Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Gợi ý làm bài:
Giả sử tam giác ABC có \[\widehat {BAC} = {90^0},AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Ta có: \[BH + CH = 5\] [1]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:
\[BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[BH = 1\] và \[CH = 4\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC = 1.5 = 5\]
Suy ra: \[AB = \sqrt 5 \].
Sachbaitap.com
Một tam giác vuông có cạnh huyền là \[5\] và đường cao ứng với cạnh huyền là \[2\]. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tam giác \[ABC\] có \[\widehat {BAC} = {90^0},\]\[AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Suy luận để có \[BH + CH = 5\]
\[BH.CH = A{H^2}\]
Từ đó tính được \[BH\] suy ra cạnh \[AB\] và lập luận để có \[AB\] là cạnh nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác \[ABC\] có \[\widehat {BAC} = {90^0},\]\[AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Ta có: \[BH + CH = 5\] nên \[BH=5-CH\] [1]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:
\[BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[BH[5 - BH] = 4\] \[\Leftrightarrow B{H^2} - 5BH + 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow B{H^2} - 4BH -BH+ 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow BH [BH-4 ]-[BH-4] = 0\]
\[\Leftrightarrow [BH-1][BH-4]=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} BH = 1 \Rightarrow CH = 4\\ BH = 4 \Rightarrow CH = 1 \end{array} \right.\]
Do \[BH < CH\] nên \[BH = 1\] và \[CH = 4\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC \]\[= 1.5 = 5\]
Suy ra: \[AB = \sqrt 5 .\]
Vì \[BH R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.
Bài 13 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng các đoạn thẳng có độ dài tương ứng bằng:
Lời giải:
- *Cách dựng [hình a]:
- Dựng góc vuông xOy.
- Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a
- Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.
- Nối AB, ta có đoạn AB =
*Chứng minh:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:
AB2 = OA2 + OB2 = a2 + b2
Suy ra: AB =
.png]
- *Cách dựng [hình b]:
- Dựng góc vuông xOy
- Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.
- Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B.
Ta có đoạn OB =
*Chứng minh:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:
AB2 = OA2 + OB2 ⇒ OB2 = AB2 – OA2 = a2 – b2
Suy ra: OB =
Bài 14 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho hai đoạn thẳng có độ dài là a và b. Dựng đoạn thẳng √[ab] như thế nào?
Lời giải:
*Cách dựng:
- Dựng đường thẳng t.
- Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.
- Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.
- Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D
Ta có đoạn BD = √[ab] cần dựng.
*Chứng minh:
Nối DA và DC. Ta có ΔACD vuông tại D và DB ⊥ AC.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
BD2 = AB.BC = a.b
Suy ra: BD = √[ab].
Bài 15 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Giữa hai tòa nhà [kho và phân xưởng] của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.
Lời giải:
Kẻ BH ⊥ AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.
Ta có: BC = DH và BH = CD [tính chất hình chữ nhật]
Suy ra: DH = 4[cm]
AH = 8 – 4 = 4 [cm]
BH = 10 [cm]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:
AB2 = BH2 + AH2
Suy ra: AB =
Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8 m.
Bài 16 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác có độ dài các cạnh là 5, 12, 13. Tìm góc đối diện với cạnh có độ dài 13 của tam giác.
Lời giải:
Ta có: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132
Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lí Pi-ta-go [bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại] nên nó là tam giác vuông.
Vậy góc đối diện với cạnh 13 [cạnh dài nhất] là góc vuông.
Bài 17 trang 104 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn
Lời giải:
Suy ra: AB2 = 9.4 = 36 ⇒ AB = √36 = 6 [m]
BC2 = 16.4 = 64 ⇒ BC = √64 = 8 [m]
Vậy: AB = CD = 6m
BC = AD = 8m.
Bài 18 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.
Ta có: b = 30cm, c = 40cm
Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:
Bài 19 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.
Lời giải:
Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:
Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥ BN
Suy ra tam giác BMN vuông tại B
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: AB2 = AM.AN
Suy ra: AN =
Bài 20 trang 105 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:
Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2
Lời giải:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:
BM2 = BD2 + DM2 => BD2 = BM2 – DM2 [1]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:
CM2 = CE2 + EN2 => CE2 = CM2 – EM2 [2]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:
AM2 = AF2 + FM2 => AF2 = AM2 – FM2 [3]
Cộng từng vế của [1], [2] và [3] ta có:
BD2 + CE2 + AF2 = BM2 – DM2 + CM2 – EM2 + AM2 – FM2 [4]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:
BM2 = BF2 + FM2 [5]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:
CM2 = CD2 + DM2 [6]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:
AM2 = AE2 + EM2 [7]
Thay [5], [6], [7] vào [4] ta có:
BD2 + CE2 + AF2
\= BF2 + FM2 – DM2 + CD2 + DM2 – EM2 + AE2 + EM2 – FM2
\= DC2 + EA2 + FB2
Vậy BD2 + CE2 + AF2 = DC2 + EA2 + FB2.
Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích đầy đủ các môn được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.
►►CLICK NGAY vào nút TẢI VỀ dưới đây để tải về Lời giải sách bài tập Toán 9 Tập 1 trang 102, 103, 104, 105: Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông