Làm thế nào để chứng minh tứ giác là hình thang
|
10/19/2017 Show
Ngày 19/10/2017 bạn Uyển Nhi gửi bài toán: Cho tam giác ABC, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC a) Chứng minh tứ giác MNCB là hình thang. Tính BC nếu biết MN = 6cm b) Trên tia đối của tia NM lấy điểm E sao cho NM = NE. Chứng minh AMCE là hình bình hành c) Tam giác ABC cần điều kiện gì thì AMCE là hình chữ nhật.Trả lời cho bạn: Chào bạn! Chỉ cần bạn nắm vững những kiến thức mà cô giáo đã dạy trên lớp về dấu hiệu nhận biết hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, đường trung bình của tam giác... là bạn có thể hoàn thành bài tập này một cách dễ dàng. a) Ta có $\left.\begin{matrix}\text{M là trung điểm của AB}\\ \text{N là trung điểm của AC}\end{matrix}\right\}$ => MN là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MN = $\frac{1}{2}$BC (1) và MN // BC Tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang (đpcm) Từ (1) suy ra BC = 2MN = 2.6 = 12Vậy BC = 12cm.
Nên tứ giác AMCE là hình bình hành. (đpcm) c) Ở câu b) ta đã chứng minh được AMCE là hình bình hành. Mà theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật cô giáo đã dạy thì hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. Ta dự đoán góc vuông đó sẽ là góc M. Khi đó MA phải vuông góc với MC. Nghĩa là MC phải là đường cao của tam giác ABC. Theo giả thiết M là trung điểm AB nên MC là trung tuyến của tam giác ABC. Mà chỉ có trong tam giác cân thì đường trung tuyến mới vừa là đường cao.Do đó khi tam giác ABC cân tại C thì AMCE là hình chữ nhật. Mỗi bài toán có nhiều cách giải, đừng quên chia sẻ cách giải hoặc ý kiến đóng góp của bạn ở khung nhận xét bên dưới. Xin cảm ơn! Như các em đã biết thì hình thang cân là hình rất quen thuộc trong môn Toán cũng như trông đời sống hằng ngày. Bạn đang xem: Chứng minh tứ giác là hình thang Vậy hình thang cân gồm có những kiến thức gì? Hay được áp dụng thế nào trong cuộc sống thì sau đây chúng ta hãy cùng ôn tập qua bài viết này nhé. Nội dung: 4 Những phương pháp để chứng minh hình thang cân7 Một số ví dụ bài tập về hình thang cânĐịnh nghĩa về hình thang cânĐây là hình có định nghĩa rất dễ ghi nhớ và học thuộc và được định nghĩa như sau: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Hình thang cân là 1 trường hợp đặc biệt của hình thang. Đây là ví dụ của hình thang cân:  Tứ giác ABCD là hình thang cân có đáy là (AB,CD). Tính chất của hình thang cânHình thang cân gồm có 4 tính chất đó là: Trong một hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.Trong một hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau.Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.Hình thang cân nội tiếp hình tròn.Đây là 4 tính chất rất quan trọng của hình thang cân để các e có thể áp dụng vào bài tập. Dấu hiệu nhận biết của hình thang cânNếu hình thang cân có 4 tính chất thì sang đến dấu hiệu nhận biết của hình thang cân thì gồm có 5 dấu hiệu đó là: Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.Hình thang có hai trục đối xứng của hai đáy trùng nhau là hình thang cân.Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau (nếu hai cạnh bên ấy không song song) là hình thang cân.Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.Chú ý: Hình thang cân thì có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân. Vì vậy, sau khi đã ôn tập lại đầy đủ kiến thức về hình thang cân. Thì ngay sau đây chúng ta hãy cùng đi đến phương pháp để chứng minh hình thang cân trong toán học. Những phương pháp để chứng minh hình thang cânĐể chứng minh được hình đó là hình thang cân chúng ta gồm có 3 phương pháp. Và dưới đây là chi tiết nội dung về 3 phương pháp chứng minh hình thang cân. Xem thêm: Soạn Đức Tính Giản Dị Của Bác Hồ, Soạn Bài Đức Tính Giản Dị Của Bác Hồ Phương pháp 1:Để chứng minh tứ giác đó là hình thang cân ta phải chứng minh tứ giác đó có 2 cạnh song song với nhau dựa vào các cách chứng minh song song như sau: Hai góc đồng vị bằng nhau.Hai góc so le trong bằng nhau.Hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông đến góc song song. Phương pháp 2:Chứng minh hình thang đó có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân. Phương pháp 3:Chứng minh hình thang đó có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân. Đây là 3 phương pháp rất hay được sử dụng để các em có thể sử đụng để làm bài tập về chứng minh hình thang cân. Trục đối xứng của hình thang cânĐường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. Ứng dụng của hình thang cân trong đời sốngHình thang cân là 1 hình dạng phổ biến đối với mỗi con người. Và nó được dùng làm đồ chơi cho trẻ em có dạng hình thang cân. Hay hình thang cân còn được tạo ra thành những mô hình làm bằng nhựa để cho các em học sinh có thể học tập và nhận biết….. Một số ví dụ bài tập về hình thang cânBài tập 1:Cho hình thang cân ABCD có AB||CD, AB→ ⊿AHD = ⊿BKD ( theo trường hợp cạnh huyền-góc nhọn)→ DH=KC (đpcm) Bài tập 2:Trong các tứ giác ABCD, EFGH trên giấy kẻ ô vuông (h.31), tứ giác nào là hình thang cân? Vì sao? Lời giải: Để nhận biết được tứ giác nào là hình thang cân thì phải dùng tính chất: “Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau”. Tứ giác ABCD là hình thang cân vì AD = BC.Tứ giác EFGH không là hình thang cân vì EF > GH.Tổng kếtNhư vậy qua bài viết hôm nay chúng ta đã có thể nhớ lại và ôn tập lại lí thuyết về hình thang cân. Hi vọng với những kiến thức bổ ích này sẽ giúp các em có thể ôn tập và rèn luyện lại kiến thức cho mình một cách tốt nhất và hiệu quả nhất.
Chuyên đề hình thang cũng như cách chứng minh hình thang là phần kiến thức trọng tâm của Hình học 8. Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng.vn sẽ giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em những kiến thức cần ghi nhớ về hình thang và cách chứng minh hình thang nhanh chóng. Bạn tìm hiểu nhé ! I. LÝ THUYẾT VỀ HÌNH THANG
1. Định nghĩa: Bạn đang xem: Hình thang là gì? Cách chứng minh hình thang nhanh, chính xác Hình thang là một tứ giác lồi có 2 cạnh đối song song. Hai cạnh này được gọi là hai cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại là hai cạnh bên, Các trường hợp đặc biệt của hình thang:
2. Các tính chất của hình thang Tính chất về góc:
Tính chất về cạnh:
Tính chất về đường trung bình: Đường trung bình là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
3. Các loại hình thang Hình thang vuông: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông Hình thang cân: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
4. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
II. CÁCH CHỨNG MINH HÌNH THANG NHANH NHẤT – Cách 1: Chứng minh tứ giác đó có một cặp cạnh đối song song. Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng AE, BE, AC và BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang. Ta có: M là trung điểm của AE N là trung điểm của BE => MN là đường trung bình ứng với cạnh AB của ΔEAB, suy ra MN // AB (1) Gọi R là trung điểm của AD Trong ΔADB, RQ là đường trung bình, suy ra RQ // AB Trong ΔCAD, RP là đường trung bình, suy ra RP // DC mà DC // AB nên RP // AB. RQ và RP cùng đi qua R và cùng song song với AB nên theo tiên đề Ơclit thì RQ ≡ RP Từ đây ta suy ra QP // AB (2) Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ => Tứ giác MNPQ là hình thang do một cặp cạnh đối song song. – Cách 2: Chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180 độ. Ví dụ: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy một điểm B’ sao cho AB’ = AB và trên AB lấy một điểm C’ sao cho AC’ = AC. Chứng minh tứ giác BB’CC’ là hình thang. Ta có: AB’ = AB => ∆BAB’ cân tại A => Góc ABB’ = (180°- Â)/2 Chứng minh tương tự, ta có: Góc AC’C = (180°- Â)/2 => Góc ABB = Góc AC’C => Góc ABB’ + Góc B’BC’ = Góc AC’C + Góc B’BC’ => Góc AC’C + Góc B’BC’ = 180° => Tứ giác BB’CC’ là hình thang do tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 180° III. BÀI TẬP VỀ CHỨNG MINH HÌNH THANG Bài 1 : Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 90o, C = 45o. Biết đường cao bằng 4cm, AB + CD = 10 cm, tính hai đáy. Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE. a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao? b) Tính các góc của hình thang BEDC, biết A = 70o. c) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC? Bài 3 : Hình thang ABCD (AB//CD) có A – D = 20o, B = 2C . Tính các góc của hình thang. Giải.
Vì ABCD là hình thang (AB//CD), nên ta có : B + C = 180o (hai góc trong cùng phía bù nhau) 2C + C = 180o ( vì B = 2C) 3C = 180o → C = 60o → B = 2.60o = 120o A – D = 20o → A = 20 + D A + D = 180o (hai góc trong cùng phía bù nhau) 20 + D + D = 180 2D = 160 → D = 80 →à A = 20 + 80 = 100 Vậy A = 100 ; B = 120 ; C = 60 ; D = 80. Bài 4 : Tính các góc của hình thang ABCD (AB // CD) biết A = 3D và B – C = 30. Gợi ý : Vẽ hình tượng trưng và làm như bài toán 1. Bài 5: Tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng từ giác ABCD là hình thang. Gợi ý : AB = BC để làm gì? AC là tia phân giác để làm gì? Bài 6: Tứ giác ABCD có BC = CD và BD là tia phân giác của góc D. Chứng minh rằng ABCD là hình thang. Gợi ý : vẽ hình và làm tương tự bài toán 3. Cách chứng minh một tứ giác là hình thang à chứng minh 2 cạnh song song à 2 góc đồng vị bằng nhau, so le trong bằng nhau hoặc trong cùng phía bù nhau. Bài 7: Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 60o và C = 130o. Gợi ý : Dựa vào tính chất : ABCD là hình thang → 2 đáy song song → 2 góc trong cùng phía bù nhau. Bài 8: Tính các góc của hình thang ABCD biết A = 50o và C = 120o. BàI 9 : Hình thang vuông ABCD có A = D = 90o, C = 45o . Biết đường cao bằng 4cm. AB + CD = 10cm, Tính hai đáy. Gợi ý :
AB + DH + CH = 10 AB + AB + 4 = 10 (vì AB = DH) 2AB = 6 → AB = 3 → DH = 3 → DC = DH + CH = 3 + 4 = 7cm. Bài 10: Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD), biết D = 2A. Gợi ý : AB // CD à A và D là hai góc trong cùng phía bù nhau à A + D = 180 Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D AC, E AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. Gợi ý : Bước 1 : Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang (hai góc đồng vị AED = ABC tính thông qua góc chung A của 2 tam giác cân ABC và tam giác cân AED à chứng minh tam giác AED là tam giác cân à chứng minh AE = AD) Bước 2 : BEDC là hình thang dễ dàng thấy B = C (vì tam giác ABC cân tại A) à là hình thang cân. Bài 12 : Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C. Gợi ý : ABCD là hình thang cân, đáy nhỏ AB AB = AD (gt) BC = AD (vì ABCD là hình thang cân) Nên tam giác ABC cân tại B à học sinh tự tư duy tiếp. Bài 13 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân. b)Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng A = 40o. Gợi ý : tứ giác BMNC là hình thang cân BMNC là hình thang (đồng vị, so le trong, trong cùng phía bù nhau) hình thang cân (2 cách chứng minh hình thang cân). Bài14 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của AC lấy điểm D, trên tia đối của AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân. Gợi ý : Bài15 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng đi qua M và song song với CA cắt AB tại I. a) Tứ giác ACMI là hình gì ? b) Chứng minh AB + AC < AH + BC. Bài16 : Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB và AC tại D và E. a) Vẽ hình và tìm các hình thang trong hình vẽ. b) Chứng minh rằng hình thang BCED có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên. Gợi ý : Bài 17 : Cho tam giác ABC có BC = 4cm, các trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm cuẩ BE, CD. Gọi giao điểm của MN với BD, CE theo thứ tự là P, Q. a) Tính độ dài MN. b) Chứng minh rằng MP = PQ = QN. Trên đây, THPT Sóc Trăng.vn đã giới thiệu đến quý thầy cô và các bạn lí thuyết về hình thang và cách chứng minh hình thang nhanh, chính xác. Hi vọng, bài viết đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích. Xem thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tại đường link này bạn nhé ! Đăng bởi: THPT Sóc Trăng Chuyên mục: Giáo dục |
