Bài tập toán cao cấp a2 có lời giải năm 2024
- 1. ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TP. HCM LÊ HỮU KỲ SƠN Bài tập Toán cao cấp A2 - C2 MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TP. HCM – Ngày 4 tháng 9 năm 2012
- 2. TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3 1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9 3 KHÔNG GIAN VECTOR 10 3.1 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 12 4.1 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Giá trị riêng - vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 15 Tài liệu tham khảo 16 2
- 3. VÀ ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận 1. Thực hiện các phép toán trên ma trận 4 2 2 −1 1 1 −3 2 a] A = 1 2 −3 4 ; b] B = 4 2 3 0 5 1 0 −2 0 1 −5 3 2 0 3 −1 3 2 4 2 −1 2 c] C = 4 1 ; d]D = 4 1 −2 0 −2 1 −3 1 3 4 −1 0 1 3 1 2 0 1 2 −3 2. Cho A = −1 3 ;B = 3 2 ;C = 1 2 . 3 4 −2 3 4 −1 Tính [A + B] + C; A + [B + C]; 3A − 2B; [3A]t ; [3A − 2B]t . 1 2 1 2 3 1 2 −3 0 3. Cho ma trận A = 0 1 2 ;B = −1 1 0 ;C = 1 2 4. 3 1 1 1 2 −1 4 −1 0 Tính A.B.C và A.C + B.C. a b c 1 a c 4. Tính A = c b a 1 b b . 1 1 1 1 c a 1 0 5. Cho ma trận , hãy tìm ma trận A2012 . 2 1 1 0 6. Cho ma trận , hãy tìm ma trận A2012 . 5 1 cos α sin α 7. Cho ma trận A = , hãy tìm ma trận A2012 . sin α − cos α 0 1 8. Cho ma trận A = , hãy tìm ma trận A2012 . 1 0 0 0 9. Cho ma trận A = . Tính ma trận [I − A]2012 . 1 0 3
- 4. 0 0 1 10. Cho ma trận J = 1 0 0. Tính ma trận J 2012 0 1 0 0 0 11. Cho ma trận A = . Hãy tính tổng sau 1 0 2012 2n An = I2 + 2A + 4A2 + 8A3 + 16A4 + · · · + 22011 A2011 + 22012 A2012 n=0 0 0 12. Cho ma trận A = . Hãy tính tổng sau −1 0 2012 An = I2 + A + A2 + A3 + A4 + · · · + A2011 + A2012 n=0 0 −1 13. Cho ma trận A = . Hãy tính tổng sau 0 0 2012 2n An = I2 + 2A + 4A2 + 8A3 + 16A4 + · · · + 22011 A2011 + 22012 A2012 n=0 0 −1 14. Cho ma trận A = . Hãy tính tổng sau 0 0 2012 An = I2 + A + A2 + A3 + A4 + · · · + A2011 + A2012 n=0 0 1 1 15. Cho ma trận A = 0 0 1. Hãy tính tổng sau 0 0 0 2012 [−2]n An = I3 − 2A + 4A2 − 8A3 + 16A4 + · · · + [−2]2011 A2011 + [−2]2012 A2012 n=0 a b 16. Cho ma trận A = , hãy tính A2 − [a + d]A + [ad − bc]I2 . c d 17. Tìm f [A] nếu 2 −1 a. f [x] = x2 − 5x + 3 với A = ; −3 3 2 1 1 b. f [x] = x2 − x − 1 với A = 3 1 2 . 1 −1 0. 18. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i là i. Tìm phần tử ở dòng 1 cột 3 của ma trận A2 . 4
- 5. là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i là [−1]i i. Tìm phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận A2 . 20. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i cột j là [−1]i+j . Tìm phần tử ở dòng 1 cột 2 của ma trận A2 . 21. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i là 2i−1 . Tìm phần tử ở dòng 2 cột 4 của ma trận A2 . 22. Hãy tìm số n nguyên dương nhỏ nhất để ma trận An = 0 [ma trận-không], với 0 1 0 0 −1 −1 0 0 1 a. A = 0 0 1 b. A = 0 0 −1 c. A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 d. A = 0 e. A = −1 0 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 0 0 1.2 Định thức 1. Biết các số 204, 527, 255 chia hết cho 17. Không tính định thức, chứng minh rằng: 2 0 4 5 2 7 chia hết cho 17. 2 5 5 2. Tính các định thức sau 5 3 2 1 1 1 a a a δ1 = −1 2 4 δ2 = −1 0 1 δ3 = −a a x 7 3 6 −1 −1 0 −a −a x 1 1 1 0 1 1 a b c δ4 = 1 2 3 δ5 = 1 0 1 δ6 = b c a 1 3 6 1 1 0 c a b 0 a 0 a x x a+x x x δ7 = b c d δ8 = x b x δ9 = x b+x x 0 c 0 x x c x x c+x sin a cos a 1 1 1 1 x y x+y δ10 = sin b cos b 1 δ11 = x y z δ12 = x x+y x sin c cos c 1 x2 y 2 z2 x+y y y 2 −3 1 1 0 3 2 3 δ13 = δ14 = 0 2 2 δ15 = 2 1 1 1 2 1 3 m 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 0 a b c 1 0 1 1 1 2 3 4 1 a 0 c b δ16 = δ17 = δ18 = 1 1 0 1 1 3 4 1 2 b b 0 a 1 1 1 0 1 4 1 2 3 c c a 0 1 1 1 1 0 −4 −5 2 6 3 9 −4 −2 1 1 1 1 2 −2 1 3 1 −2 0 3 1 −1 2 2 δ19 = δ20 = δ21 = 6 −3 3 9 2 3 0 −1 1 1 −1 3 4 −1 5 6 2 −1 2 1 1 1 1 −1 5
- 6. phương trình và bất phương trình x x+1 x+2 2 x + 2 −1 1. x+3 x+4 x+5 =0 2. 1 1 −2 ≥ 0 x+6 x+7 x+8 5 −3 x 1−x 0 3 1−x 1 0 3. 0 1−x 1 =0 4. 0 1−x 1 =0 3 2 2−x 1 2 1−x x 1 0 0 1−x 0 1 1 1 x 0 0 0 1−x 0 0 5. =0 6. =0 1 1 x 2 1 0 2−x 1 −1 −1 2 x 1 0 1 2−x 1 2x −1 −1 1 x2 −1 −1 7. =0 0 0 x 1 0 0 0 2 4. Chứng minh rằng a1 + b 1 xa 1 x + b1 c 1 a1 +b1 c1 a. a2 + b2 x a2 x + b2 c2 = [1 − x2 ] a2 b2 c2 ; a3 + b 3 xa 3 x + b3 c 3 a3 b 3 c 3 1 a a3 1 a a 2 b. 1 b b3 = [a + b + c] 1 b b2 ; 1 c c3 1 c c2 2 b−2 2−b 5. Hãy tính định thức của ma trận b − 2 b2 + 4 4b 2 2−b 4b b +4 Đáp số : định thức ma trận bằng 0. 5 3 0 0 ··· 0 0 2 5 3 0 ··· 0 0 6. Tính định thức cấp n: Dn = 0 2 5 3 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 0 ··· 2 5 1 x1 x2 · · · 1 xn−1 1 n−1 1 x2 x2 · · · 2 x2 7. Tính định thức Vandermond: Dn = ··· 1 xn x2 · · · n n−1 xn 1.3 Ma trận nghịch đảo m 1 m−1 0 m−1 0 1. Tìm số thực m để ma trận A = khả 0 m−1 1 m−1 1 m−2 nghịch. 0 1 0 0 0 m 1 0 2. Cho ma trận A = . Hãy tìm phần tử dòng 1 cột 4 của A−1 . 0 m m 2 1 4 0 0 0 6
- 7. Đáp số : . 4 1 2 1 2 3 3. Cho ma trận A = và B = . Tìm ma trận X thỏa AX = B. 3 4 3 2 1 1 2 7 7 1 4. Cho ma trận A = và B = . Tìm ma trận X thỏa AX = B. 3 4 1 7 7 2 1 −3 2 −2 4 5. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình X = 3 2 5 −3 3 −1 −1 2 −3 1 0 6. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình 2 −6 5 X = 2 1 1 −3 2 0 −1 1 −2 0 2 1 0 7. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình X 2 −2 3 = 0 −1 1 1 −1 1 3 0 1 1 −1 1 3 0 1 8. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình 8 1 1 1 0 −1 X = 8 1 1 5 −3 −2 1 1 −2 5 −3 −2 −1 2 1 2 3 5 2 3 −5 9. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình X 3 −2 0 0 −1 6 = 0 −1 6 2 −3 −1 2 0 6 2 0 6 10. Tìm ma trận X mãn phương thỏa trình 8 −1 5 17 −3 9 1 2 2 1 6 −2 X − 2 11 −3 X = 0 −1 −2 4 0 −5 7 2 2 1 11. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình 1 0 1 −1 2 −5 2 −2 1 + X −4 5 1 −2 0 2X 3 X = 2 3 1 −2 3 −3 5 −4 2 0 1 1 ··· 1 1 0 1 · · · 1 12. Cho A = 1 1 0 · · · 1. Tìm A−1 . · · · 1 1 1 ··· 0 1.4 Hạng của ma trận 1. Tìm hạng của các ma trận sau 4 3 −5 2 3 1 3 5 −1 2 −1 3 −2 4 2 −1 −3 4 8 6 −7 4 2 1] 4 −2 5 1 7; 2] 5 1 −1 7 ; 3]4 3 −8 2 7 2 −1 1 8 2 4 3 1 2 −5 7 7 9 1 8 6 −1 4 −6 7
- 8. 2 2 1 5 −1 1 3 −1 6 0 1 10 3 1 0 4 −2 1 7 1 −3 10 2 0 4 52 2 1 5 0 1 4] ; 5] ; 6] 17 1 −7 22 16 4 52 9 −1 −2 2 −6 1 3 4 −2 10 8 −1 6 7 −3 −1 −8 1 −1 1 2 −3 7 −2 1 2 3 4 5 8 11 m + 15 2. Tìm m để hạng của ma trận A = 2 3 4 bằng 2. 5 3 5 7 m + 10 Đáp số : m = −1. 3. Biện luận hạng của ma trận sau theo tham các số m 3 m 1 2 −1 2 1 −1 1 3 1 1 4 1 4 7 2 m −1 1 −1 −1 m 4 10 1 A= 1 10 17 4 ; B = 1 m 0 1 ; C = 1 1 7 17 3 4 1 3 3 1 2 2 −1 1 2 2 4 3 8
- 9. TRÌNH TUYẾN TÍNH −5 1 1 2 −1 a 1. Cho hệ phương trình Ax = B ⇐⇒ 26 −7 −4 −2 1 x = b . Tìm điều kiện 31 −8 −5 −4 2 c của a, b, c để hệ có nghiệm. Đáp số : a − b + c = 0. x + my + z =m 2. Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm x + 2y + 2z =1 2x + [m + 2]y + [m + 2]z = m2 + m 2 Đáp số : m = 2. 3. Tìm m để 2 hệ sau có nghiệm chung x − y + z + 2t = 2m 2x + 3y + z − 5t = 3m và 2x − 3y − 2z − 5t = 2 5x − 9y − 11z − 26t = −1 3 Đáp số : m = 2 . 4. Giải các hệ phương trình sau 2x − y − z =4 x + y + 2z = −1 x − 3y + 4z + t = 1 1] 3x + 4y − 2z = 11 ; 2] 2x − y + 2z = −4 ; 3] 2x − 5y + z − 5t = 2 3x − 2y + 4z = 11 4x + y + 4z = −2 5x − 13y + 6z =5 x + y + 2z + 3t = 1 x + 2y + 3z + 4t = 5 x + 2y + 4z = 31 3x − y − z − 2t = −4 2x + y + 2z + 3t = 1 4] 5x + y + 2z = 29 ; 5] ; 6] 2x + 3y − z − t = −6 3x + 2y + z + 2t = 1 3x − y + z = 10 x + 2y + 3z − t = −4 4x + 3y + 2z + t = −5 y − 3z + 4t = −5 x + y − 3z = −1 x − 2y + z + t = 1 x − 2z + 3t = −4 2x + y − 2z = 1 7] ; 8] x − 2y + z − t = −1 ; 9] 3x + 2y − 5t = 12 x+y+z =3 x − 2y + z + 5t = 5 4x + 3y − 5z = 5 x + 2y − 3z = 1 x + 3y + 4z − t = 2 5. Tìm m để hệ 2x + 7y + 4z + t = m + 11 có nghiệm và giải với m đó. x + 5y − 4z + 5t = m + 9 9
- 10. VECTOR 3.1 Không gian vector 1. Trong R3 , trong các hệ sau, hệ nào là hệ phụ thuộc tuyến tính A A = {u1 = [5, 4, 3], u2 = [3, 3, 2], u3 = [8, 1, 3]}, B B = {u1 = [2, −1, 3], u2 = [3, −1, 5], u3 = [1, −4, 3]} C C = {u1 = [1, 2, 3], u2 = [4, 5, 6], u3 = [7, 8, 9]} D D = {u1 = [0, 1, 2], u2 = [1, 2, 7], u3 = [0, 4, 4]}. 2. Cho P2 là tập hợp các đa thức bậc bé hơn hoặc bằng 2 với hệ số thực. Chứng minh rằng a. Họ A = {p1 [x] = 1 + 2x + 3x2 , p2 [x] = 2 + 3x + 4x2 , p3 [x] = 3 + 5x + 7x2 } là phụ thuộc tuyến tính. b. Họ B = {q1 [x] = 1, q2 [x] = 1 + x, q3 [x] = 1 + x + x2 } là độc lập tuyến tính. c. Họ {p[x], p [x], p”[x]}, trong đó p [x], p”[x] là đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của p[x] = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R là độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng tập hợp F = {y = [y1 , y2 , y3 , y4 ]|y2 + y3 + y4 = 0} là một không gian vector con của R4 . 4. Tìm điều kiện để vector [x, y, z] không phải là một tổ hợp tuyến tính của hệ F = {u = [1, 2, 1], v = [1, 1, 0], w = [3, 6, 3]}. Đáp số : y = x + z. 5. Trong R4 , với W = {u1 , u2 , u3 } = {[−1, 1, 1, 0], [0, −2, 1, 1], [−1, 0, 1, −2]} . Cho u = [x1 , x2 , x3 , x4 ] ∈ R4 . Tìm điều kiện để u ∈ W . Đáp số : 7x1 + 2x2 + 5x3 − x4 = 0. 4 0 1 6. Trong R3 xét hai cơ sở A, B. Biết ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là P = 1 4 4 1 1 2 và tọa độ x đối với cơ sở A là [x]A = [13, 13, 13]. Tìm tọa độ của x đối với cơ sở B. Đáp số : [x]B = [1, −6, 9]. 7. Tìm tọa độ [x1 , x2 , x3 , x4 ] của vector u = [1, 1, 1, 1] theo cơ sở {u1 = [0, 1, 1, 1], u2 = [1, 0, 1, 1], u3 = [1, 1, 0, 1], u4 = [1, 1, 1, 0]}. 10
- 11. độ [x1 , x2 , x3 ] của vector u = [m, m, 4m] theo cơ sở {u1 = [1, 2, 3], u2 = [3, 7, 9], u3 = [5, 10, 16]}. Đáp số : x1 = −m, x2 = −m, x3 = m. 9. Cho ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U = {u1 , u2 , u3 } sang cơ sở chính tắc E là biết 1 1 2 A = 0 −1 0 . Tìm tọa độ [x1 , x2 , x3 ] của vector u = [1, 0, 1]. −1 −1 −1 Đáp số : x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2. 10. Trong không gian R3 cho hai cơ sở, cơ sở chính tắc E và F = {f1 = [−1, 1, 1]; f2 = [1, −1, 1]; f3 = [1, 1, −1]}. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ F sang E? 0 0.5 0.5 Đáp số : PF →E = 0.5 0 0.5. 0.5 0.5 0 11. Tìm số chiều và cơ sở của không gian con không gian R3 các nghiệm của hệ phương x1 − 2x2 + x3 = 0 trình thuần nhất 2x1 − x2 − x3 = 0 −2x1 + 4x2 − 2x3 = 0 12. Tìm số chiều và cơ sở của không gian con không gian R4 các nghiệm của hệ phương x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 1 3 x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0 2 2 trình thuần nhất 1 2 4 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 3 3 3 1 1 3 x1 + x2 + x 3 + x4 = 0 4 2 4 13. S = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } là một họ vector trong R4 . Tìm hạng của S nếu x1 = [1, 1, −1, −1]; x2 = [1, −1, 1, −1]; x3 = [3, 1, −1, 1]; x4 = [3, −1, 1, −1]; x5 = [2, 0, 0, 0]. 3.2 Không gian Euclide 1. Trong không gian EUCLIDE R3 với tích vô hướng thông thường, cho ba vector x = [2, b, c]; y = [1, −2, 2]; z = [2, 2, a]. Tìm a, b, c để ba vector trên tạo thành một hệ trực giao. 2. Trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vector x1 = [1, 2, 3] và x2 = [3, 1, 2]. 1 2 3 31 −8 −5 Đáp số : y1 = √ , √ , √ ; y2 = √ ,√ ,√ . 14 14 14 1050 1050 1050 3. Trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vector x1 = [1, 1, 1]; x2 = [1, 1, 0] và x2 = [1, 0, 0]. 4. Trong không gian EUCLIDE R3 cho không gian vector con W = {x ∈ R3 |2x1 +x2 −x3 = 0}. Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của W . 5. Trong không gian EUCLIDE R4 cho không gian vector con W = {x ∈ R4 |x1 + x2 + x3 = 0, −x1 + x2 + x4 = 0}. Tìm một cơ sở và một cơ sở trực chuẩn của W . 11
- 12. TUYẾN TÍNH 4.1 Ánh xạ tuyến tính 1. Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính 1. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [x2 − x3 , x1 + x3 , 3x1 − x2 + 2x3 ] 2. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 + x2 , x2 + 2, x3 + 3] 3. f : R2 → R, f [x1 , x2 , ] = |x2 − x1 | 4. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [2x1 , x2 ] 5. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [x2 , x2 ] 1 6. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [x2 , x1 ] 7. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [0, x2 ] 8. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [x1 , x2 + 1] 9. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [2x1 + x2 , x1 − x2 ] 10. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [x2 , x2 ] √ √ 11. f : R2 → R2 , f [x1 , x2 ] = [ 3 x1 , 3 x2 ] 12. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 , x1 + x3 + x2 ] 13. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [0, 0] 14. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [1, 1] 15. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [2x1 + x2 , 3x2 − 4x3 ] 2. Hãy tìm ma trận chính tắc của mỗi ánh xạ tuyến tính sau 1. f [x1 , x2 ] = [2x1 − x2 , x1 + x2 ] 2. f [x1 , x2 ] = [x1 , x2 ] 3. f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 + 2x2 + x3 , x1 + 5x2 , x3 ] 4. f [x1 , x2 , x3 ] = [4x1 , 7x2 , −8x3 ] 5. f [x1 , x2 , ] = [x2 , −x1 , 3x2 + x1 , x1 − x2 ] 6. f [x1 , x2 , x3 , x4 ] = [7x1 − 2x2 − x3 + x4 , x2 + x3 , −x1 ] 7. f [x1 , x2 , x3 ] = [0, 0, 0, 0, 0] 8. f [x1 , x2 , x3 , x4 ] = [x4 , x1 , x3 , x2 , x1 − x3 ] 12
- 13. xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 , định bởi f [x, y, z, t] = [x + 2y + 4z − 3t, 3x + 5y + 6z − 4t, 4x + 5y − 2z + 3t, 3x + 8y + 24z − 19t]. Xét không gian vector con V = {[x, y, z, t]/f [x, y, z, t] = [0, 0, 0, 0]}. Tìm số chiều và một cơ sở của V . Đáp số : không gian vector V có số chiều bằng 2 và một cơ sở của nó {v = [8, −6, 1, 0], u = [−7, 5, 0, 1]}. 2 −1 4. Cho T : R2 → R2 là ánh xạ nhân với ma trận −8 4 1. Vector nào sau đây ∈ Im[T ]: [1,-4]; [5,0]; [-3,12]. 2. Vector nào sau đây ∈ Ker[T ]: [5,10]; [3,2]; [1,1]. 5. Tìm nhân và ảnh của các ánh xạ tuyến tính sau 1. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 − 2x2 + x3 , 2x1 − x2 − x3 , x1 + x2 − 2x3 ] 2. f : R3 → R3 , f [x1 , x2 , x3 ] = [x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 , x1 + x2 + x3 ] 1 −3 2 −2 6. Cho f : R4 → R3 , và A = 2 −1 2 −1. Với f [x] = AX, X ∈ R4 , hãy xác định 1 2 0 1 nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f . 7. f là một ánhxạ trận xác định như sau ma 1 −1 3 2 0 −1 A= 5 6− 4; B = 4 0 −2; 7 4 2 0 0 0 1 4 5 0 9 4 1 5 2 3 −2 1 0 −1 C= ;D= −1 0 −1 0 −1 1 2 3 0 2 3 5 1 8 Hãy tìm 1. Một cơ sở và số chiều cho Im[f ]; 2. Một cơ sở và số chiều cho Ker[f ]; 8. Cho f : R2 → R2 là ánh xạ tuyến tính có tính chất f [1, 1] = [2, 0]; f [0, 1] = [3, 1]. Tính f [1, 0] và tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của R2 . 9. Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 −→ R2 , ma trận của f đối với cơ sở F = {[2, 1], [1, 1]} là 2 2 . Hãy tìm biểu thức của f . 1 1 Đáp số : f [x, y] = [5y, 3y]. 10. Xét cơ sở S = {v1 , v2 , v3 }, trong R3 trong đó v1 = [1, 2, 3], v2 = [2, 5, 3], v3 = [1, 0, 10]. Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi T [v1 ] = [1, 0], T [v2 ] = [1, 0], T [v3 ] = [0, 1]. Tính T [1, 1, −1], trong các cơ sở chính tắc của R3 , R2 . 13
- 14. Giá trị riêng - vector riêng 1. Tìm các giá trị riêng và vector riêng của các ma trận 6 −4 5 2 9 12 A= ;B= ;C= 4 −2 2 8 12 6 2. Tìm giá trị riêng và vector riêng của các ma trận các 2 −1 1 3 −1 1 6 2 2 A = −1 2 −1; B = −1 5 −1; C = 2 3 −4 0 0 1 1 −1 3 2 −4 3 −8 9 −9 3. Cho ma trận A = −10 13 −10, hãy tìm các giá trị riêng của ma trận A? −4 6 −3 Đáp số : {−2, 1, 3} 3 3 2 4. Tìm trị riêng thực và vector riêng của ma trận A = 1 1 −2 và xác định các −3 −1 0 không gian vector riêng tương ứng. 2 1 0 5. Tìm trị riêng thực và vector riêng của ma trận A = 0 1 −1 và xác định các không 0 2 4 gian vector riêng tương ứng. 2 2 1 6. Tìm trị riêng thực và vector riêng của ma trận A = 1 3 1 và xác định các không 1 2 2 gian vector riêng tương ứng. 7. Tìm trị riêng và vector riêng của các trận sau, từ đó hãy ma chéo hóa các trận [nếu ma 15 −18 −16 0 −8 −6 2 0 1 được] A = 9 −12 −8 ; B = −1 −8 7 ; C = 1 1 1 4 −4 −6 1 −14 11 −2 0 −1 14
- 15. PHƯƠNG 1. Viết ma trận của các dạng toàn phương sau: 1. f [x1 , x2 ] = 3x2 − 4x1 x2 − x2 1 2 2 2. f [x1 , x2 , x3 ] = x1 − 2x1 x2 − x1 x3 3. f [x1 , x2 , x3 ] = 2x2 − 2x2 + 5x2 − 8x1 x2 − 16x1 x3 + 14x2 x3 1 2 3 4. f [x1 , x2 , x3 ] = 2x1 x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 5. f [x1 , x2 , x3 ] = 2x2 + 3x1 x2 + 4x3 x1 + x2 + x2 1 2 3 6. f [x1 , x2 , x3 ] = −4x1 x2 − 4x1 x3 + 3x2 − 2x3 x2 + 3x2 2 3 2 2 2 7. f [x1 , x2 , x3 ] = x1 + x2 + 3x3 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 8. f [x1 , x2 , x3 ] = x2 − 2x2 + x2 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 1 2 3 9. f [x1 , x2 , x3 ] = x2 − 3x2 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 1 3 2. Đưa về dạng chính tắc dạng toàn phương 1. f [x1 , x2 , x3 ] = 2x1 x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 2. f [x1 , x2 , x3 ] = 2x2 + 3x1 x2 + 4x3 x1 + x2 + x2 1 2 3 3. f [x1 , x2 , x3 ] = −4x1 x2 − 4x1 x3 + 3x2 − 2x3 x2 + 3x2 2 3 2 2 2 4. f [x1 , x2 , x3 ] = x1 + x2 + 3x3 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 5. f [x1 , x2 , x3 ] = x2 − 2x2 + x2 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 1 2 3 6. f [x1 , x2 , x3 ] = x2 − 3x2 − 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x2 x3 1 3 3. Cho dạng toàn phương Q[x] = x2 + 2x2 + 2x2 + 2x1 x2 − 2x1 x3 = xT Ax. Bằng phép biến 1 2 3 đổi trực giao, và với cơ sở trực chuẩn 2 −1 1 1 1 −1 1 1 y1 = √ , √ , √ , y2 = √ , √ , √ , y3 = 0, √ , √ . 6 6 6 3 3 3 2 2 Hãy đưa dạng toàn phương này về dạng chính tắc. 2 2 Đáp số : g[z] = 3z2 + 2z3 4. Khảo sát tính chát xác định [dấu] của dạng toàn phương sau f [x1 , x2 , x3 ] = 5x2 + x2 + 4x1 x3 − 4x3 x2 + 5x2 1 2 3 5. Khảo sát tính chát xác định [dấu] của dạng toàn phương sau f [x1 , x2 , x3 ] = 3x2 + x2 + 5x2 + 4x1 x2 − 8x1 x3 − 4x2 x3 1 2 3 6. Định m để dạng toàn phương sau xác định âm f [x1 , x2 , x3 ] = −5x2 − x2 − mx2 − 4x1 x2 + 2x1 x3 + x2 x3 1 2 3 15
- 16. khảo [1] Nguyễn Văn Kính [Chủ biên], Bộ môn Toán, Giáo trình Toán cao cấp A2-C2, Trường Đại học Công Nghiệp Thực Phẩm TP.HCM, 2012. [2] Trần Lưu Cường [Chủ biên], Nguyễn Đình Huy, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Bá Thi, Nguyễn Quốc Lân, Toán Cao Cấp 2 Đại Số Tuyến Tính, Nhà xuất bản giáo dục, 2005. [3] Nguyễn Đình Trí [Chủ biên], Lê Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ, Bài tập Toán Học Cao Cấp Tập 1 [Dùng cho sinh viên các trường cao đẳng]. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2010. [4] Nguyễn Đình Trí [Chủ biên], Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh. Bài tập TOÁN CAO CẤP Tập một Đại số và hình học giải tích. Nhà xuất bản giáo dục, 2010. 16