Có bao nhiêu số tự nhiên 4 chữ số lớn hơn 3 2 5 4
|
Ta có các tổ hợp 4 số có tổng bằng 4 là: (1, 1, 1, 1), (0, 1, 2, 1), (0, 2, 2, 0), (0, 1, 3, 0), (4, 0, 0, 0). Từ tổ hợp số này, ta lập được các số sau:
Như vậy, tổng tất cả có 20 chữ số có 4 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số là 4. Mục lục Cơ sở lý thuyết và kinh nghiệm làm toán tìm số tự nhiên có 4 chữ số.Đây là dạng bài tập liệt kê các số thỏa mãn điều kiện bài cho. Đây là dạng bài không khó nhưng nó yêu cầu độ tỉ mỉ và suy xét đầy đủ. Phương pháp làm dạng bài này rất đơn giản. Trước hết tìm các chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài. Sau đó là sắp xếp các chữ số đó thành các phần tử số tự nhiên thỏa mãn. Có một mẹo hay để không bỏ sót số. Có thể bạn quan tâm: Tìm A, B để P(X) chia hết cho Q(X) Ví dụ khi sắp xếp nhóm (1, 2, 3, 4) thành các số tự nhiên. Trước hết bạn sẽ lấy từng số làm hàng nghin. Ví dụ tôi lấy số 1 làm hàng nghìn. Sau đó chọn số hàng trăm. Đầu tiên tôi chọn số 2 làm hàng trăm thì có số 1234, 1243. Tiếp tục lấy số 3 làm hàng trăm thì có 1342, 1324. Và lấy số 4 làm hàng trăm thì có các số 1423, 1432. Như vậy, với số 1 làm hàng nghìn thì ta có 6 số. Tương tự sau đó lấy 2, 3, 4 làm hàng nghìn. Hãy thực hành phương pháp này. Chắc chắn bạn sẽ không bỏ lỡ bất kì số nào đâu. - Vì chữ số 0 không thể đứng đầu nên chỉ có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn (chọn 2 hoặc 5 hoặc 7) - Sau khi chọn chữ số hàng nghìn thì có 3 cách chọn chữ số hàng trăm - Sau khi chọn chữ số hàng nghìn và hàng trăm thì còn 2 cách chọn chữ số hàng chục - Cuối cùng chỉ còn 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Vậy có tất cả 3×3×2×1=18(số) 1/Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho luôn có mặt 3 chữ số 1,2,3 và chữ số 2 không nằm giữa 1 và 3 (không nhất thiết phải kế nhau). Chắc ý bạn là "Có bao nhiêu số tự nhiên có $7$ chữ số KHÁC NHAU TỪNG ĐÔI MỘT sao cho..." phải không ?
Nếu đúng là như vậy thì xin giải như sau : Các số lập được có dạng $\overline{abcdefg}$. Gọi $k$ là số chữ số nằm giữa $1$ và $3$ ($k$ chạy từ $0$ đến $5$) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 .Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3 @chanhquocnghiem:Đây cũng là 1 minh chứng cho bài toán được giải quyết tốt khá là nhẹ nhàng, ngắn gọn khi tiếp cận bằng pp "mộc mạc, cổ điển " quen thuộc, trong khi đó nếu dùng hàm sinh thì bài giải khá dài, cồng kềnh và phải vận dụng thêm một ít kiến thức toán học khác. a/ Cách tiếp cận "chân phương ", truyền thống:(Mời bạn gì đó nên xem phần này nhé ) theo mình thì bạn phân thành 3 tập :$A_0=\left \{ 3,6,9 \right \},A_1=\left \{ 1,4,7 \right \},A_2=\left \{ 2,5,8 \right \} $. Sau đó bạn tính số tập con có 4 phần tử mà tổng các phần tử chia hết cho 3. Tdụ : số cách chọn 2 ptử thuộc $A_0$ + 1 ptử thuộc $A_1$ + 1 ptử thuộc $A_2$ là : $C^{1}_{3}.C^{1}_{3}.C^{1}_{3}=27$..vv... Cứ tính như vậy, bạn sẽ có số tập con có 4 ptử và tổng 4 ptử chia hết cho 3 là $42$. Thực hiện hoán vị 4 ptử trong mỗi tập, bạn sẽ được số các số thỏa yêu cầu đề bài là $4!42$. Từ đây bạn dễ dàng tính được XS mà đề bài yêu cầu. b/ Tiếp cận bằng hàm sinh : Ta lập hàm sinh $G(x,y)$, trong đó $x$ mang thông tin là tổng các phần tử, $y$ mang thông tin là số phần tử. Ta có : $$G(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)...(1+x^9y)$$ Khai triển dưới dạng tổng thì: $G(x,y)=\sum_{n,k}^{} a_{n,k}x^ny^k$ Gọi $\omega ^{2\pi i/3} $ là một căn bậc 3 của đơn vị và $N$ là số tập con $ k$ phần tử và tổng k phần tử trong tập con này là $n$ thì : $N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{G(1, y) +G(\omega, y)+G(\omega^2, y) }{3}$ Ta có : $G(1,y)=(1+y)^9$ $G(\omega^j,y)=(1+\omega^jy)(1+\omega^{2j}y)...(1+\omega^{9j}y)=\left ( (1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y) \right )^3, \forall j\geq 1$ Dễ thấy phương trình $y^3+1=0$ có nghiệm là $-e^{-1}, -e^{-2}, -e^{-3} $ nên : $(1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y)=1+y^3$ Suy ra : $N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{(1+y)^9+2(1+y^3)^3}{3}$ Với $k=4$ ta có : $N=\frac{\binom{9}{4}+2(1+y^3)^3}{3}=\frac{\binom{9}{4}}{3}=\frac{126}{3}=42$ Suy ra số các số thỏa yêu cầu đề bài là $\boxed {4!42}$ Chú thích : - Số hạng thứ hai trong tử số của $N$ bằng $0$ vì sau khi khai triển số hạng này thì trong khai triển không có số hạng nào chứa $y^4$. PS: Nhân đây, cho phép em hỏi thăm anh Chanhquocnghiem : Lâu rồi không thấy anh viết bài trên forum, anh mạnh khỏe chứ? Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-08-2022 - 06:19 |
