Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Đầu chương trình đại số học kì 2 lớp 10, các bạn học sinh được tìm hiểu chương bất đẳng thức và bất phương trình. Tuy nhiên, việc giải bất phương trình đang là bài toán khiến nhiều bạn học sinh cảm thấy khó khăn vì ngoài các bất phương trình bất nhất, bậc hai thì còn xuất hiện nhiều bất phương trình chứa căn thức, chứa trị tuyệt đối. Hiểu được điều đó, Kiến Guru đã biên soạn các công thức giải bất phương trình lớp 10 để các em có thể vận dụng vào việc giải các bất phương trình từ đơn giản đến phức tạp một cách dễ dàng. 

Giải bất phương trình là một kĩ năng vô cùng quan trọng trong chương trình toán THPT vì lên lớp 11, 12 chúng ta còn sẽ gặp rất nhiều dạng toán mà muốn giải được thì cần có các kĩ năng giải bất phương trình. Hy vọng với các công thức giải bất phương trình mà Kiến Guru giới thiệu sẽ giúp các em giải quyết nhanh gọn tất cả các bài toán giải bất phương trình.

I. Các công thức giải bất phương trình lớp 10:

A/ Bất phương trình quy về bậc nhất:

Trong phần A, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc nhất. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.

1. Giải và biện luận bpt dạng ax + b < 0

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn
1.1. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.

1.2. Dấu nhị thức bậc nhất

2. Bất phương trình tích

∙ Dạng: P(x).Q(x) > 0  (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

∙ Cách giải: Lập bxd của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Dạng 1:

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

B/ Bất phương trình quy về bậc hai:

Trong phần B, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét:

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 (hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

II. Bài tập giải bất phương trình lớp 10

Trong phần 2, chúng tôi xin giới thiệu các dạng bài tập vận dụng các công thức giải bất phương trình lớp 10. Các bài tập cũng được chia ra : bpt bậc nhất, bậc hai và các phương trình chứa dấu GTTĐ và chứa ẩn dưới dấu căn.

1. Bài tập về Bất Phương Trình:

Bài 1/ BPT bậc nhất

1.1. Giải các bất phương trình sau:

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1.2. Giải các bất phương trình sau:

1.3. Giải các bất phương trình sau:

Bài 2/ BPT qui về bậc nhất

Giải các bất phương trình sau:

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Bài 3/ BPT  bậc hai

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Bài 4/ BPT  qui về bậc hai có chứa dấu GTTĐ

Giải các bất phương trình sau:

Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức

   Giải các phương trình sau:

2. Bài tập về Phương Trình

Bài 1: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Bài 2. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)

Bài 4: Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

Bài 5: Giải các phương trình sau: 

3. Bài tập tổng hợp các dạng:

Trên đây là các công thức giải bất phương trình lớp 10 và kèm theo là các dạng bài tập giải bất phương trình lớp 10. Để làm tốt dạng toán giải bất phương trình, trước hết các em học sinh cần phải nắm vững các quy tắc xét dấu của tam thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, dựa vào các công thức mà tài liệu đã giới thiệu, các em có thể áp dụng để giải các bất phương trình phức tạp hơn. Giải bất phương trình là một dạng toán rất quan trọng và theo suốt chúng ta trong chương trình toán THPT. Do đó, nó luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra một tiết và đề thi học kì lớp 10 nên các em cần đặc biệt lưu ý trong quá trình ôn tập. Hy vong, với các công thức mà Kiến Guru giới thiệu, các bạn học sinh lớp 10 sẽ thành thạo việc giải bất phương trình và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới.

Hệ bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong đó:

  • a , b , c là các hệ số.
  • a và b không đồng thời bằng 0.

Chú ý:

  • Khi $a=b=0$ = > (1) <=> $0x + 0y = c$.
    • Nếu $c \neq 0$ => (1) vô nghiệm.
    • Nếu $c=0$ => Mọi cặp $(x_{0};y_{0})$ đều là nghiệm của (1).
  • Khi $b \neq 0$ = > (1) <=> $y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}$.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=c_{1} & \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2} & \end{matrix}\right.$
  • Nếu $(x_{0};y_{0})$ đều là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.

          =>   $(x_{0};y_{0})$  là nghiệm của hệ phương trình trên.

II. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1} &  & \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2} &  & \\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3} &  & \end{matrix}\right.$
  • Nếu $(x_{0};y_{0};z_{0})$ đều là nghiệm của cả ba phương trình của hệ.

          =>   $(x_{0};y_{0};z_{0})$ là nghiệm của hệ phương trình trên.

B. Bài tập và hướng dẫn giải

Câu 1: Trang 68  - sgk đại số 10

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}7x-5y=9 & \\ 14x-10y=10 & \end{matrix}\right.$

Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm.

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 2: Trang 68  - sgk đại số 10

Giải các hệ phương trình :

a) $\left\{\begin{matrix}2x-3y=1 & \\ x+2y=3 & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}3x+4y=5 & \\ 4x-2y=2 & \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{2}{3} & \\ \frac{1}{3}x-\frac{3}{4}y=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}0,3x-0,2y=0,5 & \\ 0,5x+0,4y=1,2 & \end{matrix}\right.$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 3: Trang 68  - sgk đại số 10

Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và quả cam hết bao nhiêu ?

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 4: Trang 68  - sgk đại số 10

Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai day chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền này may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi ?

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 5: Trang 68  - sgk đại số 10

Giải các hệ phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix}x+3y+2z=8 &  & \\ 2x+2y+z=6 &  & \\ 3x+y+z=6 &  & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x-3y+2z=-7 &  & \\ 22x+4y+3z=8 &  & \\ 3x+y-z=5 &  & \end{matrix}\right.$

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 6: Trang 68  - sgk đại số 10

Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 21 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5.349.000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5.600.000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5.259.000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quấn và mỗi váy là bao nhiêu ?

=> Xem hướng dẫn giải

Câu 7: Trang 68  - sgk đại số 10

Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

a) $\left\{\begin{matrix}3x-5y=6 & \\ 4x+7y=-8 & \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}-2x+3y=5 & \\ 5x+2y=4 & \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}2x-3y+4z=-5 &  & \\ -4x+5y-z=6 &  & \\ 3x+4y-3z=7 &  & \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}-x+2y-3z=2 &  & \\ 2x+y+2z=-3 &  & \\ -2x-3y+z=5 &  & \end{matrix}\right.$

=> Xem hướng dẫn giải

Trắc nghiệm đại số 10 bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn