Năng lực toán học có những năng lực thành tố nào

39năng lực toán học. Do vậy, để bồi dưỡng năng lực toán học cho HS chúng tôichọn bồi dưỡng một số năng lực chủ yếu, các năng lực này cần được hìnhthành và phát triển cho HS khi học toán phản ánh đặc thù của môn Toán.2.2.1 Năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học toánNăng lực giải quyết vấn đề của HS trong học toán là một tổ hợp các NLthể hiện ở các kĩ năng (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tậpnhằm giải quyết những nhiệm vụ của môn toán.Năng lực giải quyết vấn đề là một trong những năng lực mà môn Toáncó nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm,quy tắc toán học,...Đặc biệt, là khả năng huy động kiến thức toán học, phântích, tìm tòi lời giải thông qua hoạt động giải toán.Theo [1, tr 36], trong thực tiễn, tuỳ theo quan niệm về “vấn đề” ở trongphạm vi mà ta có những mối quan hệ khác nhau giữa năng lực giải quyết vấnđề với NL học toán, NL giải toán, …, chúng đan xen, tương hỗ, gắn bó vớinhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của HS:Nếu hiểu mỗi vấn đề trong học toán của HS theo nghĩa hẹp (là kháiniệm, định lí, bài toán, …, thì năng lực giải quyết vấn đề là một trong nhữngthành phần quan trọng hình thành nên NL học toán. Trong học toán, NL giảiquyết vấn đề có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng phân môn: Đại số,Hình học, … Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính chất các hoạt độngtương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt chẽ tương hỗ lẫnnhau, tạo nên năng lực giải quyết vấn đề và NL học toán thông qua quá trìnhdạy học toán. Mặt khác, nếu xét theo các tình huống dạy học điển hình củamôn Toán thì có thể nói đến NL học khái niệm, NL suy luận chứng minh địnhlí, NL giải toán, … trong NL học toán nói chung. Trong đó năng lực giảiquyết vấn đề đều có mặt và đóng vai trò quan trọng ở mỗi NL thành phần 40(nhất là NL giải toán bởi tính vấn đề trong bài toán và hoạt động giải toán tựnó đã thể hiện rõ đặc thù giải quyết vấn đề).Nếu xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống, mỗi HS luôn phải nhận biếtvà giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó có những vấn đềcủa việc học toán) thì năng lực giải quyết vấn đề có cấu trúc phức tạp hơn,bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn NL học toán. Nhưng nếu xétriêng ở phạm vi học toán, hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thìmỗi bài toán có thể chứa đựng nhiều vấn đề. Khi đó, năng lực giải quyết vấnđề lại là một bộ phận trong NL giải toán, NL học toán, …NL tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đềở mức độ cao.NL học toán là một thành phần (cùng với năng khiếu bẩm sinh tươngđối cao) để hình thành nên NL toán học.Ở các nhà toán học nổi tiếng, NL sáng tạo toán học là sự phát triển NLtoán học, năng lực giải quyết vấn đề ở mức độ cao dựa trên cơ sở rất quantrọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh).2.2.2 Năng lực tư duy toán họcChưa có một định nghĩa thống nhất giữa các nhà khoa học thế nào là tưduy toán học hay thế nào là năng lực toán học. Các nhà khoa học trong cáccông trình nghiên cứu có mô tả các thành phần của tư duy toán học, hay nănglực toán học, nhưng cũng không thống nhất với nhau.Tuy nhiên, cho dù có những quan niệm khác nhau về thuật ngữ, cũngnhư việc phân chia các thành tố của tư duy toán học hay năng lực tư duy toán,thì các nhà khoa học đều thống nhất trong vai trò quan trọng của việc giáo dụctư duy toán học cho học sinh, tác động nâng cao chất lượng dạy học môntoán. 41“Tư duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạtđộng toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triểnmột cách có phương hướng thì không thể đạt dược hiệu quả trong việc truyềnthụ cho học sinh hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học” (Iu. Koliagin,V. A. Oganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L. Lucankin (1975), Phương phápdạy Toán ở trường phổ thông).Việc dạy học môn toán có các mục tiêu chung như sau:+ Trang bị tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học;+ Phát triển năng lực trí tuệ+ Giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất và phong cách lao động khoa học+ Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.Về cấu trúc tư duy toán học, cũng trong sách đã dẫn cho rằng các thành phầnchủ yếu của tư duy toán học gồm:+ Tư duy cụ thể;+ Tư duy trừu tượng;+ Tư duy trực giác;+ Tư duy hàm;+ Tư duy biện chứng;+ Tư duy sáng tạo;Đặc biệt, tư duy trừu tượng có thể tách ra các thành phần:- Tư duy phân tích- Tư duy logic- Tư duy lược đồ không gianCùng một nhóm tác giả ở trên, năm 1980, sau khi chỉnh lý lại cuốn sách, cácthành tố tư duy được phát triển, tư duy toán học bao gồm các thành tố sau:+ Tư duy cụ thể;+ Tư duy trừu tượng; 42+ Tư duy trực giác;+ Tư duy hàmTư duy trừu tượng có thể được tách thành: Tư duy phân tích, tư duy logic, tưduy không gian.Theo nhà toán học A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy toán học là:+ Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế;+ Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất để đến mục đích;+ Phân chia rành mạch các bước suy luận;+ Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩa xácđịnh chặt chẽ;+ Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.Lại theo A. I. Marcusevich, những kỹ năng (kỹ năng tư duy toán học) cầnphải bồi dưỡng cho học sinh trong dạy học toán là:+ Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại bản chất củavấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tượng hóa;+ Kỹ năng rút ra hệ quả logic từ những tiên đề đã cho;+ Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trường hợp riêng, phân biệt khinào đã bao quát được mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chứ chưa bao quáthết mọi khả năng;+ Kỹ năng khái quát hóa các kết quả nhận được và đặt những vấn đề mới ởdạng khái quát;+ Kỹ năng xây dựng sơ đồ hiện tượng, sao cho trong đó chỉ giữ lại những yếutố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;+ Kỹ năng vận dụng các kết luận được rút ra từ các suy luận, biết đối chiếucác kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hưởng củaviệc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả. 432.2.3 Năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễnNăng lực toán học có liên quan trực tiếp đến các đặc điểm tâm lí cánhân mà trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ. Những điều kiện tâm líchung cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi hoạt động chẳng hạn như:khuynh hướng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiến thức kỹ năng, kỹ xảotrong lĩnh vực Toán học. Việc rèn luyện cho HS ý thức liên hệ toán học vớithực tiễn sẽ có tác dụng tích cực, góp phần phát triển một số thành tố trongcấu trúc năng lực toán học của HS.Trong [25, tr.41], tác giả Phan Trọng Ngọ cho rằng: “Năng lực vậndụng toán học vào thực tiễn là tổng hợp của ba thành tố: Năng lực thu nhậnthông tin toán học từ tình huống thực tế; năng lực chuyển đổi thông tin giữathực tế và toán học; năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thựctế”Theo [1, tr.43], các thành tố của năng lực vận dụng toán học vào thực tếgồm:- Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn:+ Khả năng quan sát tình huống thực tiễn+ Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thựctiễn.+ Khả năng ước tính , dự đoán các kết quả của tình huống.- Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống:+ Khả năng xác định yếu tố trung tâm của tình huống.+ Khả năng xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố; khả năng đánh giámức độ phụ thuộc.+ Khả năng loại bỏ những gì không bản chất+ Khả năng đặt ra bài toán có nội dung thực tiễn- Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: 44+ Khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn,chính xác.+ Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học.+ Khả năng diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau.- Năng lực xây dựng mô hình hóa toán học:+ Khả năng phát hiện ra quy luật của các tình huống thực tiễn+ Khả năng biểu diễn các yếu tố thực tế bằng ký hiệu, khái niệm toánhọc.+ Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, cácbiểu thức chứa biến.+ Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ,..vv+ Khả năng khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan niệm củatoán học.- Khả năng làm việc với mô hình toán học:+ Khả năng giải toán trên mô hình+ Khả năng biến đổi mô hình toán học theo dụng ý riêng.+ Khả năng dùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn- Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình:+ Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả.+ Khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình.+ Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa các mô hình toán chotình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lí hơn.2.3 Các biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực toánhọc cho học sinh trong dạy học Đại số 72.3.1 Biện pháp 1. Bồi dưỡng năng lực học Toán cho học sinh quadạy học Đại số 7 theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đềNội dung biện pháp 45Để học sinh tích cực hoạt động học tập, rèn luyện và hình thành cácthao tác tư duy qua đó phát triển năng lực học toán cho HS, GV có thể tổ chứcdạy học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề. Cụ thể GV cần:- Tạo tình huống gợi vấn đề thỏa mãn 3 điều kiện: vấn đề phải tồn tại; vấn đềphải gợi nhu cầu nhận thức của HS; vấn đề phải tạo niềm tin ở HS.- Tăng cường sự giao tiếp giữa GV và HS.- Tạo điều kiện để HS hoạt động, khuyến khích các em trình bày cách hiểucủa mình về một vấn đề nào đó.- Lồng ghép vào bài học một số bài toán thực tế.Tổ chức thực hiện biện pháp:Sau đây là một số ví dụ trong dạy học Đại số 7 theo hướng phát hiện và giảiquyết vấn đề toán học:a) Quan sát để hình thành dự đoánVí dụ 1 Dạy học về số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoànGV tạo tình huống gợi vấn đề:+ Yêu cầu HS quan sát mẫu số của hai nhóm phân sốNhóm 1 các phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:1 −2 7 9; ; ;2 5 8 20Nhóm 2 các phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn:1 4 −5 3; ; ;3 11 14 6+ Chú ý quan sát các phân số xem chúng có tối giản không ?. Mẫu số của cácphân số này có là số dương không ?. Tìm các ước nguyên tố của các mẫu số ?.+ Hãy dự đoán xem, khi nào một phân số viết được dưới dạng số thập phânhữu hạn, khi nào một phân số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuầnhoàn ?HS có thể tìm được câu trả lời: