- Sử dụng tính chất: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh đó để chứng minh ba đỉnh của tam giác vuông nằm trên đường tròn đường kính là cạnh huyền.
- Sử dụng định lí: Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Lời giải:
- Gọi \[O\] là trung điểm của \[BC \Rightarrow OB=OC=\dfrac{BC}{2}.\] [1]
Xét tam giác vuông \[DBC\] có: \[ OD=\dfrac{1}{2}BC \] [2] [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền]
Xét tam giác vuông \[BEC\] có \[OE=\dfrac{1}{2}BC\][3] [đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền]
Từ [1],[2],[3] \[\Rightarrow OB=OC=OD=OE=\dfrac{BC}{2}\]
Do đó 4 điểm \[B,\ C,\ D,\ E\] cùng thuộc đường tròn \[[O]\] đường kính \[BC\].
- Xét \[{\left[ O; \dfrac{BC}{2} \right]}\], với \[BC\] là đường kính.
Ta có \[DE\] là một dây không đi qua tâm nên ta có \[BC > DE\] [ vì trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất].
Bài 11 trang 104 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho đường tròn [O] đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB, Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.
Lời giải:
Vẽ \[OM \bot CD\]
Vì OM là một phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên ta có M là trung điểm CD hay \[ MC=MD\] [1] [định lý]
- Cách 1: Gọi O là trung điểm của BC.
Xét BEC vuông tại E có EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
Xét BDC vuông tại D có DO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
Vậy OB = OC = OE = OD
Do đó bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn tâm O
Cách 2: Xét BEC vuông tại E => BEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
\=> B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Tương tự B, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
- Xét [O] ta có DE là dây, BC là đường kính nên DE < BC.
- Xét đường \[\left[ {O;{{BC} \over 2}} \right]\], BC là đường kính, DE là một dây cung không đi qua tâm, do đó \[DE