Khi nào dụng công thức Bayes

1) Công thức xác suất đầy đủ

a) Hệ đầy đủ các biến cố

Hệ các biến cốđược gọi là đầy đủ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa làvới mọi

Hệlà một hệ đầy đủ, trong đólà một biến cố bất kỳ.

b)Công thức xác suất đầy đủ

Giả sửlà hệ đầy đủ các biến cố vớivới mọi. Khi đó với bất kỳ biến cố, ta có

Ví dụ 1:

Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm, hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.

Lời giải:

Ký hiệulà biến cố: Sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ,vàlà biến cố: Lấy được chính phẩm.

Khi đólà hệ đầy đủ các biến cố và

Theo công thức xác suất đầy đủ

Thay vào ta thu được

Vậy xác suất để lấy được chính phẩm là.

Ví dụ 2:

Từ một hộp chứaquả cầu trắng vàquả cầu đen, người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một hai lần. Tính xác suất để quả lấy lần thứ hai là trắng.

Lời giải:

Ký hiệulà biến cố: Lần thứ hai rút được quả cầu trắng,là biến cố: Lần thứ nhất rút được quả cầu trắng,là biến cố: Lần thứ nhất rút được quả cầu đen.

Ta có

Vìlà một hệ đầy đủ nên theo công thức xác suất đầy đủ

.

Vậy xác suất để quả lấy lần thứ hai là trắng là.

Ví dụ 3:

Có 10 chiếc túi như sau:

4 túi loại 1, trong mỗi túi loại 1 chứa 6 viên bi trắng và 4 viên bi đen,

2 túi loại 2, trong mỗi túi loại 2 chứa 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen,

1 túi loại 3, trong mỗi túi loại 3 chứa 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen,

3 túi loại 4, trong mỗi túi loại 4 chứa 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen.

Chọn ngẫu nhiên 1 chiếc túi rồi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu.

Lời giải:

Ký hiệulà biến cố chọn được túi loại,vàlà biến cố lấy được hai viên bi cùng màu.

Khi đólà hệ đầy đủ các biến cố và ta có

Theo công thức xác suất đầy đủ

Thay vào ta được

.

Vậy

Ví dụ 4:

Có hai cái hộp. Hộp thứ nhất có 4 bi trắng và 5 bi đen. Hộp thứ hai có 5 bi trắng và 4 bi đen. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi ở hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai rồi sau đó chọn ngẫu nhiên một viên bi ở hộp thứ hai ra. Tính xác suất để lấy được bi trắng từ hộp thứ hai.

Lời giải:

Gọilà biến cố: Lấy được bi trắng từ hộp thứ hai,là biến cố: Trong 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cóbi trắng,.

Khi đólà hệ đầy đủ các biến cố và ta có

Theo công thức xác suất đầy đủ

Dễ thấy

Thay các giá trị này vào ta được

.

Vậy xác suất cần tìm là.

Ví dụ 5:

Trong một cái hộp cósản phẩm, ta bỏ vào cái hộp đó một sản phẩm tốt sau đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là tốt nếu mọi giả thiết về trạng thái cấu thành ban đầu của hộp là đồng xác suất.

Lời giải:

Gọilà biến cố: Lấy được sản phẩm tốt,là biến cố: Lúc ban đầu hộp cósản phẩm tốt,. Khiđólà hệ đầy đủ các biến cố.

Theo giả thiết

.

Ta cóvới mọi.

Theo công thức xác suất đầy đủ

Thay vào ta được

2)Công thức Bayes

Giả sửvàlà hệ đầy đủ các biến cố vớivới mọi. Khi đóvới mọi, ta có

Ví dụ 6:

Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết. Khoảng 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.

Lời giải:

Gọilà biến cố: Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn,là biến cố: Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất vàlà biến cố: Chi tiết do máy thứ hai sản xuất. Ta cần tính xác suất.

Theo công thức Bayes

Theo điều kiện bài toán

Thay vào ta có