợp các pi như nhau ta nhận được trung bình số học.

/ Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị xi với xác suất tương ứng pi = ni/n trong đó ni là số lần X nhận giá trị xi , E(X) = x1p1 + … + xnpn = x1.n1/n + …+xn.nn/n }

Thí dụ 1: Tìm kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau:

Giải: E(X) = 1.0,1 + 3.0,5 + 4.0,4 = 3,2

Thí dụ 2: Tìm kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

                  

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Giải: E(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

1.3. Các tính chất kỳ vọng toán:

a. E(C) = C   với C là hằng số

b. E(C.X) = C.E(X)  với C hằng số, X là biến ngẫu nhiên

c.E(X + Y) = E(X) + E(Y)    với X; Y là các biến ngẫu nhiên độc lập (mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập)

d. E(X.Y) = E(X).E(Y)    với X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập ( mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập )

2. Trung vị: (Median)

Trung vị ký hiệu  md là giá trị nằm ở chính giữa tập hợp giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên. Nói cách khác đó là giá trị chia phân phối của biến ngẫu nhiên  thành hai phần bằng nhau.

+Với  X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì Xi = md là trung vị nếu thỏa mãn điều kiện:  F(Xi) 0,5 < F(Xi+1)

+Với X là biến ngẫu nhiên liên tục thì m d là giá trị thỏa mãn điều kiện:

                            

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
  

3. Mốt: (mode)

Mốt ký hiệu là m0 là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc. là cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục.

Thí dụ 3: Tìm trung vị và mốt của biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:

X

20         21       22        23         24               25

P

0,3     0,25    0,18      0,14       0,1             0,03

Giải: Để tìm trung vị ta xây dựng hàm phân bố xác suất sau:

F(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
      suy ra md = 21

Dễ thấy m0 = 20

Thí dụ 4: Thu nhập của dân cư tại một vùng là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất như sau:

                   F(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Hãy tìm một mức thu nhập sao cho một nửa số dân của vùng đó có mức thu nhập cao hơn mức nói trên

Giải: mức thu nhập cần tìm chính là md

Ta có: f(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
Do đó: 
Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

4. Phương sai                                                                 

4.1.Định nghĩa . Phương sai của biến ngẫu nhiên X là một số thực không âm, ký hiệu V(X) được xác định bởi

V(X) = E(X - E(X))2

Khai triển vế phải công thức trên ta có

V(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
.

+ Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc ta có thể tính phương sai bằng công thức:

          V(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

+ Đỗi với biến ngẫu nhiên liên tục: V(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Phương sai của một biến ngẫu nhiên dùng để đặc trưng cho mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫu nhiên đó xung quanh giá trị trung bình của nó.

Thí dụ 5: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

Tìm phương sai V(X).

Giải: Ta tìm kỳ vọng toán  E(X) = 1.0,1 + 3.0,5 + 4.0,4 = 3,2

Kỳ vọng toán E(X2) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Vậy: V(X) = 11 – (3,2)2 = 0,76

Thí dụ 6: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

                   .f(x) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
    Tìm phương sai V(X)

Giải: Ta tìm kỳ vọng toán E(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Kỳ vọng toán E(X2) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Vậy :     V(X) =

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Note: Phương sai của biến ngẫu nhiên là một giá trị xác định không âm.

4.2.Tính chất của phương sai:

a. V(C) = 0 với C là hằng số

b.V(CX) = C2V(X)  với C là hằng số X là biến ngẫu nhiên

V(X1+X2+…+Xn) = V(X1) +…+V(Xn)   với Xi; …Xj là các biến độc lập nhau

V(C + X) = V(X)

V(X – Y) = V(X) + V(Y)    với X; Y là các biến ngẫu nhiên

4.3.Bản chất và ý nghĩa của phương sai:  Theo định nghĩa của phương sai thì phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá trị đó. Do đó nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán.

Thí dụ 6: Tung n con xúc xắc. tìm phương sai của tổng số điểm thu được.

Giải: Gọi Xi i=1,2,..,n  là số điểm thu được ở con xúc xắc thứ i,  gọi X là tổng số điểm thu được ở n con xúc xắc. Vậy  X = X1+X2+…+Xn  vì các Xi là độc lập với nhau nên theo tinhhs chất phương sai có: V(X) = V(X1)+…+V(Xn)

Mà V(Xi) = E(Xi2) –[E(Xi)]2

Với mọi biến ngẫu nhiên Xi đều có bảng phân phối xác suất như sau:

X

  1        2           3             4          5            6

P

1/6     1/6         1/6          1/6      1/6          1/6

Do đó: E(Xi) = 7/2   và E(Xi2) = 91/6    vậy V(Xi) = 35/12

  suy ra V(X) = (35.n)/12

Cùng với kỳ vọng toán, phương sai có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực của thực tiễn. Nếu như trong kỹ thuật phương sai đặc trưng cho mức độ phân tán của các chi tiết gia công, hay sai số của thiết bị, thì trong quản lý kinh doanh nó đặc trưng cho mức độ rủi ro của các quyết định.

Thí dụ 7: một nhà đầu tư đang cân nhắc giữa việc đầu tư vào hai dự án A và B trong hai lĩnh vực độc lập nhau. Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm ( tính bằng %) của 2 dự án là các biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

Dự án A:

X

65

67

68

69

70

71

73

E(X)

E(X.X)

V(X)

P

0.04

0.12

0.16

0.28

0.24

0.08

0.08

69.16%

4786.2

3.0944

Dự án B

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Y

66

68

69

70

71

E(Y)

E(Y.Y)

V(Y)

P

0.12

0.28

0.32

0.2

0.08

68.72%

4724.2

1.8016

          Nhìn vào kỳ vọng của hai biến ngẫu nhiên X và Y ta thấy nếu chọn phương án A thì kỳ vọng khả năng thu hồi vốn cao hơn phương án B, nhưng từ V(X) cho thấy độ rủi ro của tỷ lệ thu hồi vốn lại cao hơn phương án B. Ngược lại phương án B có độ ổn định hơn của tỷ lệ thu hồi vốn hơn phương án A nhưng khả năng thu hồi vốn thấp hơn A.

5.Độ lệch chuẩn:

          Đại lượng

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X.

Ý nghĩa của độ lệch chuẩn; Do đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của biến ngẫu nhiên. Vì vậy khi cần đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó người ta thường tính độ lệch chuẩn chứ không phải là phương sai vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với biến ngẫu nhiên .

BÀI TẬP

1.. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Biết

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
. Tìm EX.

Giải.

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
.

Mặt khác, 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Từ đó suy ra 

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ
 Vậy

Bài tập xác suất thống kê xạ thủ

Tải thêm tài liệu liên quan đến bài viết Bài tập xác suất thống kê xạ thủ