Tam giác pascal hàng thứ 3
|
Khi nhìn vào Tam giác Pascal, hãy tìm các số nguyên tố đứng đầu hàng. Số nguyên tố đó là ước của mọi số trong hàng đó Show Quyền hạn của 2Bây giờ chúng ta hãy xem lũy thừa của 2. Nếu bạn để ý thì tổng các số ở Hàng 0 là 1 hoặc 2^0. Tương tự, ở Hàng 1, tổng của các số là 1+1 = 2 = 2^1. Nếu bạn nhìn vào từng hàng cho đến hàng 15, bạn sẽ thấy rằng điều này là đúng. Thực tế, nếu tam giác Pascal được mở rộng ra ngoài Hàng 15, bạn sẽ thấy rằng tổng các số của bất kỳ hàng thứ n nào sẽ bằng 2^n ma thuật 11Mỗi hàng đại diện cho các số trong quyền hạn của 11 (mang chữ số nếu nó không phải là một số). Ví dụ: các số ở hàng 4 là 1, 4, 6, 4 và 1 và 11^4 bằng 14,641. Nhìn vào hàng 5. Các số ở hàng 5 là 1, 5, 10, 10, 5 và 1. Vì 10 có hai chữ số nên bạn phải chuyển sang, nên bạn sẽ được 161,051 bằng 11^5 Mẫu gậy khúc côn cầuBắt đầu với bất kỳ số nào trong Tam giác Pascal và đi xuống đường chéo. Sau đó thay đổi hướng trong đường chéo cho số cuối cùng. Số cuối cùng đó là tổng của mọi số khác trong đường chéo số tam giácNếu bạn bắt đầu với hàng 2 và bắt đầu với 1, đường chéo chứa các số tam giác Số vuôngXuống đường chéo, như hình bên phải, là các số vuông. Bạn có thể tìm chúng bằng cách cộng 2 số lại với nhau. Điều này có thể được thực hiện bằng cách bắt đầu với 0+1=1=1^2 (trong hình 1), sau đó 1+3=4=2^2 (hình 2), 3+6 = 9=3^2 (trong hình 1 *Lưu ý 2 số này được biểu diễn dưới dạng 2 số để dễ nhìn 2 số đang tính tổng Dãy FibonacciNếu bạn lấy tổng của đường chéo nông, bạn sẽ nhận được các số Fibonacci Số CatalunyaCác số Catalan được tìm bằng cách lấy các đa giác và tìm xem có bao nhiêu cách chia chúng thành các hình tam giác. Những số này được tìm thấy trong tam giác Pascal bằng cách bắt đầu từ hàng thứ 3 của tam giác Pascal ở giữa và trừ đi số liền kề với nó Binomial ExpansionKhi khai triển một phương trình nhị thức, các hệ số có thể tìm được trong tam giác Pascal. Ví dụ: nếu bạn đang mở rộng (x+y)^8, bạn sẽ nhìn vào hàng thứ 8 để biết rằng các chữ số này là hệ số của câu trả lời của bạn. Điều này đúng với (x+y)^n fractalNếu bạn tô đen tất cả các số chẵn, bạn sẽ nhận được một fractal. Đây cũng là đệ quy của Tam giác Sierpinki Tổ hợp là một nhánh của toán học nói về phép đếm – và chúng ta sẽ khám phá ra nhiều ví dụ thú vị về “những thứ” mà bạn có thể đếm được Các bài toán tổ hợp đầu tiên đã được nghiên cứu bởi các nhà toán học cổ đại Ấn Độ, Ả Rập và Hy Lạp. Mối quan tâm đến chủ đề này tăng lên trong thế kỷ 19 và 20, cùng với sự phát triển của lý thuyết đồ thị và các vấn đề như định lý bốn màu. Một số nhà toán học hàng đầu bao gồm Blaise Pascal (1623 – 1662), Jacob Bernoulli (1654 – 1705) và Leonhard Euler (1707 – 1783) Tổ hợp có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của toán học, bao gồm lý thuyết đồ thị, mã hóa và mật mã, và xác suất giai thừaTổ hợp có thể giúp chúng tôi đếm số lượng đơn đặt hàng mà điều gì đó có thể xảy ra. Xem xét ví dụ sau
Hãy để chúng tôi liệt kê các khả năng - trong ví dụ này, V. CombA1 học sinh khác nhau được đại diện bởi V. CombA1 màu sắc khác nhau của ghế Có {2. 2, 3. 6, 4. 24, 5. 120}[V. CombA1] các đơn đặt hàng khác nhau có thể. Lưu ý rằng số lượng đơn đặt hàng có thể tăng rất nhanh khi số lượng học sinh tăng lên. Với 6 học sinh, có 720 khả năng khác nhau và việc liệt kê tất cả chúng trở nên không thực tế. Thay vào đó, chúng tôi muốn một công thức đơn giản cho chúng tôi biết có bao nhiêu đơn đặt hàng cho n người ngồi trên n chiếc ghế. Sau đó, chúng ta chỉ cần thay thế 3, 4 hoặc bất kỳ số nào khác cho n để có câu trả lời đúng. Giả sử chúng ta có V. LượcB1 ghế và chúng tôi muốn đặt V. Comb1==1?'một học sinh'. V. LượcB1==2?'hai học sinh'. V. Comb1==3?'ba học sinh'. V. LượcB1==4?'bốn học sinh'. V. Comb1==5?'năm học sinh'. V. Comb1==6?'sáu học sinh'. 'bảy học sinh' trên chúng. { 7. 'Có 7 học sinh ngồi được chiếc ghế đầu tiên. Vậy có 6 học sinh ngồi được ghế thứ hai. Có 5 cách chọn cho chiếc ghế thứ ba, 4 cách chọn cho chiếc ghế thứ tư, 3 cách chọn cho chiếc ghế thứ năm, 2 cách chọn cho chiếc ghế thứ sáu và chỉ có một cách chọn cho chiếc ghế cuối cùng. ', 6. 'Có 6 học sinh ngồi ghế đầu tiên. Vậy có 5 học sinh ngồi được ghế thứ hai. Có 4 sự lựa chọn cho chiếc ghế thứ ba, 3 sự lựa chọn cho chiếc ghế thứ tư, 2 sự lựa chọn cho chiếc ghế thứ năm và chỉ có một sự lựa chọn cho chiếc ghế cuối cùng. ', 5. 'Có 5 học sinh ngồi được ghế thứ nhất. Vậy có 4 học sinh ngồi được ghế thứ hai. Có 3 sự lựa chọn cho chiếc ghế thứ ba, 2 sự lựa chọn cho chiếc ghế thứ tư và chỉ một sự lựa chọn cho chiếc ghế cuối cùng. ', 4. 'Có 4 học sinh ngồi được ghế thứ nhất. Vậy có 3 học sinh ngồi được ghế thứ hai. Có 2 lựa chọn cho ghế thứ ba và chỉ có một lựa chọn cho ghế cuối cùng. ', 3. 'Có 3 học sinh ngồi được ghế thứ nhất. Khi đó có 2 học sinh ngồi được ghế thứ hai. Cuối cùng chỉ còn một học sinh ngồi vào chiếc ghế thứ ba. ', 2. 'Có 2 học sinh ngồi được ghế thứ nhất. Tiếp theo, chỉ còn một học sinh ngồi xuống chiếc ghế thứ hai. ', 1. 'Đây chỉ là một sự lựa chọn cho chiếc ghế đơn. '[V. Comb1] Tổng cộng, có khả năng. Để đơn giản hóa ký hiệu, các nhà toán học sử dụng một “. ” được gọi là giai thừa. Ví dụ: 5. (“năm giai thừa”) bằng với 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Ở trên chúng ta vừa chỉ ra rằng có n. khả năng sắp xếp n đối tượng. Tập thể dục Dung dịch Có bao nhiêu cách khác nhau để 23 học sinh ngồi trên 23 chiếc ghế trong một lớp Toán? . Tuổi của vũ trụ là khoảng 14 tỷ năm Cho 23 em ngồi vào 23 ghế thì có 23. = 25.852.016.738.884.800.000.000 khả năng (con số này quá lớn để hiển thị trên màn hình máy tính). Thử tất cả các khả năng sẽ mất 23. 4 × 52 = 124.288.542.000.000.000.000 năm. Con số này dài gấp gần 10 triệu lần so với tuổi hiện tại của vũ trụ hoán vịPhương pháp trên yêu cầu chúng ta phải có số học sinh bằng số ghế để ngồi. Nhưng điều gì xảy ra nếu không có đủ ghế?
Hãy để chúng tôi bắt đầu lại bằng cách liệt kê tất cả các khả năng Để tìm một công thức đơn giản như công thức trên, chúng ta có thể nghĩ về nó theo cách tương tự. 'Có' + V. Học sinh CombC1+' ngồi ghế đầu tiên. '+((((Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. LượcC2))==2. (Môn Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. LượcC2))==3. (Môn Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. CombC2))==4)?'Sau đó có '+(V. CombC1-1)+' học sinh có thể ngồi trên ghế thứ hai. '. '')+ (((Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. LượcC2))==3. (Môn Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. CombC2))==4)?'Sau đó có '+(V. CombC1-2)+' học sinh có thể ngồi trên ghế thứ ba. '. '')+ (((Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. CombC2))==4)?'Cuối cùng cũng còn 1 bạn ngồi ghế cuối. '. '')+ ((V. LượcC1-(Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. LượcC2))==1. V. LượcC1-(Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. LượcC2))==2. V. LượcC1-(Toán. tối thiểu (V. LượcC1,V. CombC2))==3)?'Chúng tôi không quan tâm đến phần còn lại' +(V. LượcC1-V. CombC2)+' con đứng yên. '. '') Tổng cộng có khả năng. Một lần nữa chúng ta nên suy nghĩ về việc khái quát hóa điều này. Chúng tôi bắt đầu giống như chúng tôi làm với giai thừa, nhưng chúng tôi dừng lại trước khi đạt 1. Trên thực tế, chúng tôi dừng lại ngay khi đạt đến số lượng học sinh không có ghế. Khi xếp 7 học sinh lên 3 ghế thì chúng 7 × 6 × 5 = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 17 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 7!4. = 7. (7 – 3). khả năng, vì 4 × 3 × 2 × 1 sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Một lần nữa, có một ký hiệu đơn giản hơn cho điều này. 7P3. Nếu chúng ta muốn đặt n đối tượng vào m vị trí thì có nPm = n. (n – m). khả năng. P là viết tắt của “hoán vị”, vì chúng ta đang đếm số hoán vị (thứ tự) của các đối tượng. Nếu m và n giống nhau, như trong bài toán ở đầu bài này, ta có nPn = n. (n – n). = n. 0. . Để hiểu điều này, chúng ta định nghĩa 0. = 1. Bây giờ nPn = n. như chúng tôi mong đợi từ giải pháp của chúng tôi cho vấn đề đầu tiên Tập thể dục Dung dịch Thật không may, bạn không thể nhớ mã cho ổ khóa bốn chữ số của mình. Bạn chỉ biết rằng bạn đã không sử dụng bất kỳ chữ số nào nhiều hơn một lần. Bạn phải thử bao nhiêu cách khác nhau? Có 10 chữ số (0, 1, …, 9) và mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần. Số thứ tự của các chữ số này là 10P4 = 5040. Sẽ mất rất nhiều thời gian để kiểm tra nhiều kết hợp đó, vì vậy khóa 4 số rất an toàn kết hợpHoán vị được sử dụng khi bạn chọn các đối tượng và quan tâm đến thứ tự của chúng – như thứ tự của trẻ em trên ghế. Tuy nhiên, trong một số bài toán, bạn không quan tâm đến thứ tự mà chỉ muốn biết có bao nhiêu cách để chọn một số đối tượng nhất định từ một tập hợp lớn hơn.
Ở đây chúng ta không quan tâm đến thứ tự (mua đen trước rồi đỏ hay mua đỏ trước đen cũng không quan trọng), chỉ quan tâm đến số lượng kết hợp áo thun. Các khả năng là vậy tổng cộng có 10. Nếu chúng ta đã tính 5P3 = 60, chúng ta sẽ tính hai lần một số khả năng, như bảng sau đây cho thấy Với phép hoán vị, chúng ta đếm mọi tổ hợp của ba chiếc áo phông 6 lần, vì có 3. = 6 cách đặt ba chiếc áo phông. Để có được số lượng kết hợp từ số lượng hoán vị, chúng ta chỉ cần chia cho 6. Chúng tôi viết 5C3 = 5P33. = 606 = 10. Ở đây chữ C là viết tắt của “kết hợp”. Nói chung, nếu chúng ta muốn chọn r đối tượng từ tổng số n thì có nCr = nPrr. = n. r. (n – r). các kết hợp khác nhau. Thay vì nCr các nhà toán học thường viết nCr = (nr), like a fraction in brackets but without the line in between. (Để đơn giản hóa việc sắp chữ, chúng tôi sẽ tiếp tục sử dụng ký hiệu đầu tiên trong dòng. ) bài tập Các giải pháp (a) Có 10 đứa trẻ trong lớp của bạn nhưng bạn chỉ có thể mời 5 đứa trẻ đến bữa tiệc sinh nhật của bạn. Bạn có thể mời bao nhiêu tổ hợp bạn bè khác nhau? (b) Tại một bữa tiệc có 75 người. Mọi người bắt tay mọi người một lần. Tổng số lần bắt tay là bao nhiêu? . Có bao nhiêu người tham gia bắt tay? (a) Số tổ hợp bạn bè bạn có thể mời là 10C5 = 252. Chúng tôi đã sử dụng các kết hợp vì chúng tôi mời bạn bè theo thứ tự nào không quan trọng, chúng tôi mời bạn bè theo thứ tự nào (b) Bạn muốn tìm số lượng tất cả các cặp khách dự tiệc có thể có. Đây đơn giản là 75C2 = 2775. (Đó là rất nhiều cái bắt tay. ) Tổ hợp và Tam giác PascalHãy tính một số giá trị của nCr. Chúng tôi bắt đầu với 0C0. Sau đó, chúng tôi tìm thấy 1C0 và 1C1. Tiếp theo, 2C0, 2C1 và 2C2. Sau đó là 3C0, 3C1, 3C2 và 3C3. Chúng ta có thể viết ra tất cả những kết quả này trong một bảng 0C0 = 1 1C0 = 1 1C1 = 1 2C0 = 12C1 = 22C2 = 1 3C0 = 13C1 = 33C2 = 33C3 = 1 4C0 = 14C1 = 44C2 = 64C3 = 44C4 = 1 5C0 = 15C1 = 55C2 = 105C3 = 105C4 = 55C5 = 1Đây chính xác là tam giác Pascal mà chúng ta đã khám phá trong bài viết về dãy số. Nó có thể được tạo dễ dàng hơn bằng cách quan sát rằng bất kỳ ô nào cũng là tổng của hai ô trên. Ẩn trong tam giác Pascal là vô số mẫu và dãy số Bây giờ chúng ta cũng biết rằng số thứ r trong hàng thứ n cũng được cho bởi nCr (nhưng chúng ta luôn phải bắt đầu đếm từ 0, vì vậy hàng hoặc cột đầu tiên thực sự là hàng thứ 0). Nếu chúng ta áp dụng những gì chúng ta biết về việc tạo tam giác Pascal cho các kết hợp của mình, chúng ta sẽ nhận được (nr) + (nr + 1) = (n + 1r + 1) . Điều này được gọi là Danh tính của Pascal. Bạn có thể rút ra nó bằng cách sử dụng định nghĩa của nCr theo giai thừa hoặc bạn có thể nghĩ về nó theo cách sau
Nhiều vấn đề trong tổ hợp có một giải pháp đơn giản nếu bạn nghĩ về nó đúng cách và một giải pháp rất phức tạp nếu bạn chỉ cố gắng sử dụng đại số… Ngôi sao và quán bar Dung dịch Ví dụ Một người bán rau trên thị trường dự trữ một số lượng lớn n loại trái cây khác nhau. Có bao nhiêu cách chúng ta có thể tạo thành một túi trái cây r? Lưu ý rằng với r ≤ n có nCr cách chọn một quả từ mỗi loại. Tuy nhiên, chúng tôi cũng được phép lấy nhiều hơn một loại trái cây, ví dụ như hai quả táo, một quả dâu tây và một quả chuối Chúng ta có thể biểu thị bất kỳ lựa chọn trái cây hợp lệ nào bằng một chuỗi các ngôi sao và thanh, như trong ví dụ này ★★★. ★★. . ★★. ★3 loại 1 2 loại 2 0 loại 3 2 loại 4 1 loại 5Tổng cộng có r ngôi sao (đại diện cho r loại trái cây chúng ta được phép lấy) và có n – 1 thanh (chia n loại trái cây khác nhau). Điều này làm cho tổng cộng r + n – 1 vị trí. Bất kỳ thứ tự nào của r sao và n – 1 thanh đều tương ứng với chính xác một lựa chọn trái cây hợp lệ Bây giờ chúng ta có thể áp dụng các công cụ tổ hợp của mình. có r + n – 1 vị trí và chúng tôi muốn chọn n – 1 trong số đó làm quán bar (tất cả những vị trí còn lại đều là ngôi sao). Rằng có chính xác (r + n – 1)C(n – 1) khả năng để làm điều đó Giả sử có năm loại trái cây và chúng ta muốn lấy mười món. Từ những gì chúng tôi đã tính toán ở trên, có (10 + 5 – 1)C(5 – 1) = 14C4 = 24,024 khả năng. Hãy nghĩ về điều đó vào lần tới khi bạn đi mua sắm Tổ hợp và xác suấtTổ hợp có nhiều ứng dụng trong lý thuyết xác suất. Bạn thường muốn tìm xác suất của một sự kiện cụ thể và bạn có thể sử dụng phương trình P(X) = xác suất X xảy ra = số kết quả X xảy ratổng số kết quả có thể xảy ra Bạn có thể sử dụng tổ hợp để tính “tổng số kết quả có thể xảy ra”. Đây là một ví dụ
Ta đã chỉ ra rằng có tổng cộng 24 cách ngồi trên 4 chiếc ghế. Nếu bạn nhìn lại giải pháp của chúng tôi, bạn cũng sẽ thấy rằng A ngồi trên chiếc ghế đầu tiên trong sáu trường hợp. Vì vậy P(A ngồi trên ghế đầu tiên) = số kết quả mà A ngồi trên ghế đầu tiêntổng số kết quả có thể xảy ra . . = 624 = 14. Câu trả lời này đã được dự đoán trước, vì mỗi đứa trẻ trong số bốn đứa trẻ đều có khả năng ngồi trên chiếc ghế đầu tiên như nhau. Nhưng các trường hợp khác không hoàn toàn đơn giản như vậy… bài tập Các giải pháp (b) Trong xổ số, bạn phải đoán 6 trong số 49 số. Xác suất mà bạn có được tất cả chúng đúng là gì? (a) Có 4. = 24 cách phân phối ngẫu nhiên các chữ cái và chỉ có một cách để chọn đúng tất cả các chữ cái. Do đó, xác suất để mọi bức thư được gửi đến đúng nhà là 1/24 = 0. 0417 = 4. 17% Để tìm xác suất mà mọi bức thư được chuyển đến nhầm nhà khó hơn một chút. Nó không chỉ đơn giản là 1 – 0. 0417, vì có nhiều trường hợp một hai, nhưng không phải nhà nào cũng đúng chữ. Trong trường hợp đơn giản này, giải pháp đơn giản nhất là viết ra tất cả 24 khả năng. Bạn sẽ thấy rằng trong 9 trong số 24 trường hợp, mỗi ngôi nhà nhận được một chữ cái sai, xác suất là 0. 375 = 37. 5%. Nếu có quá nhiều ngôi nhà để viết ra tất cả các khả năng, bạn có thể sử dụng một ý tưởng gọi là nguyên tắc Loại trừ Bao gồm (b) Có 49C6 = 13.983.816 kết quả có thể xảy ra khi bốc thăm, vì vậy xác suất nhận được giải pháp đúng là 1/49C6 = 0. 000000072 Trung bình cũng sẽ mất 13.983.816 lần thử để giành chiến thắng. Nếu chúng tôi gửi 100 dự đoán mỗi tuần, điều này tương ứng với 139.838 tuần, tương đương với 2.689 năm. Bài học để học. không chơi xổ số |
