Toán 10 bài 2 Hình học trang 12

Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ. Bài 10. Cho ba lực cùng vào một vật tại điểm M và đứng yên.

Bài 10. Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vât tại điểm \(M\) và đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là \(100N\)  và \(\widehat {AMB} = {60^0}\)

Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)

Theo đề bài cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều là \(100N\) nên \(MA=MB\). Mặt khác \(\widehat {AMB} = {60^0}\) nên tam giác \(ABM\) đều.

Quảng cáo

Do đó \( MI={{AM\sqrt 3 } \over 2} = {{100\sqrt 3 } \over 2} = 50\sqrt 3 \)

\(MC=2MI=2.50\sqrt 3=100\sqrt 3 \)

\(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} \)

Do đó \(\overrightarrow {{F_3}} \) có hướng là tia phân giác trong của góc \(\widehat {AMB} \) và có độ lớn là \(100\sqrt 3 N\)

Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý.

Bài 2. Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

\(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MD}\) + \(\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)+ (\(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\))

\(ABCD\) là hình bình hành nên hai vec tơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) là hai vec tơ đối nhau nên:

\(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\) = \(\overrightarrow{0}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

Quảng cáo

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

\(\overrightarrow{AB}\)= \(\overrightarrow{MB}\) – \(\overrightarrow{MA}\)

\(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{MD}\) – \(\overrightarrow{MC}\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{CD}\) =  (\(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)) – (\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{MC}\)).

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

          \(\overrightarrow{AB}\) +\(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{0}\)

Suy ra:  \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

Tóm tắt kiến thức cần nhớ và Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9, 10 trang 12 SGK hình 10: Tổng và hiệu hai vectơ – Chương 1 hình học lớp 10.

A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ Tổng và hiệu hai vectơ

Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Cho hai vectơ a, b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ

Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì

3. Tính chất của tổng các vectơ

– Tính chất giao hoán 

– Tính chất kết hợp 

– Tính chất của véc tơ 0

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ a
được gọi là vec tơ đối của vec tơ a , kí hiệu

Vec tơ đối của véc tơ 0 là vectơ 0.

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ a,b. Vec tơ hiệu của hai vectơ,

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng⇔

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔

B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập SGK trang 12 SGK Hình học 10 bài: Tổng và hiệu hai vectơ

(Các em lưu ý thêm ký hiệu vecto khi làm bài tập nhé, bộ công cụ soạn thảo ad không thêm được)

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  MA + MB và MA – MB

Lời giải: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M’ để có vecto AM’= MB

Như vậy MA + MB = MA + AM’ = MM’ ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ MM’ chính là vec tơ tổng của MA và MB

MM’ = MA + MB .

Ta lại có MA – MB = MA + (-MB)

⇒MA – MB = MA + BM (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có:

MA + BM = BM + MA= BA (quy tắc 3 điểm)

Vậy vecto MA – MB = BA

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng véctơ: MA = MB + BA MC = MD + DC ⇒ MA + MC = MB + MD + (BA +DC) ABD là hình bình hành, hai véctơ BA và DC là hai véctơ đối nhau nên: BA + DC = véctơ 0 Suy ra: MA + MC = MB + MD

cách 2: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vectơ

AB = MB – MA CD = MD – MC ⇒ AB + CD = (MB + MD) – (MA + MC) ABCD là hình bình hành nên AB và CD là hai véctơ đối nhau, cho ta: AB + CD = vectơ 0

Suy ra: MA + MC = MB + MD.

Bài 3. Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có

Lời giải: a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có

Như vậy:

mà 

Vậy

b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có 

Từ (1) và (2) suy ra 

Bài 4 trang 12. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng

Ta có: RJ + IQ + PS = (RA + AJ) + (IB + BQ) + (PC + CS) = (RA + CS) + (IB + AJ) + (PC + BQ) Mà RA = -CS; IB = -AJ; PC = -BQ

Vì vậy:

Bài 5 Hình 10. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ

Ta có: véctơ AB + BC = AC ⇒ Độ dài của vectơ AB + vectơ BC là a Vẽ vectơ AD = vectơ BC, khi đó vectơ AB – BC = AB – AD = DB Tính DB: Gọi I là giao điểm của AC và BD ⇒ I là trung điểm của BD ⇒ BD = 2BI Mặt khác ΔBAi vuông tại I nên BI = AB.sinA = asin600 =a√3 / 2

Vậy: BD = 2 BI = a√3

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng:

a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ BA = OA – OB (1) Mặt khác, OA = CO (2) Từ (1) và (2) suy ra:

BA = CO – OB

b) Ta có: DB = AB – AD (1) AD = BC (2) Từ (1) và (2) cho ta:

DB = AB – BC

c) Ta có: DA – DB = BA (1) OD – OC = CD (2) BA = CD (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra DA – DB = OD – OC.

d) DA – DB + DC = (DA – DB) + DC = BA + DC = BA + AB (Vì DC = AB) = 0

Bài 7. Cho véctơ a,b là hai vectơ khác véctơ 0. Khi nào có đẳng thức

a) Ta có |a + b| = |a| + |b| Nếu coi hình bình hành ABCD có véctơ AB = DC = a và véctơ AD = BC = b thì |a + b| là độ dài đường chéo AC và |a| = AB; |b| = BC Ta lại có: AC = AB + BC Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa A,C Vậy |a + b| = |a| + |b| khi hai véctơ a,b cùng hướng b) Tương tự, |a + b| là độ dài đường chéo AC |a – b| là độ dài đường chéo BD |a + b | = |a -b|⇒ AC= BD

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD ⊥ Ab hay véctơ a ⊥ b.

Bài 8 trang 12 . Cho 

So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.

Đáp án bài 8:

Từ |a + b| = 0, ta có  véctơ a + b = 0    ⇒ a = -b

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài |a| = |b|, cùng phương và ngược hướng.

Bài 9 trang 12. Chứng minh rằng véctơ AB = véctơ CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  véctơ AB = véctơ CD thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có

Vì véctơ AB = véctơ CD nên

Vì I là trung điểm của AD nên véctơ AI + véctơ DI = véctơ 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra véctơ CI + véctơ BI = vectơ 0 (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh véctơ AB = véctơ CD
I là trung điểm của AD

I là trung điểm của BC

Suy ra

Bài 10. Cho ba lực

 cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của  đều là 100N  và góc ∠AMB = 600

Tìm cường độ và hướng của lực F3

Giải: Để vật đứng yên thì →F3 phải có độ lớn |→F1 + →F2| nhưng ngược hướng với →F1 +→F2.
Ta có →F1 + →F2 = →MA + →MB = →MD Tính MD: MD = 100√3 (Xem cách tính ở bài tập 5)

Vậy →F3 có cường độ là 100√3 và hướng ngược với hướng của MD.