Cho hàm số f(x 2x 5 khi x - 1 3x 2 4 khi x - 1 giá sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn F(0))

Câu hỏi: CÂU HỎI:

Nguyên hàm F (x) của hàm số \(f(x)=2 x^{2}+x^{3}-4\) thỏa mãn điều kiện \(F(0)=0\) là?

Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về NGUYÊN HÀM mức độ 2,3 – VẬN DỤNG

\(\begin{aligned} &\mathrm{Ta\,có: } F(x)=\int\left(2 x^{2}+x^{3}-4\right) d x=\frac{2 x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}-4 x+C\\ &F(0)=0 \Leftrightarrow \frac{2.0^{3}}{3}+\frac{0^{4}}{4}+C=0 \Leftrightarrow C=0 \Rightarrow F(x)=\frac{2}{3} x^{3}+\frac{x^{4}}{4}-4 x

\end{aligned}\)

Chọn B

====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm

TXD: D = R

Với x>1 hay x<1 thì hàm số f(x) là hàm đa thức liên tục

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (3{x^2} - 2) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2x - 1) = 1\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = f(1) = 1\) nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên R

Với x ≥ 0 thì \(\int {f(x)dx}  = \int {f(2x - 1)dx}  = {x^2} - x + {C_1}\) 

Với x < 1 thì \(\int {f(x)dx}  = \int {f(3{x^2} - 2)dx}  = {x^3} - 2x + {C_2}\) 

Mà F(x) = 2 nên C2 = 2

Khi đó \(F(x) = \left[ \begin{gathered}   {x^2} - x + {C_1}\;\;\;\;\;\;khi\;\;x \geqslant 1 \hfill \\   {x^3} - 2x + 2\;\;\;\;\;\;khi\;\;x < 1 \hfill \\ 

\end{gathered}  \right.\)  

Đồng thời F(x) cũng liên tục trên R nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F(x)\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = F(1) = 1 <  =  > {C_1} = 1\) 

Do đó \(F(x) = \left[ \begin{gathered}   {x^2} - x + 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;\;x \geqslant 1 \hfill \\   {x^3} - 2x + 2\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\; \hfill \\ 

\end{gathered}  \right.\) 

Vậy F(-1)+2F(2)=3+2.3=9

Chọn D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Số câu hỏi: 50

Lời giải của GV Vungoi.vn

Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)

(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx}  + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 5} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\end{array}\)

Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\\3{x^2} + 4\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).

+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).

+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 5 + {C_1} = 1 + 4 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} =  - 1 + {C_2} = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 3\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) =  - 3 + 2.15 = 27\end{array}\)

M

F(0)=2 ko thể áp dụng cho 2x+5 ạ vì x>=1. Em cảm ơn ạ

Nguyen Anh · 2 tháng trước

Sao e tính ra 27 nhỉ . Em cảm ơn

...Xem tất cả bình luận