Công thức viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng trong không gian là một trong những dạng toán “khó nhằn”, khiến nhiều bạn dễ mất điểm nếu không nắm vững kiến thức. Vì vậy, bài viết dưới đây sẽ cung cấp tổng hợp lý thuyết cũng như các dạng phương trình mặt phẳng thường gặp để giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng bài tập này.

Để hiểu hơn về vectơ pháp tuyến ta có:

(P) là một mặt phẳng trong không gian, 1 vectơ khác vectơ 0 có phương vuông góc với (P) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Ta có mặt phẳng (P). Khi 2 vectơ khác vectơ 0 và không cùng phương thì gọi là cặp vectơ chỉ phương của (P) nếu giá của chúng nằm song song hoặc nằm trên (P). 

1.2. Phương trình mặt phẳng

• Ta có mặt phẳng (P) đi qua điểm $M_{0}(x_{0}$,$y_{0}$,$z_{0})$ và nhận $\bar{n}(A,B,C)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A(x-x_{0})$ + $B(y-y_{0})$ + $C(z - z_{0})$

• Mặt phẳng trong không gian đều có phương trình tổng quát dạng:

          Ax + By + Cz = 0, trong đó $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ > 0. Khi đó vectơ n(A;B;C) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

• Tiếp theo, một mặt phẳng đi qua 3 điểm M(a,0,0), N(0,b,0), C(0,0,c) trong đó $abc \neq 0$. Ta có phương trình: $\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$+$\frac{z}{c}$ = 0, khi đó phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

1.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì ta có phương trình như sau:

1.4. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) thì ta có phương trình sau:

>> Xem thêm: Góc giữa 2 mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và bài tập

1.5. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

2. Cách giải các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian

2.1. Lập phương trình mặt phẳng oxyz đi qua 3 điểm

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) mặt phẳng Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với $A^{2}$ + $B^{2}$ + $C^{2}$ > 0

Để viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần có: 

• Điểm M bất kỳ mà mặt phẳng đi qua.

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2.2. Viết phương trình mặt phẳng p song song và cách đều

Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M_{0}(x_{0}$,$y_{0}$,$z_{0})$ đồng thời song song với mặt phẳng (Q): 

Ax + By + Cz + m = 0

Vì M thuộc mặt phẳng (P) nên thế tọa độ M và mặt phẳng (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình như sau:

$A(x-x_{0})$ + $B(y-y_{0})$ + $C(z - z_{0})$ = 0

Lưu ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vectơ pháp tuyến.

2.3. Dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Ở dạng bài tập này sẽ có phương pháp giải như sau:

• Tính bán kính của mặt cầu S và tìm tọa độ tâm I 

• Nếu mặt cầu S tiếp xúc với mặt phẳng P tại $M \in (S)$ thì mặt phẳng P sẽ đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là MI

• Trong trường hợp bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ liệu liên quan để tìm ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Sau đó viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 

2.4. Viết phương trình 2 mặt phẳng vuông góc

Ta có điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): ${A}'x$ + ${B}'y$ + ${C}'z$ + ${D}'$ = 0 khi đó 2 mặt phẳng vuông góc với nhau ⇔ ${AA}'$ + ${BB}'$ + ${CC}'$ + ${DD}'$ = 0.

Để chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì:

• Cách 1: Cần chứng minh được mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

• Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng phải bằng 90 độ.

2.5. Viết phương trình mặt phẳng cắt 3 trục tọa độ

Dạng bài này ta có phương pháp cụ thể như sau:

Như vậy, bài viết trên đây đã cung cấp cho các em đầy đủ kiến thức lý thuyết, công thức toán hình 12 về phương trình mặt phẳng và các dạng bài tập thường gặp. Tuy nhiên, nếu muốn đạt kết quả tốt nhất, các em hãy truy cập vào Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để làm thêm nhiều dạng bài tập hình học không gian khác nhau nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.

>> Xem thêm:

Toán 12 | Ôn thi THPTQG môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000₫

Chỉ còn 900.000 ₫

Chỉ còn 2 ngày

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

• Vectơ

 được gọi là một vectơ pháp tuyến (VTPT) của mp(P) nếu  ≠  và giá của  vuông góc với (P).

• Cặp vectơ

,  được gọi là một cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của (P) nếu   ≠  ,  ≠  và giá của chúng nằm trong (P) hay song song với (P).

• Nhận xét: Nếu  

,  là cặp VTCP của (P) thì  là một VTPT của (P).

2. Phương trình của mặt phẳng

• Mặt phẳng (P) qua điểm Mo(xo; yo; zo) và có VTPT

 = (A ; B ; C) là:

                               A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = 0.

• Nếu A2 + B2 + C2 > 0 (A, B, C không đồng thời bằng 0) thì phương trình

                              Ax + By + Cz + D = 0

là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là

 = (A ; B ; C).

3. Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng

Tính chất của mặt phẳng (P)	Phương trình của mặt phẳng (P)
(P) qua gốc O	Ax + By + Cz = 0
(P) trùng với mp(Oxy)	z = 0
(P) trùng với mp(Oyz)	x = 0
(P) trùng với mp(Oxz)	y = 0
(P) // Ox hay (P) chứa Ox	By + Cz + D = 0
(P) // Oy hay (P) chứa Oy	Ax + Cz + D = 0
(P) // Oz hay (P) chứa Oz	Ax + By + D = 0
(P) // mp(Oxy)	Cz + D = 0 (C.D ≠ 0) hay z = m
(P) // mp(0xz)	By + D = 0 (B.D ≠ 0) hay y = n
(P) // mp(0yz)	Ax + D = 0 (A.D ≠ 0) hay x = p
(P) qua các điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) (abc ≠ 0)

 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng : (α) : Ax + By + Cz + D = 0 và (β) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0.

Ta có

• A : B : C ≠ A’ : B’ : C’ : (α) và (β) cắt nhau.

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm Mo(xo ; yo ; zo) đến (P) : Ax + By + Cz + D = 0 là: