cách tính đồ thị hàm số y=ax^2
|
Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại một số kiến thức về hàm số bậc hai ở lớp 9, đặc biệt tập trung vào phần Bài tập về đồ thị của hàm số bậc hai để các em nắm vững được phương pháp giải dạng toán này. I. Hàm số bậc hai - kiến thức cần nhớ Tổng quát, hàm số bậc haiy = ax2 (a0) xác định với mọi giá trị của xR. 1. Tính chất của hàm số bậc hai y = ax2 Nếu a>0 thì hàm số nghịch biến khi x<0 và đồng biến khi x>0. Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0. > Nhận xét: Nếu a>0 thì y>0 với mọi x0; y=0 khi x=0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y=0. Nếu a<0 thì y<0 với mọi x0; y=0 khi x=0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y=0. 2. Đồ thị của hàm số y = ax2 Đồ thị của hàm số y = ax2 (a0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol Cho đường thẳng (d): y=ax+b (a0) và parabol (P): y = kx2(k0) Khi đó, để xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và parabol (P) ta xét phương trình:kx2= ax + b (1). - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau. - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của (d) và (P): * Tìm số giao điểm của (d) và (P) Khi đó: Xét phương trình kx2 = ax + b (1) - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (P) và (d) không giao nhau. - Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. - Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau - Hoành độ giao điểm (hoặc tiếp điểm) của (P) và (d) chính là nghiệm của phương trình: kx2= ax + b * Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) - Tọa độ giao điểm của (d) và (P) phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1) - Ta giải phương trình (1) tìm ra các giá trị của x. Thay giá trị x này vào công thức hàm số của (d) (hoặc (P)) ta tìm được y. Từ đó suy ra tọa độ giao điểm cần tìm. * Hàm số chứa tham số. Tìm điều kiện của tham số để tọa độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. - Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) từ đó tính biệt thức delta và hệ thức Vi-et để giải bài toán với điều kiện cho sẵn. II. Bài tập hàm số bậc hai có lời giải * Bài tập 1 (Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 Tập 2): Vẽ đồ thị của hai hàm số a) Đường thẳng đi qua B(0; 4) và song song với trục Ox.Nó cắt đồ thị của hàm số b) Tìm trên đồ thị của hàm số điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với M'. Đường thẳng NN' có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N' bằng hai cách: - Ước lượng trên hình vẽ; - Tính toán theo công thức. * Lời giải: a) Ta lập bảng giá trị: - Bảng giá trị:
Đồ thị hàm số có dạng như sau: - Từ đó ta có hoành độ của M là x = 4 của M' là x = -4. Tìm tung độ của N và N' - Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của N là y = -4; của N' là y = -4. - Tính toán theo công thức: Điểm N(4;y) thay x = 4 vào Điểm N'(-4;y) thay x = -4 vào Vậy tung độ của N, N' cùng bằng -4. Ta có:N(-4;-4) ; N(4;-4). * Bài tập 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số: y = f(x) = (m - 1)x2 (*) a) Xác định m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm M(2;4) b) Với m=0. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số (*) với đồ thị hàm số y = 2x - 3. * Lời giải: a) Để đồ thị hàm số y = f(x) = (m - 1)x2 đi qua điểm M(2;4) thì ta có: 4 = (m - 1).22 4 = 4m - 4 4m = 8 m = 2. Vậy với m = 2 thì đồ thị hàm số (*) đi qua điểm (2;4). Khi đó hàm số là y = x2. b) với m = 0, ta thay vào công thức hàm số được y = f(x) = -x2 - Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = -x2 với hàm số y = 2x - 3 là nghiệm của hệ phương trình: - Giải phương trình: x2 + 2x - 3 = 0 ta thấy a + b + c = 1 + 2 + (-3) = 0 nên phương trình này có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = -3. Với x1 = 1 y1 = -(1)2 = -1 A(1;-1) Với x2= -3 y2= -(-3)2= -9 B(-3;-9) Vậy với m=0 thì đồ thị hàm số y = -x2 và đồ thị hàm số y = 2x - 3 tại 2 điểm phân biệt là:A(1;-1) vàB(-3;-9). * Bài tập 3: Co parabol (P): y = ax2 và đường thẳng (d): a) Xác định a để (P) cắt (d) tại điểm A có hoành độ bằng -1. b) Tìm tọa độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d). c) Tính độ dài AB. * Lời giải: a) Để đường thẳng (d) đi qua A có hoành độ bằng -1 thì ta thay x = -1 vào công thức hàm số Vậy tọa độ điểm A là (-1;0,5). Parabol (P) đi qua A nên tọa độ của A phải thỏa hàm số y = ax2. Ta thay x = -1; y = 0,5 vào hàm số y = ax2 được: 0,5 = a.(-1)2 a = 0,5. Khi đó parabol (P) là: b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): Để ý a - b + c = 1 - (-2) - 3 = 0 nên ta thấy phương trình có 2 nghiệm x1 = -1 và x2 = 3. Với x2 = 3 y2 = 3 + 3/2 = 9/2 = 4,5. Tọa độ điểm B là (3;4,5). c) Ta có, chiều dài AB áp dụng công thức Vậy * Bài tập 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): * Lời giải: - Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: Với x1 = 2 y1 = 2 M(2;2) Với x2 =-3/2 y2 = 9/8 N(-3/2;9/8) Vậy * Bài tập 5:Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = (2m - 1)x - m + 2 (m là tham số) a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt P) tại hai điểm phân biệt M(x1;y1) và N(x2;y2) thỏa x1y1 + x2y2 = 0. * Bài tập 6:Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2mx - 4m (với m là tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=-1/2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có * Bài tập 7: Cho parabol (P): a) Chứng minh rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. b) Xác định a để AB độ dài ngắn nhất và tính độ dài ngắn nhất này. * Bài tập 8: Cho parabol (P): |
