Trong không gian 2 mặt phẳng song song có bao nhiêu điểm chung
|
Đối tượng cơ bản của hình học không gian là: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Show Điểm được ký hiệu A, B, C, … Đường thẳng được ký hiệu a, b, c, d, … Mặt phẳng được ký hiệu (P), (Q), (R), … hay \((\alpha), (\beta), (\gamma)\)… Quan hệ cơ bản của hình học không gian: Thuộc: ký hiệu \(\in\). Ví dụ: A \(\in\) A; M \(\in (\alpha)\). Chứa trong, nằm trong: ký hiệu \(\subset\). Ví dụ: a \(\subset\) (P), b \(\subset (\beta)\). Hình biểu diễn của một hình trong không gian Qui tắc: Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn thẳng. Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau). Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng song song và bằng nhau. Dùng nét vẽ liền (__) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- – -) để biểu diễn cho những đường bị khuất.  Các tính chất thừa nhận của hình học không gianTính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước. Tính chất thừa nhận 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước. Tính chất thừa nhận 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Định nghĩa: Đường thẳng chung của hai mặt phẳng được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Tính chất thừa nhận 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. *Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳngVị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳngTrong không gian cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Có ba vị trí tương đối giữa a và (P).
Kí hiệu: a \(\subset\) (P), khi đó thì mọi điểm thuộc a đều thuộc (P). (hình 3). Vị trí tương đối của hai mặt phẳngTrong không gian, cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Có ba vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
Vị trí tương đối của hai đường thẳngTrong không gian cho hai đường thẳng a, b. Có bốn vị trí tương đối giữa a và b.
Chú ý:
Định lí: Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một và ba giao tuyến của chúng không trùng nhau thì ba giao tuyến đó hoặc song song hoặc đồng quy. Điều kiện xác định mặt phẳng1. Ba điểm A,B,C không thẳng hàng xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(ABC). 2. Một đường thẳng d và một điểm A \(\in\) d xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(A,d). 3. Hai đường thẳng cắt nhau a,b xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b). 4. Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng, kí hiệu mp(a,b). Hình chóp và hình tứ diệnHình chópCho đa giác A1A2…An,nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) và điểm S \(\notin (\alpha)\). Nối S với các đỉnh A1A2 ta được n tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1. Hình tạo bởi n tam giác đó và đa giác A1A2…An được gọi là hình chóp. Ký hiệu là S.A1A2…An. Tứ diệnHình tạo bởi bốn tam giác ABC, ACD, ADB và BCD được gọi là hình tứ diện. Các điểm A, B, C, D gọi là đỉnh. Các đoạn AB, AC, AD, BC, CD và DA gọi là cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ADB, ABC gọi là các mặt của tứ diện. Tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều được gọi là tứ diện đều.
Quảng cáo - Cho hai đường thẳng a và b. Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của hai đường thẳng ta có bốn trường hợp sau: a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là: b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung: a cắt b ⇔ a ∩ b = I. c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt: a ≡ b ⇔ a ∩ b = {A; B} d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng: a và b chéo nhau khi và chỉ khi a; b không đồng phẳng - Hai đường thẳng song song + Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó + Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau + Định lí (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song + Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó) Ví dụ 1: Trong các mệnh đề sau; mệnh đề nào sai ? A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung C. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau D. Hai đường thẳng phân biệt không chéo nhau thì hoặc cắt nhau hoặc song song Lời giải: Hai đường thẳng không có điểm chung thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng) Chọn A Ví dụ 2: Tìm mênh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác B. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không có điểm chung C. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng D. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng Quảng cáo Lời giải: Chọn D - A sai. Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung - B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung Ví dụ 3: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ban thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song hoặc trùng với nhau D. Tất cả sai Lời giải: Chọn C Ví dụ 4: Tìm mệnh đề đúng? A. Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng có ít hơn 2 điểm chung. B. Hai đường thẳng không có điểm chung là 2 đường thẳng song song hoặc chéo nhau. C. Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng. D. Khi 2 đường thẳng phân biệt nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt thì hai đường thẳng đó chéo nhau. Lời giải: Chọn B. - A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung. Hai đường thẳng có 1 điểm chung duy nhất thì 2 đường thẳng đó cắt nhau. - C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. - D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song. Ví dụ 5: Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A; B thuộc a và C; D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về 2 đường thẳng AD và BC A. Có thể song song hoặc cắt nhau B. Cắt nhau C. Song song với nhau D. Chéo nhau Lời giải: Theo giả thiết, a và b chéo nhau nên a và b không đồng phẳng Giả sử AD và BC đồng phẳng - Nếu AD cắt BC tại I thì I ∈ (ABCD) nên I ∈ (a; b) Mà a và b không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm I - Nếu AD // BC thì a và đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết) Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. Chọn D. Quảng cáo Ví dụ 6: Cho 3 mặt phẳng (P); (Q) và (R). Nếu (P) ∩ (Q) = a; (P) ∩ (R) = b và (Q) ∩ (R) = c. Khi đó 3 đường thẳng a; b; c sẽ: A. Đôi một cắt nhau B. Đôi một song song C. Đồng quy D. Song song hoặc đồng quy với nhau Lời giải: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyền ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song Chọn D Ví dụ 7: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì chéo nhau. C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. Lời giải: Chọn C. Câu A sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau. Câu B sai vì hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau. Câu D sai vì hai đường thẳng phân biệt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì có thể chéo nhau hoặc song song với nhau. Ví dụ 8: Hãy Chọn Câu đúng? A. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng song song nhau nếu chúng không có điểm chung. C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói a và b chéo nhau. Lời giải: Chọn D - Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì có thể trùng nhau ⇒ A sai. - Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song hoặc chéo nhau ⇒ B sai. - Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt, trùng hoặc chéo nhau ⇒ C sai. - Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng ⇒ D đúng. Ví dụ 9: Hãy Chọn Câu đúng? A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng qui. B. Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng sẽ song song với cả hai đường thẳng đó. C. Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có hai đường thẳng p và q song song nhau mà mỗi đường đều cắt cả a và b . D. Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau. Lời giải: Chọn D. - Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì có thể đôi một song song nhau Suy ra A sai. - Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến, nếu có, của chúng có thể trùng với một trong hai đường thẳng đó ⇒ B sai. - Giả sử: p cắt a và b lần lượt tại A và B; q cắt a và b lần lượt tại A’ và B’. Nếu p // q ⇒ A; B; A’ và B’ đồng phẳng ⇒ a; b đồng phẳng (mâu thuẫn) ⇒ C sai. - Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng ⇒ D đúng Ví dụ 10: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng thuộc mp(α). Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Chọn C Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong 1 mặt phẳng là: + Hai đường thẳng cắt nhau. + Hai đường thẳng song song. Chú ý : Đây là hai đường thẳng phân biệt nên không xảy ra trường hợp hai đường thẳng trùng nhau. Ví dụ 11: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC? A. Có thể song song hoặc cắt nhau B. Cắt nhau C. Song song nhau D. Chéo nhau Lời giải: Chọn D Ta có a và b chéo nhau nên hai đường thẳng AB và CD chéo nhau ⇒ Bốn điểm A ; B ; C ; D không đồng phẳng. Khi đó 4 điểm này là 4 đỉnh của một tứ diện. Do đó AD và BC chéo nhau Câu 1: Trong không gian, cho 3 đường thẳng a; b; c biết a // b; hai đường thẳng a và c chéo nhau. Khi đó; 2 đường thẳng b và c: A. Trùng nhau hoặc chéo nhau B. Cắt nhau hoặc chéo nhau C. Chéo nhau hoặc song song D. Song song hoặc trùng nhau.
Giả sử b // c Theo giả thiết: a // b ⇒ a // c (mâu thuẫn với giả thiết) Chọn B Câu 2: Trong không gianl cho 3 đường thẳng phân biệt a; b; c trong đó a // b. Tìm mệnh đề sai? A. Nếu a // c thì b // c B. Nếu c cắt a thì c cắt b C. Nếu A ∈ a; B ∈ b thì 3 đường thẳng a; b; AB cùng thuộc một mặt phẳng D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa a và b
Nếu đường thẳng c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b Chọn B Câu 3: Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b; điểm M không thuộc hai đường thẳng trên. Có nhiểu nhất bao nhiêu đường thẳng qua M cắt cả a và b A. 1 B. 2 C. 0 D. Vô số.
Gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng a và M (Q) là mặt phẳng tạo bởi đường thẳng b và M. Giả sử c là đường thẳng qua M cắt cả a và b. Vậy chỉ có 1 đường thẳng qua M cắt cả a và b Chọn A Câu 4: Trong không gian; cho 3 đường thẳng a; b; c đôi một chéo nhau. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng này? A. 1 B. 2 C. 0 D. Vô số
+ Gọi M là điểm bất kì nằm trên a + Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c. Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng (M; b) với mặt phẳng (M; c) + Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a; b; c Chọn D Câu 5: Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm M nằm ngoài đường thẳng d. Chọn mệnh đề đúng? A. Có vô số đường thẳng qua M và song song với đường thẳng d B. Có vô số đường thẳng qua M và cắt d C. Cả A và B đúng D. Tất cả sai
+ Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng d có duy nhất một đường thẳng song song với d ⇒ A sai + Qua M có vô số đường thẳng cắt d. Đó là các đường thẳng nối M và một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d ⇒ B đúng Chọn B Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng chéo nhau khi chúng không có điểm chung. B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau. C. Hai đường thẳng song song nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng. D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau.
Chọn B Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: + Hai đường thẳng có đúng 1 điểm chung thì hai đường thẳng đó cắt nhau. + Hai đường thẳng có vô số điềm chung thì hai đường thẳng đó trùng nhau. + Hai đường thẳng không có điểm chung nếu chúng song song hoặc chéo nhau. Câu 7: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau
Chọn C Ta xét các phương án: + Phương án A: Hai đường đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì có thể trùng nhau; cắt nhau hoặc song song. Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mp(SAB)và (ABCD) có chung đường thẳng AB. ⇒ A sai + Phương án B: Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau. ⇒ B sai + Phương án C: Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ⇒ C đúng + Phương án D: Hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. ⇒ D sai Câu 8: Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a , b và c trong đó a // b. Khẳng định nào sau đây không đúng? A. Nếu a // c thì b // c B. Nếu c cắt a thì c cắt b C. Nếu A ∈ a và B ∈ b thì ba đường thẳng a, b, AB cùng ở trên một mặt phẳng D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b
Chọn B Phương án B sai do a, c cắt nhau nên cùng nằm trong mp(α) và đường thẳng b song song với (α) Khi đó c và b có thể chéo nhau. Câu 9: Cho đường thẳng a nằm trên mp(P) đường thẳng b cắt (P) tại O và O không thuộc a. Vị trí tương đối của a và b là A. chéo nhau B. cắt nhau C. song song nhau D. trùng nhau
Chọn A Dựa vào hình vẽ trên ta suy ra a và b chéo nhau. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. duong-thang-va-mat-phang-trong-khong-gian-quan-he-song-song.jsp |
