Cách giải phương trình hồi quy bậc 4

PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ÔN THI VÀO LỚP I0

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [emailprotected]

Tổng hợp cácđề cương đại họchiện có củaĐại Học Hàng Hải:Đề Cương VIMARU

Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau mục lục và bản xem trước

[Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức]

Đề cương liên quan:Bộ đề ôn thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh kèm đáp án

Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ÔN THI VÀO LỚP I0

Phương trình a x3 +bx2 +cx+d=0 [1] [a0]

-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải

-Nếu a+b+c+d=0 thì [1] sẽ có 1nghiệm x=1

Nếu a-b+c-d=0 thì [1] sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích

-Nếu [1] có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ước của hạng tử tự do , giả sử 3 nghiệm là x1;x2;x3 thì x1+x2+x3 =-b/a

x1.x2.x3 =-d/a

x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a

Bài 4.1:

1. a] Giải phương trình 2x3+7x2+7x+2=0

a-b+c-d=0 thì [1] sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích

1. b] Giải phương trình x3+7x2-56 x+48=0

a+b+c+d=0 thì [1] sẽ có 1nghiệm x=1

1. Giải phương trình 2x3+5x2+6x+3=0
2. e] Giải phương trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 [1] [x-1 ][ x2+5x-24 ]=0

Bài 4.2 Giải phương trình sau 4x 4 109x2+ 225 =0 [1]

Bài 4.3 phương trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0

[ x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a 0 ]

[Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau ]

phương pháp giải gồm 4 bước

-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của [1] ta chia cả hai vế [1] cho x2 [đk x 0] rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình mới

-Đặt ẩn phụ : [x+=t [3] => x2+ =t2 -2 ta được phương trình ẩn t

-giải phương trình đó ta được t = .

thay các giá trị của t vào [3] để tìm x và trả lời nghiệm [1]

Giải phương trình sau

10x4 27x3 110x2 -27x +10=0 [1]

Ta nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của [1]

chia cả hai vế [1] cho x2 [đk x 0]

ta được pt 10x2 -27x 110 = 0

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được PT

10[ x2 +] -110 =0 [2]

Đặt ẩn phụ [x+=t [3] => x2+ =t2 -2 thay vào [2] ta có

10t2 -27t -130=0 [4] Giải [4] ta được t1=- ; t 2=

+ Với t1=- ó [x+=- ó 2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=-1/2

+Với ; t 2= ó [x+= ó 5x2-26x+5 =0 có nghiệm là x3=5 ; x4=1/5

Vậy phương trình [1] có tập nghiệm là S=

Bài 4.4 Phương trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 [1]

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 e0] và ;

phương tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy

Chú ý :Khi =1hay a=e thì d=b; lúc đó [1] có dạng a x4 + bx 3+ cx2 bx +e =0

Cách giải:

-Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình [1]nên chia cả hai vế cho x2 ta được

a x2 +bx +c += 0 [2]

Nhóm hợp lí a [x2 +

-Đổi biến đặt x+ =t => x2 +[ do [d/b]2 =c/a

nên x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b

Khi đó ta có phương trình a [t2 2] bt +c =0

Ta được phươnmg trình [3] trung gian như sau : at2+ bt +c=0 [3]

-Giải [3] ta được nghiệm của phương trình ban đầu

Giải phương trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 [1]

Nhận xét 4/1=; Nên phương trình [1] là phương trình hồi quy

• x=0 không phải là nghiệm của [1]
• Do đó chia cả hai vế phương trình cho x2 [x 0] ta được

x2- -4x -9 +=0 ó [x2 + 4[ x -] -9 =0 [2]

* Đặt [ x -] =t [3] => .[ x2 + =t2 +4 thay vào [2]

Phương trình [1] trở thành t2-4t -5 =0 có nghiệm là t1=-1 ; t2=5

nhận xét : tương tự như giải phương trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bước đặt ẩn phụ

Đặt x+=yb => x2 +

Bài 4.5 Phương trình dạng : [x+a ] [ x+b ] [x+c] [x+d ]=m [Trong đó a+d=b+c]

cách giải : Nhóm [ x+a] với [x+d] ; [x+b] với [x+c] rồi triển khai các tích đó

Khi đó phương trình có dạng

Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +[ a+d]x + k ] =t [2] [ k có thể là ad hoặc bc ]

Ta có phương trình At2 +B t + C =0 [Với A=1]

Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào [2] rồi giá trị tìm được nghiệm x

Giải phương trình [x+1] [x+3] [x+5] [x+7 ] = -15 [1]

• nhận xét 1+7 =3+5
• Nhóm hợp lý ó [x+1] [x+7 ] . [x+3] [x+5 ] +15=0

ó [x2 +8x +7 ] [x2 + 8x + 15] +15 =0 [2]

*Đặt [x2 +8x +7 ] =t [3] thay vào [2] ta có [2] ó t[ t+ 8] + 15=0

óy2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5

Thay vào [3] ta được 2 phương trình

1/x2 +8x +7 = -3 ó x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4

2/ x2 +8x +7 = -5 ó x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6

Vậy tập nghiệm của phương trình [1] là S =

Bài 4.6:Phương trình dạng; [x+a]4 +[x+b]4 = c [1] [Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ]

cách giải :

Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của [x+a] và [x+b]

Đặt t =x+ => x+a =t+ và x+b=t

Khi đó phương trình [1] trở thành : 2t4 +2 []2 t2 + 2[]4 c =0

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải

Giải phương trình sau : [x+3]4 +[x-1]4 =626

Đặt t =[ x+3+x-1]: 2=x+1=>x=t-1

Ta có phương trình ó [t+2]4 + [t 2]4 =626

ó 9t4+8t3 +24t2+32t +16] +[ó 9t4 8t3 +24t2 32t +16]=626

ót4 +24t2 297 =0 => t=-3 và t=3

Từ đó tìm được x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 4.7/ Phương trình dạng : a[ f[x]]2 +b f[x] +c = 0

[trong đó x là ẩn ;a0 ; f[x] là đa thức một biến ]

cách giải: Tìm TXĐ của phương trình

Đổi biến bằng cách đặt f[x] =t khi ó phương trình có dạng at2 + bt +c =0 [2] là PT bậc ha +/nếu [2] có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f[x] =t

+/ nghiệm của phương trình f[x] =t0 [nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ] sẽ là nghiệm của phương trnh [1]

Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 [1]

TXĐ : xR

Biến đổi vế trái ta có VT= [x2+ 3x]2 -4[x2+3x] +3

Vậy ta có phương trình [x2+ 3x]2 -4[x2+3x] +3 =0

Đặt x2+ 3x =t [2]

Ta có PT t2 -4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3

Bài 4.8 Phương trình đối xứng bậc lẻ [ bậc 5]

Giải phương trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0

Phương trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng

[ x+1] [2x4+x3 -6x2+x+2 ]=0

Khi đó phương trình có dạng

Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +[ a+d]x + k ] =t [2] [ k có thể là ad hoặc bc ]

Ta có phương trình At2 +B t + C =0 [Với A=1]

Giải phương trình ta tìm được t sau đó thay vào [2] rồi giá trị tìm được nghiệm x

Giải phương trình [x+1] [x+3] [x+5] [x+7 ] = -15 [1]

• nhận xét 1+7 =3+5
• Nhóm hợp lý ó [x+1] [x+7 ] . [x+3] [x+5 ] +15=0

ó [x2 +8x +7 ] [x2 + 8x + 15] +15 =0 [2]

*Đặt [x2 +8x +7 ] =t [3] thay vào [2] ta có [2] ó t[ t+ 8] + 15=0

óy2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5

Thay vào [3] ta được 2 phương trình

1/x2 +8x +7 = -3 ó x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4

2/ x2 +8x +7 = -5 ó x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6

Vậy tập nghiệm của phương trình [1] là S =

Bài 4.6:Phương trình dạng; [x+a]4 +[x+b]4 = c [1] [Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ]

cách giải :

Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của [x+a] và [x+b]

Đặt t =x+ => x+a =t+ và x+b=t

Khi đó phương trình [1] trở thành : 2t4 +2 []2 t2 + 2[]4 c =0

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải

Giải phương trình sau : [x+3]4 +[x-1]4 =626

Đặt t =[ x+3+x-1]: 2=x+1=>x=t-1

Ta có phương trình ó [t+2]4 + [t 2]4 =626

ó 9t4+8t3 +24t2+32t +16] +[ó 9t4 8t3 +24t2 32t +16]=626

ót4 +24t2 297 =0 => t=-3 và t=3

Từ đó tìm được x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 4.7/ Phương trình dạng : a[ f[x]]2 +b f[x] +c = 0

[trong đó x là ẩn ;a0 ; f[x] là đa thức một biến ]

cách giải: Tìm TXĐ của phương trình

Đổi biến bằng cách đặt f[x] =t khi ó phương trình có dạng at2 + bt +c =0 [2] là PT bậc ha +/nếu [2] có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f[x] =t

+/ nghiệm của phương trình f[x] =t0 [nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ] sẽ là nghiệm của phương trnh [1]

Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 [1]

TXĐ : xR

Biến đổi vế trái ta có VT= [x2+ 3x]2 -4[x2+3x] +3

Vậy ta có phương trình [x2+ 3x]2 -4[x2+3x] +3 =0

Đặt x2+ 3x =t [2]

Ta có PT t2 -4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3

Bài 4.8 Phương trình đối xứng bậc lẻ [ bậc 5]

Giải phương trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0

Phương trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phương trình về dạng

[ x+1] [2x4+x3 -6x2+x+2 ]=0

Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình

2x4+x3 -6x2+x+2 =0[2] là phương trình đối xứng [bậc 4] đã biết cách giải

Giải [2] ta được x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1

Bài tập VN : Giải các phương trình sau

1] x3 4x2 29x -24 =0 2] 8x3 20x2 +28x 10 =0

3] x4 3x3+9x2 -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0

5, x4 +5x3 -14x2-20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0

4, [x+4] [x+5] [x+7] [x+8] =4 h, [x+10] [x+12] [x+15] [x+18] =2x2

7] [x+2] [x+3] [x+8] [x+12] =4x2 nhóm [x+2][x+12] [x+3] [x+8] rồi chia 2 vế cho 4x2

và đặt t=x+7/x [đk x0]

8] 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9] x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0

10] 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11] x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0

12] [x2-8x+7][x2-8x+15]=20

13] [x2-3 x+1] [x2+3x+2] [x2-9x+20]=-30 biến đổi [x2-3 x+1] [x2-3x-4] [x2-3x-10]=-30

14] 3[x2+x] -2[x2+x ] -1=0 15] [x2-4x+2]2 +4x2-4x-4=0

16] [x2-x+1]4-6x2[x2-x+1]2+5x4=0 17] [x+6]4+[x+4 ]4 =82

18] 19] [x-2,5]4+[x-1,5]4 =17