Cách tìm mặt phẳng vuông góc với đường thẳng
|
Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng.
A. Phương pháp giải + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) . + Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥ (α) + Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt. + Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là uΔ→ = k→ = (0;0;1) . + Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là uΔ→ = j→ =(0;1;0) . +Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là uΔ→ = i→ =(1;0;0) .  B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng? A. Vậy phương trình tham số của Δ là: B. Phương trình chính tắc của Δ là: C. Vậy phương trình tham số của Δ là: D. Phương trình chính tắc của Δ là: Hướng dẫn giải Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của Δ là: Vậy phương trình tham số của Δ là: Phương trình chính tắc của Δ là: Chọn A. Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai? A. phương trình tham số của Δ là: B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc. C. Điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P): 2x+ 3y+ z= 0. Hướng dẫn giải Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là: Vậy phương trình tham số của Δ là: và đường thẳng d không có phương trình chính tắc Cho t= 6 ta được điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d. Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là : Ta có: => Đường thẳng d và mặt phẳng ( P) không vuông góc với nhau. Chọn D Tải tài liệuBài viết liên quan
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông góc với mặt phẳng (a) cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cho trước và vuông góc với mặt phẳng (a) cho trước: Phương pháp giải. Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và có một véc-tơ chỉ phương là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (a). Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Org). Lời giải. Mặt phẳng tọa độ (Ocg) có véc-tơ pháp tuyến là k = (0; 0; 1) nên đường thẳng cần tìm có véc-tơ chỉ phương là k = (0; 0; 1). Vậy phương trình tham số là k = -2 = 3 + t. Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc đường thẳng đi qua điểm A(2; 3; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3g – +5 = 0. Ta có đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng (P) nên có véc-tơ chỉ phương là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là cứ = m(P) = (1; 3; -1). BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C (0; 0; 4). Viết phương trình chính tắc đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Lời giải. AB = (-2; 3; 0), BC = (0; -3; -4). Suy ra, một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng là TI’ = AB, BC = (-12; -8; 6). Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 4x + 3y – 7z + 1 = 0. Viết phương trình của đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Véc-tơ pháp tuyến của (P) là n = (4; 3; -7). Đường thẳng cần tìm đi qua A và có véc-tơ chỉ phương là a = m = (4; 3; -7). Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là x – 1 y – 2 – 3. Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C(0; 0; 4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình tham số của đường thẳng OH. Phương trình mặt chín (ABC): 16x + 49 – 32 – 12 = 0. Suy ra mặt phẳng (ABC) có một véc-tơ pháp tuyến là vì ABC = (6; 4; -3). Vì H là trực tâm tam giác ABC OH I (ABC). Suy ra đường thẳng OH có một véc-tơ chỉ phương là cử OH = n ABC = (6; 4; -3). Vậy phương trình tham số của đường thẳng OH là 4g = 4t z = -3t.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12. Nội dung bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cho trước: Phương pháp giải. Cho điểm M và đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B. Khi đó mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d có m = AB. Ví dụ 19. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M(1; -2; 4) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 2; -1), B(-2; 1; -3). Ta có n = AB = (-5; -1; -2). Vậy phương trình mặt phẳng (d) là (x – 1) – 1(y + 2) – 2(x – 4) = 0 + 5x + y + 2x – 11 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 32. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm C(0; 0; 0) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(-2; -1; 3), B(4; 2; -1). Ta có (a) = AB = (6; 3; -4). Vậy phương trình mặt phẳng (d) là 6 (– 0) + 3 (9 – 0) – 4(x – ) = 0 6x +34 – 43 = 0. Bài 33. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A(0; 1; 0) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B(2; 3; 1) và C(-2; 2; 2). Vậy phương trình mặt phẳng (a) là 4(x – ) – 10 + 1(x – 0) = 0.
Dưới đây là một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian:
Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp: Muốn chứng minh đường thẳng $d \bot \left( \alpha \right)$ ta có thể dùng môt trong hai cách sau. Cách 1. Chứng minh $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau trong $\left( \alpha \right)$. Kí hiệu: $\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \subset \left( \alpha \right),b \subset \left( \alpha \right)\\a \cap b = I\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( \alpha \right)$ Cách 2. Chứng minh $d$ song song với đường thẳng $a$ mà $a$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Kí hiệu: $\left\{ \begin{array}{l}d\parallel a\\\left( \alpha \right) \bot a\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( \alpha \right)$ Cách 3. Chứng minh $d$ vuông góc với $\left( Q \right)$ và $\left( Q \right)//\left( P \right)$.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách dùng đường thẳng vuông góc mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh $d \bot \;a$, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh $d$ vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( P \right)$ chứa $a$. Cách 2: Sử dụng định lí ba đường vuông góc. Cách 3: Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. |
