Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Một số phương pháp giải phương trình và hệ phương trình là nội dung kiến thức mà các em đã được làm quen ở lớp 9 như phương pháp cộng đại số và phương pháp thế.

Đang xem: Hướng dẫn giải và biện luận phương trình lớp 10

Vậy sang lớp 10, việc giải phương trình và hệ phương trình có gì mới? các dạng bài tập giải phương trình và hệ phương trình có “nhiều và khó hơn” ở lớp 9 hay không? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây.

I. Lý thuyết về Phương trình và Hệ phương trình

1. Phương trình

a) Phương trình chưa biến x là một mệnh dề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1).

– Điều kiện của phương trình là những điều kiện quy định của biến x sao cho các biể thức của (1) đều có nghĩa.

– x0 thỏa điều kiện của phương trình và làm cho (1) nghiệm đúng thì x0 là một nghiệm của phương trình.

 Hay, x0 là nghiệm của (1) ⇒ f(x0) = g(xo).

– Giải một phương trình là tìm tập hợp S của tất cả các nghiệm của phương trình đó.

– S = Ø thì ta nói phương trình vô nghiệm.

b) Phương trình hệ quả

• Gọi S1 là tập nghiệm của phương trình (1)

 S2 là tập nghiệp của phương trình (2)

 – Phương trình (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi: S1 = S2

 – Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) khi và chỉ khi S1 ⊂ S2

2. Phương trình bậc nhất

a) Giải và biện luận: ax + b = 0

° a ≠ 0: S = {-b/a}

° a = 0 và b ≠ 0: S = Ø

° a = 0 và b = 0: S = R

b) Giải và biện luận: ax + by = c

° a ≠ 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; (c-ax)/b} hoặc S = {(c-by)/a; y tùy ý}

° a = 0 và b ≠ 0: S = {x tùy ý; c/b}

° a ≠ 0 và b = 0: S = {c/a; y tùy ý}

c) Giải và biện luận: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

° Quy tắc CRAME, tính định thức:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

– Cách nhớ gợi ý: Anh Bạn (a1b2 – a2b1) _ Cầm Bát (c1b2 – c2b1) _ Ăn Cơm ((a1c2 – a2c1)

° 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

° 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 và

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

°

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 ⇒ PT có vô số nghiệm (giải a1x + b1y = c1)

II. Các dạng bài tập toán về giải phương trình, hệ phương trình

° Dạng 1: Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

* Phương pháp:

– Vận dụng lý thuyết tập nghiệm cho ở trên

♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) m(x – 2) = 3x + 1

b) m2x + 6 = 4x + 3m

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

♠ Hướng dẫn:

a) m(x – 2) = 3x + 1

 ⇔ mx – 2m = 3x + 1

 ⇔ mx – 3x = 2m + 1

 ⇔ (m – 3)x = 2m + 1 (*)

 + Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = (2m+1)/(m-3).

 + Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3, PT (*) ⇔ 0x = 7. PT vô nghiệm.

– Kết luận:

 m ≠ 3: S = {(2m+1)/(m-3)}

 m = 3: S = Ø

b) m2x + 6 = 4x + 3m

 ⇔ m2x – 4x = 3m – 6

 ⇔ (m2 – 4)x = 3m – 6 (*)

+ Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, PT (*) có nghiệm duy nhất:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

+ Nếu m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2

Với m = 2: PT (*) ⇔ 0x = 0, PT có vô số nghiệm

Với m =-2: PT (*) ⇔ 0x = -12, PT vô nghiệm

– Kết luận:

 m ≠ ±2: S = {3/(m+2)}

 m =-2: S = Ø

 m = 2: S = R

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

 ⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

 ⇔ (2m + 1 – 3)x = 2m – 2

 ⇔ (2m – 2)x = 2m – 2 (*)

+ Nếu 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, PT (*) có nghiệm duy nhất: x = 1

+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, PT (*) ⇔ 0.x = 0, PT có vô số nghiệm.

– Kết luận:

 m ≠ 1: S = {1}

 m = 1: S = R

♦ Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: m2(x-1) = 2(mx-2) (1)

♠ Hướng dẫn:

– Ta có: (1) ⇔ m(m-2)x = (m-2)(m+2) (*)

◊ m ≠ 0 và m ≠ 2: (*) ⇔ 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

◊ m = 0: (*) ⇔ 0x=-4 (PT vô nghiệm)

◊ m = 2: (*) ⇔ 0x=0 (PT có vô số nghiệm, ∀x ∈ R)

– Kết luận:

 m ≠ 0 và m ≠ 2: S = {(m+2)/m}

 m = 0: S = Ø

 m = 2: S = R

♦ Ví dụ 3: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (1)

♠ Hướng dẫn:

– Ta có: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (*)

◊ m ≠ -4: (*) ⇔ 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 Điều kiện x ≠ ±1 ⇔ 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

◊ m = -4: (*) ⇔ 0x = 6 (PT vô nghiệm)

– Kết luận:

 m ≠ -4 và m ≠ -1: S = {(2-m)/(m+4)}

 m = -4 hoặc m = -1: S = Ø

° Dạng 2: Xác định tham số để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện

* Phương pháp:

– Vận dụng lý thuyết ở trên để giải

♦ Ví dụ 1 (bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3×2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Xem thêm: Đồ Án Chưng Cất Tinh Dầu Sả Năng Suất 150Kgmẻ, Tailieuxanh

♠ Hướng dẫn:

– Ta có: 3×2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

 (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ = b”2 – a.c > 0

 ⇔ (m + 1)2 – 3(3m – 5) > 0

 ⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

 ⇔ m2 – 7m + 16 > 0

⇔ (m – 7/2)2 + 15/4 > 0 , ∀m

⇒ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt, gọi x1,x2 là nghiệm của (1) khi đó theo Vi-et ta có:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (I)

– Theo bài ra, phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3×1, nên kết hợp với (I) ta có:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

+ TH1 : Với m = 3, PT (1) trở thành: 3×2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

+ TH2 : m = 7, PT (1) trở thành 3×2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

– Kết luận: Để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt mà nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia thì giá trị của m là: m = 3 hoặc m = 7.

♦ Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (1)

♠ Hướng dẫn:

– TXĐ: x>2

– Ta có: (1) ⇔ 3x – m + x – 2 = 2x + 2m – 1

 ⇔ 2x = 3m + 1 ⇔ x = (3m + 1)/2

– Kết hợp điều kiện (TXĐ): x>2, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

– Kết luận: Vậy khi m > 1, PT (1) có nghiệm x = (3m+1)/2.

° Dạng 3: Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

* Phương pháp:

– Vận dụng tính chất:

 1)

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 2) 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 hoặc 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (2 nghiệm đều thỏa điều kiện)

+ Với x 2 + 1 = -6×2 + 11x – 3

 ⇔ 5×2 -11x + 4 = 0

 ⇔ 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 hoặc 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (2 nghiệm này đều KHÔNG thỏa điều kiện)

– Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm.

d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1

+ Với x ≥ -5/2, ta có:

 2x + 5 = x2 + 5x + 1

 ⇔ x2 + 3x – 4 = 0

 ⇔ x = 1 (thỏa) hoặc x = -4 (loại)

+ Với x 2 + 5x + 1

 ⇔ x2 + 7x + 6 = 0

 ⇔ x = -6 (thỏa) hoặc x = -1 (loại)

– Vật PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = -6.

♦ Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: |2x – m| = 2 – x (1)

♠ Hướng dẫn:

 Ta có: (1) 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

+) 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

+) 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

– Kết luận:

 m ≤ 4. PT (1) có 2 nghiệm: x = (m+2)/3 hoặc x = m – 2.

 m > 4: PT (1) vô nghiệm.

♦ Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình: |mx – 2| = |2x + m| (1)

♠ Hướng dẫn:

– Ta có: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

◊ Với PT: mx – 2 = 2x + m ⇔ (m – 2)x = m + 2 (2)

 m ≠ 2: PT (*) có nghiệm x = (m+2)/(m-2)

 m = 2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)

◊ Với PT: mx – 2 = -2x – m ⇔ (m + 2)x = 2 – m (3)

 m ≠ – 2: PT (*) có nghiệm x = (2 – m)/(2 + m)

 m = -2: PT (*) trở thành: 0x = 4 (vô nghiệm)

– Ta thấy: m = 2 ⇒ x2 = 0; m = -2 ⇒ x1 = 0; 

– Kết luận: m ≠ ±2: (1) có 2 nghiệm là: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 m = 2: (1) có nghiệm x = 0

 m = -2: (1) có nghiệm x = 0

♥ Nhận xét: Đối vối giải PT không có tham số và bậc nhất, ta vận dụng tính chất 3 hoặc 5; Đối với PT có tham số ta nên vận dụng tính chất 1, 2 hoặc 4.

° Dạng 4: Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn

* Phương pháp:

– Ngoài PP cộng đại số hay PP thế có thể Dùng phương pháp CRAME (đặc biệt phù hợp cho giải biện luận hệ PT)

♦ Ví dụ 1 (bài 2 trang 68 SGK Đại số 10): Giải hệ PT 

a) 

b) 

♠ Hướng dẫn:

– Bài này chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ vận dụng phương pháp định thức (CRAME).

a) 

– Ta có: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

– Vậy hệ PT có nghiệm: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

b) 

– Ta có:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

;

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

– Vậy hệ PT có nghiệm:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

♦ Ví dụ 2: Giải biện luận hệ PT: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

♠ Hướng dẫn:

– Ta có:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 – Khi đó: 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 (*)

+) 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 Hệ có nghiệm:

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10
Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

+) 

Biện luận số nghiệm của phương trình lớp 10

 Với m = 1: từ (*) ta thấy hệ có vô số nghiệm.

 Với m = -4: từ (*) ta thấy Hệ vô nghiệm.

Xem thêm: Giải Bài 1, 2, 3, 4 Trang 89 Vở Bài Tập Tiếng Việt Lớp 5 Tập 2 Trang 89

Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng bài tập toán và cách giải về phương trình và hệ phương trình ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình