Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng ABCD
|
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Show  Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Phương pháp. Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc dựng hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, ta hay dùng một trong các cách sau: Cách 1: Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P). Xác định m = (P) (Q). Dựng Mx = (P) (Q), suy ra H là điểm cần tìm. Cách 2: Giả sử đã biết đường thẳng d (a), là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P). Cách 3: Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho AABC nằm trên (P), hình chiếu vuông góc của điểm M trên (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC, tức là nếu MA = MB = MC khi đó hình chiếu của điểm M trên (P) là tâm O của đường tròn ngoại tiếp AABC. Chú ý. Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần biết vận dụng chú ý sau một cách khéo léo để từ việc phải tính khoảng cách từ một điểm này đến mặt phẳng (khó xác định) đến việc tính khoảng cách từ điểm khác đến mặt phẳng (dễ xác định hơn). Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) với M là trung điểm CD bằng C. Dễ dàng chứng minh được DB (SAC). Hình chiếu vuông góc của DS lên (SAC) là SO, góc giữa SD và (SAC) là DSO = 30°. Đặt DO = x, ta có SO = x/3 (O là giao của AC và BD). Gọi N là trung điểm của AB = DN // BM. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a/2 và BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa cạnh bên SC với đáy là 60°. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) bằng. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD và K là hình chiếu vuông góc của A trên SH. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a/3. Gọi I là hình chiếu của A lên SC. Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC, CD tại P, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD. Khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SBD) bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Dễ dàng chứng minh được AH vuông góc BD Khi đó AH = d(A,(SBD)). Trong tam giác vuông SAC. Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA = a, BC = 2a, SA = 2a, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB) bằng. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ABC = BAD = 90°, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a/2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) bằng. Gọi I là trung điểm AD. Ta có CI = IA = ID = 2, suy ra AACD vuông tại C = CDIAC. Mà SA I(ABCD) = SA. Gọi d, d’, lần lượt là khoảng cách từ B, H đến (SCD). Ta có thể tích khối tứ diện S.BCD. Vậy khoảng cách từ H đến (SCD) là d = d’. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc bằng 60°. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a bằng Gọi K là trung điểm của AB=HKI AB (1) Vì SHI(ABC) nên SHLAB Từ (1) và (2) = AB LSK Do đó góc giữa (SAB) với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng SKH=60° Vì IH // SB nên IH // (SAB). Do đó dI (SAB)) = d(H (SAB)). Từ H kẻ tại M. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và AB = 2a, AC = 2a/3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30°. Khoảng cách từ trung điểm M của cạnh BC đến mặt phẳng (SAC) bằng. Trong mặt phẳng (ABC) kẻ HK tại K Trong tam giác SHK. Do M là trung điểm của cạnh BC nên MH // AC, do đó MH // (SAC). Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 60°. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a bằng. Gọi K là trung điểm của AB = HK. Do đó góc giữa (SAB) với đáy bằng góc giữa SK và HK bằng SKH = 60°. Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) bằng. Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC = 60°, hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 60°. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao – ÔN TẬP CUỐI NĂM HÌNH HỌC Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 .\) a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD). b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD) c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện. e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P). Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD). a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH. SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SH = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\) b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK (EK là đường cao của tam giác SEF). \(EK = {{EF.SH} \over {SF}} = {{a.{{a\sqrt 6 } \over 2}} \over {\sqrt {{{6{a^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 6 } \over {\sqrt 7 }} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\) Quảng cáoc. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \({{a\sqrt {42} } \over 7}\) d. Gọi C1 là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC1 ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC1 và song song với BD. Kí hiệu H1 là giao điểm của AC1 và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B1D1, trong đó B1D1 đi qua H1 và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB1C1D1. Ta có: BD ⊥ (SAC), B1D1 // BD Nên B1D1 ⊥ (SAC), suy ra B1D1 ⊥ AC1. Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\) \(A{C_1} = {{a\sqrt 6 } \over 2},{B_1}{D_1} = {2 \over 3}BD\) (vì H1 là trọng tâm tam giác SAC) Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2}.{2 \over 3}a\sqrt 2 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\) e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC1 cắt AC1 tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P). Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P). \(\sin \widehat {BAJ} = {{BJ} \over {BA}} = {{HI} \over {BA}} = {{{1 \over 2}C{C_1}} \over {BA}}\) \(= {{{1 \over 4}SC} \over {BA}} = {{{1 \over 4}a\sqrt 2 } \over a} = {{\sqrt 2 } \over 4}\) Vậy góc giữa BA và mp(P) là α mà \(\sin \alpha = {{\sqrt 2 } \over 4},0^\circ < \alpha < 90^\circ .\) Xét bài toán khoảng cách trong không gian.Cho hình chóp có đỉnhScó hình chiếu vuông góc lên mặt đáy làH. Tính khoảng cách từ điểmAbất kì đến mặt bên(SHB). KẻAH⊥HBta có: Cách tính khoảng cách trong không gianVí dụ bài tập (có đáp án chi tiết)Bài tập 1:Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giácABCcóAB=3a,BC=2a, ∠ABC = 600.BiếtSA⊥(ABC). a) Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng(SAB). b) Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng(SAC). Lời giải chi tiết Bài tập 2:Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật vớiB = a, AD = a Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB. a) Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng(SHD). b) Tính khoảng cách từDđến mặt phẳng(SHC). Lời giải chi tiết Bài tập 3:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B cóAD=3a,AB=BC=2a. BiếtSA⊥(ABCD). a) Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng(SAD). b) Tính khoảng cách từDđến mặt phẳng(SAC). Lời giải chi tiết Bài tập 4:Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh5a. Hình chiếu vuông góc của đỉnhStrên mặt phẳng(ABCD)trùng với trọng tâmHcủa tam giácABD. a) Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng(SAC). b) Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng(SHD). Lời giải chi tiết Bài tập 5:Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDnửa lục giác đều cạnhaa, vớiAB=2a. BiếtSA⊥(ABCD)và mặt phẳng(SBC)tạo với đáy một góc a) Tính khoảng cách từCđến mặt phẳng(SAB). b) Tính khoảng cách từDđến mặt phẳng(SAC). Lời giải chi tiết Bài tập 6:Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành có diện tích bằng 2,AB= √2,BC=2. GọiMlà trung điểm củaCD, hai mặt phẳng(SBD)và(SAM)cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng(SAM). Lời giải chi tiết Bài tập 7:Cho hình lăng trụABCD.A′B′C′D′có đáy là hình chữ nhậtABCDcó hai đường chéoAC=BD=2a. Tam giácA’BDvuông cân tạiA’và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng(A′AB)tạo với đáy một góc600. Tính khoảng cáchd(B′;(A′BD)). Lời giải chi tiết |
