Toán 9 hình học chứng minh tứ giác nội tiếp
|
1.346 lượt xem Show
Tứ giác nội tiếp đường trònBài tập Toán 9: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là một dạng toán hình xuất hiện nhiều trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo. A. Tứ giác nội tiếp là gì?- Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bôn đỉnh nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác. B. Cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường trònPhương pháp 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểmVí dụ: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đường tròn (C) tại D (D khác B) Chứng minh rằng: Tứ giác AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn. Hướng dẫn giải Vì MA, MB, MC là các tiếp tuyến =>  => Tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn đường kính MO. Ta có => Ta lại có: OA = OC = R, MA = MC => MO là đường trung trực của AC => Từ (*) và (**) => AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA. Phương pháp 2: Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau (tổng hai góc đối diện bằng 1800)Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O, R) cắt các đường thẳng AC, AD theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng tứ giác ACBD là hình chữ nhật b) Chứng minh tam giác ACD và tam giác CBE đồng dạng c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp được đường tròn Hướng dẫn giải a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra ACBD là hình chữ nhật. b) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật => Ta lại có: Mà sd BC = sd AD Từ (1) và (2) => c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF => Từ (2) và (3) => Phương pháp 3: Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.Ví dụ: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O; R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC) a) Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Kẻ MP vuông góc BC (P thuộc BC). Chứng minh: Hướng dẫn giải a) Ta có: => Tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM. b) Tứ giác CPMK có: Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp => Vì CK là tiếp tuyến của (O) nên ta có: => C. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếpBài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O’). a) Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại E, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F, khác A). Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng tứ giác AEHF và tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với MN cắt Ax và By tạo C và D. a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh Tam giác ANB và tam giác CMD đồng dạng với nhau. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh: a) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn. ---------------------------------------------- Hy vọng tài liệu Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc kiến thức chuyên đề Đường tròn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
Trong chương trình Toán 9, dạng bài liên quan đến chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn là một dạng toán phổ biến. Top lời giải cung cấp cho các bạn các cách chứng minh tứ giác nội tiếp hay nhất, dễ hiểu nhất I. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn1)Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD. Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. 2)Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180° Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếpnếugóc A + góc C = 180° hoặc gócB + gócD =180° Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp” Hệ quả của nội dung này là: Cho tứ giác ABCD: + NếuBAD=BCD= 90độthì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD + Nếu tổng hai góc kề bùEAD=BCDthì tứ giác ABCD nội tiếp 3)Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp⇔ góc DAC = góc DBC cùng chắn cung DC Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằngDAC=DBC= 90độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. 4) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp⇔góc A + góc C = gócB +gócD. Đây là trường hợp đặc biệt của cách thứ 2. 5)Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc ngoài đỉnh A bằng góc C, hoặc góc ngoài đỉnh B bằng góc D. Ở phương pháp này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác (góc A và góc C đối đỉnh) thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 6)Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Với cách này, các em chứng minh tứ giác là các hình đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành.
II. Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp
- Học sinh nên vẽ hình rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt. - Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng. - Bám vào giả thiết, kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả. - Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán. - Không dùng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng. III. Một số bài tập có lời giảiBài 1.Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó. Giải – Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp: + Có OM⊥ ME (gt) nên góc OME bằng 90o + OB⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc OBE bằng 90o Vậy, tứ giác EBMO có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OE nên tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE. – Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp + Có OM⊥ OD (gt) nên góc OMD bằng 90o + CD⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng 90o Vậy, tứ giác DCOM có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OD nên tứ giác DCOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OD. Bài 2.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn. Giải |
