- LG a
- LG b
LG a
Tìm cực đại các hệ số m, n, p sao cho hàm số
\[f[x] = - {1 \over 3}{x^3} + m{x^2} + nx + p\]
Đạt cực đại tại điểm x = 3 và đồ thị [C] của nó tiếp xúc với đường thẳng\[y = 3x - {1 \over 3}\]tại giao điểm của [C] với trục tung
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \[y = 3x - {1 \over 3}\] cắt trục tung tại điểm \[A\left[ {0; - {1 \over 3}} \right]\]
Vì đồ thị [C] của hàm số đã cho đi qua điểm A nên \[f[0] = p = - {1 \over 3}\]
Ta có \[f'[x] = - {x^2} + 2mx + n\].
Vì [C] tiếp xúc với đường thẳng \[y = 3x - {1 \over 3}\] tại điểm A nên \[f'[0] = n = 3\]
Do hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 nên \[f'[3] = - 9 + 6m + 3 = 0\]
\[\Leftrightarrow m = 1\].
Với các giá trị m, n, p vừa tìm được, ta có hàm số
\[f[x] = - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + 3x + {1 \over 3}\]
Khi đó, \[f''[x] = - 2x + 2\] và \[f''[3] = - 4 < 0\].
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
LG b
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của m, n, p
Lời giải chi tiết:
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\].
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \]
\[\begin{array}{l}y' = - {x^2} + 2x + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\]
BBT:
Hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {3; + \infty } \right]\].
Hàm số đồng biến trên \[\left[ { - 1;3} \right]\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 3,{y_{CD}} = \frac{{26}}{3}\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = - 1,{y_{CT}} = - 2\].
+] Đồ thị:
\[\begin{array}{l}y'' = - 2x + 2\\y'' = 0 \Leftrightarrow - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y\left[ 1 \right] = \frac{{10}}{3}\end{array}\]
Điểm uốn \[I\left[ {1;\frac{{10}}{3}} \right]\].
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \[\left[ {0; - \frac{1}{3}} \right]\].
Điểm cực đại \[\left[ {3;\frac{{26}}{3}} \right]\] và điểm cực tiểu \[\left[ { - 1; - 2} \right]\].