Đề bài - câu 3 trang 34 sgk hình học 11 nâng cao .

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \) và AM + BN bé nhất

Đề bài

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A, B nằm về một phía đối với d. Hãy xác định trên d hai điểm M, N sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \) và AM + BN bé nhất

Lời giải chi tiết

Đề bài - câu 3 trang 34 sgk hình học 11 nâng cao .

Giả sử hai điểm M, N nằm trên d sao cho \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} \)

Lấy điểm A sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \) thì điểm A hoàn toàn xác định và AMNA là hình bình hành nên AM = AN

Ta có: AM + BN = AN + BN

Gọi A là điểm đối xứng của A qua d, khi đó:

AN + BN = AN + BN AB

Từ đó ta suy ra AM + BN nhỏ nhất khi N là giao điểm của BA với d

Từ đó tìm được điểm M thỏa \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {PQ} \)