Câu 3.75 trang 97 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao
|
Từ (1) và (2) , ta được : \({u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},\,\) hay \({u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1\left( {\forall N \ge 1} \right).\,\) Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số \(({u_n})\) là : \({u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2\,.\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho dãy số\(({u_n})\) xác định bởi \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Xét dãy số \(({v_n}),\) mà \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với mọi \(n \ge 1.\) LG a Chứng minh rằng dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó Lời giải chi tiết: Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2n - 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Do đó \({v_n} = 2n - 1\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Suy ra \({v_{n + 1}} - {v_n} = (2(n + 1) - 1) - (2n - 1) \)\(= 2\) với mọi \(n \ge 1.\) Vì thế, \(({v_n})\) là một cấp cộng với số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai bằng 2. LG b Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số\(({v_n})\) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\). Lời giải chi tiết: Kí hiệu \({S_N}\) là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \(({v_n})\). Từ kết quả phần a) , ta có \({S_N} = {{N.\left( {2.1 + \left( {N - 1} \right).2} \right)} \over 2} = {N^2}\,\,\,\,(1)\) Mặt khác, bằng cách tương tự như lời giải phần a) bài tập 3.76, ta chứng minh được \({S_n} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall N \ge 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) , ta được : \({u_{N + 1}} - {u_1} = {N^2},\,\) hay \({u_{N + 1}} = {N^2} + {u_1} = {N^2} + 1\left( {\forall N \ge 1} \right).\,\) Từ đó, số hạng tổng quát của dẫy số \(({u_n})\) là : \({u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 = {n^2} - 2n + 2\,.\)
|
