Tính căn bậc 2 số học

1. Căn thức bậc hai

Căn bậc hai số học

Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt a $ và $-\sqrt a $

Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.

Tính căn bậc 2 số học

+) $\sqrt a  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$

+) So sánh hai căn bậc hai số học:

Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $.

Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.

Chú ý.:

Với \(a \ge 0,\) ta có:

+ Nếu \(x = \sqrt a \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)  thì \(x = \sqrt a .\)

Ta viết \(x = \sqrt a  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

2. So sánh các căn bậc hai số học 

ĐỊNH LÍ:

Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \) 

Ví dụ: So sánh 3 và \(\sqrt 7\) 

Ta có: \(3 = \sqrt 9 \) mà \(9 > 7\) suy ra \(\sqrt 9  > \sqrt 7 \) hay \(3 > \sqrt 7 \)

Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$  

Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|$.

Tính căn bậc 2 số học

Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có

$\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|$ nghĩa là

$\sqrt {{A^2}}  = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}}  =  - A$ nếu $A < 0$.

3. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b $.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức  (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$)

- Sử dụng hằng đẳng thức  $\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ;                                         \(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ;                      \(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

Tính căn bậc 2 số học

  • 1

    Đoán rồi sử dụng phương pháp loại trừ. Bạn sẽ khó tìm căn bậc hai của số không nguyên hơn, tuy nhiên, điều này không có nghĩa là bạn không thể.

    • Ví dụ, bạn muốn tìm căn bậc hai của 20. Bạn đã biết rằng 16 là một số chính phương với căn bậc hai là 4 (4X4=16). Và 25 cũng có căn bậc hai là 5 (5X5=25), nên căn bậc hai của 20 sẽ ở trong khoảng ấy.
    • Bạn có thể đoán rằng căn bậc hai của 20 là 4,5. Bây giờ, hãy bình phương 4,5 để kiểm chứng dự đoán của bạn. Nghĩa là, bạn nhân 4,5 với chính nó: 4,5X4,5. Hãy để ý xem đáp án lớn hơn hay nhỏ hơn 20. Sau đó, hãy tiếp tục nhân theo như dự đoán (4,6 nếu kết quả lớn hơn 20 hay 4,4 nếu nhỏ hơn 20) và tiếp tục dự đoán cho đến khi bạn ra kết quả là 20.[4] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn
    • Ví dụ, 4,5X4,5 = 20,25, theo lí thuyết, bạn nên thử một số nhỏ hơn, có thể là 4,4. 4,4X4,4 = 19,36. Vì vậy, căn bậc hai của 20 sẽ ở giữa 4,5 và 4,4. Thử 4,445X4,445. Đáp án là 19,758. Như vậy đã gần 20 hơn rồi. Nếu bạn cứ tiếp tục thử các số khác nhau với phương pháp, cuối cùng thì bạn cũng ra được 4,475X4,475 = 20,03. Khi bạn làm tròn xuống, đáp án là 20.

  • 2

    Dùng phương pháp tính trung bình. Với phương pháp này, bạn sẽ bắt đầu bằng cách tìm hai số nguyên gần căn bậc hai của bạn nhất.[5] X Nguồn nghiên cứu Đi tới nguồn

    • Sau đó, chia số bạn đang có cho các căn bậc hai ấy. Tìm trung bình cộng của thương vừa tìm được với số chia tương ứng (trung bình cộng là tổng của hai số chia cho hai). Sau đó, chia số bị chia của bạn cho trung bình cộng trên. Sau đó, tìm trung bình cộng của các đáp án bạn vừa chia ra.
    • Nghe có vẻ rắc rối đúng không? Sau đây là một ví dụ minh hoạ. Ví dụ, 10 nằm giữa hai số chính phương 9 (3X3=9) và 16 (4X4=16). Căn bậc hai của hai số này là 3 và 4. Chia 10 cho số đầu tiên, 3. Bạn sẽ ra kết quả là 3,33. Giờ, bạn tìm trung bình cộng của 3 và 3,33 bằng cách tìm tổng của chúng rồi chia tổng cho 2. Bạn sẽ ra kết quả là 3,1667. Giờ lấy 10 chia cho 3,1667. Đáp án là 3,1579. Tìm trung bình cộng của 3,1579 và 3,1667 bằng cách cộng chúng với nhau và chia tổng cho 2. Đáp án cuối cùng của bạn là 3,1623.
    • Kiểm tra lại kết quả bằng cách nhân đáp án của bạn (trong trường hợp này, 3,1623) với chính nó. 3,1623 nhân 3,1623 bằng 10,001.

  • 21:36:3414/09/2020

    Căn bậc hai là bài học đầu tiên trong chương trình toán đại số 9. Đây là kiến thức nền tảng của của phần đại số lớp 9. Căn bậc 2 chính là phép toán ngược của phép bình phương.

    Vậy căn bậc 2 là gì? công thức căn bậc 2 viết như thế nào? Thực hiện các phép tính căn bậc 2 có khó không? chúng ta sẽ cùng tìm lời giải đáp qua bài viết Căn bậc 2 này.

    I. Lý thuyết về căn bậc hai

    1. Căn bậc 2 số học

    * Nhắc lại: Ở lớp 7, ta đã biết:

    + Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.

    + Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau  là

    Tính căn bậc 2 số học
     và 
    Tính căn bậc 2 số học

    + Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết

    Tính căn bậc 2 số học

    * Ví dụ: Số 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5

    * Định nghĩa căn bậc 2

    Với  số dương a,a, số aa  được gọi là căn bậc hai số học của a.a.

    Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

    - Ví dụ: Căn bậc hai số học của số 9 là 

    Tính căn bậc 2 số học

    > Chú ý: Với a ≥ 0, ta có:

     + Nếu:

    Tính căn bậc 2 số học

     + Nếu 

    Tính căn bậc 2 số học

     Ta viết: 

    Tính căn bậc 2 số học

    2. So sánh căn bậc 2 số học

    * Định lý: với hai số a; b không âm ta có: 

    Tính căn bậc 2 số học

    * Ví dụ 1: so sánh 5 và √22

    ¤ Lời giải:

    - Ta có 

    Tính căn bậc 2 số học
     mà 25 > 22 nên 
    Tính căn bậc 2 số học
     hay 
    Tính căn bậc 2 số học

    * Ví dụ 2: so sánh 

    Tính căn bậc 2 số học
     và 7

    ¤ Lời giải:

    - Ta có   

    và 

    Nên 

    * Ví dụ 3: so sánh

    Tính căn bậc 2 số học
     và 3

    ¤ Lời giải:

    - Ta có: 

    Tính căn bậc 2 số học
     

      (*)

    Mặt khác

    Tính căn bậc 2 số học
     

    Nên 

     (**)

    Từ (*) và (**) ta có:

    II. Bài tập căn bậc 2

    * Bài 1 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng: 121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400

    > Lời giải:

    + Ta có: √121 = 11 vì 11 > 0 và 112 = 121 nên

     Căn bậc hai số học của 121 là 11. Căn bậc hai của 121 là 11 và – 11.

    + Tương tự:

     Căn bậc hai số học của 144 là 12. Căn bậc hai của 144 là 12 và -12.

     Căn bậc hai số học của 169 là 13. Căn bậc hai của 169 là 13 và -13.

     Căn bậc hai số học của 225 là 15. Căn bậc hai của 225 là 15 và -15.

     Căn bậc hai số học của 256 là 16. Căn bậc hai của 256 là 16 và -16.

     Căn bậc hai số học của 324 là 18. Căn bậc hai của 324 là 18 và -18.

     Căn bậc hai số học của 361 là 19. Căn bậc hai của 361 là 19 và -19

     Căn bậc hai số học của 400 là 20. Căn bậc hai của 400 là 20 và -20.

    * Bài 2 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: So sánh:

    a) 2 và √3 ;     b) 6 và √41 ;     c) 7 và √47

    > Lời giải:

    a) 2 = √4

     Vì 4 > 3 nên √4 > √3 (định lí)

    → Vậy 2 > √3

    b) 6 = √36

     Vì 36 < 41 nên √36 < √41

    → Vậy 6 < √41

    c) 7 = √49

     Vì 49 > 47 nên √49 > √47

    → Vậy 7 > √47

    * Bài 3 trang 6 SGK Toán 9 Tập 1: Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương tình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

    a) x2 = 2 ;         b) x2 = 3

    c) x2 = 3,5 ;      d) x2 = 4,12

    Hướng dẫn: Nghiệm của phương trình x2 = a ( với a ≥ 0) là các căn bậc hai của a.

    > Lời giải:

    a) x2 = 2 ⇒ x1 = √2 và x2 = -√2

    Dùng máy tính bỏ túi ta tính được:

      √2 ≈ 1,414213562

    Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là:

    x1 = 1,414; x2 = - 1,414

    b) x2 = 3 ⇒ x1 = √3 và x2 = -√3

    Dùng máy tính ta được:

      √3 ≈ 1,732050907

    Vậy x1 = 1,732; x2 = - 1,732

    c) x2 = 3,5 ⇒ x1 = √3,5 và x2 = -√3,5

    Dùng máy tính ta được:

      √3,5 ≈ 1,870828693

    Vậy x1 = 1,871; x2 = - 1,871

    d) x2 = 4,12 ⇒ x1 = √4,12 và x2 = -√4,12

    Dùng máy tính ta được:

      √4,12 ≈ 2,029778313

    Vậy x1 = 2,030 ; x2 = - 2,030

    * Bài 4 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm số x không âm, biết:

    a) √x = 15;         b) 2√x = 14

    c) √x < √2;         d) √2x < 4

    > Lời giải:

    * Lưu ý: Vì x không âm (x ≥ 0) nên các căn thức trong bài đều xác định.

    a) √x = 15

    Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

    x = 152 ⇔ x = 225

    Vậy x = 225

    b) 2√x = 14 ⇔ √x = 7

    Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

    x = 72 ⇔ x = 49

    Vậy x = 49

    c) √x < √2

    Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được: x < 2

    Vậy 0 ≤ x < 2

    d) 

    Vì x ≥ 0 nên bình phương hai vế ta được:

    2x < 16 ⇔ x < 8

    Vậy 0 ≤ x < 8

    * Bài 5 trang 7 SGK Toán 9 Tập 1: Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.

    > Lời giải:

    - Diện tích hình chữ nhật: SHCN = 3,5.14 = 49 (m2)

    - Gọi a (m) (a > 0) là độ dài của cạnh hình vuông. Suy ra diện tích hình vuông là

     SHV = a2 = 49 (m2)

    ⇒ a = 7 (m)

    Vậy cạnh hình vuông có độ dài là 7m.

    Như vậy với nội dung bài viết căn bậc 2 này các em cần nhớ được định nghĩa căn bậc 2, đặc biệt là dựa vào định lý để so sánh căn bậc 2 cần các phép biến đổi linh hoạt. Các em hãy làm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng giải các bài toán này.