Cách làm bài phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.
 

$[i]$      Đường thẳng $\left[ d \right]:y = kx + b$ có hệ số góc là $k$. $[ii]$    Hệ số góc của tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left[ x \right]$  tại điểm $x_0$ là $f'\left[ {{x_0}} \right]$. $[iii]$     Hai đường thẳng song song nhau khi có cùng hệ số góc. $[iv]$    Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left[ x \right]$  tại điểm $M_0[x_0;y_0]$ là $$y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}.\;\;$$

Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $[\Delta]$ của đồ thị $\left[ C \right]:y = f\left[ x \right]$ song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = kx + b$.

Giải. Gọi $M_0[x_0;y_0]$ là tiếp điểm. Từ $[i]$ và $[ii]$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$  lần lượt là $f'\left[ {{x_0}} \right]$ và $k$.

Vì $\Delta \parallel d$ nên theo $[iii]$ ta có $f'\left[
{{x_0}} \right] = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left[ {{x}} \right] = k$.

Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left[ C \right]:y = f\left[ x \right]$ song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = kx + b$ như sau:

 
 

Bước 1. Giải phương trình $f'\left[ {{x}} \right] = k$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm.  Bước 2. Tính ${y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]$ để được tiếp điểm $M_0[x_0;y_0]$.  Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left[ C \right]$ tại $M_0[x_0;y_0]$ theo mệnh đề $[iv]$.

 

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $[C]: y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = 2x - 1$.

 

 Giải. Bước 1. Ta có $f\left[ x \right] = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left[ x \right] = 2x - 2.$ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left[ x \right] = 2 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$

Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $[C]$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left[ {2; - 1} \right].$ Bước 3. Ta có $f'\left[ {{x_0}} \right] = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left[ {2; - 1} \right]$ là  $$y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left[ {x - 2} \right] - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left[ C \right]: y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left[ d \right]:y = 6x - 1$.

 

Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình  $$f'\left[ x \right] = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left[ 1 \right] = 3\\ {x_2} =  - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left[ 1 \right] =  - 5 \end{array} \right.$$ Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left[ {1;3} \right],{M_2}\left[ { - 1; - 5} \right]$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left[ {1;3} \right]$ là $$\left[ {{\Delta_1}} \right]:\;\;\;\;y = 6\left[ {x - {x_1}} \right] + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left[ {x - 1} \right] + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$

Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left[ { - 1; - 5} \right]$ là $$\left[ {{\Delta_2}} \right]:\;\;\;\;y = 6\left[ {x - {x_2}} \right] + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left[ {x + 1} \right] - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$

1. Phương pháp giải

– Xác định tâmIvà bán kínhRcủa đường tròn[C]

– DoΔ∥d:Ax+By+C=0⇒Δ:Ax+By+c=0[c≠C]

–Δtiếp xúc với[C]⇔d[I,Δ]=R

Giải phương trình này ta tìm đượcc.

Hình minh họa

Ví dụ áp dụng

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn[C]:[x−1]2+[y+3]2=16 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:6x−8y+2019=0.

Giải
[C]có tâmI[1;−3]và bán kínhR=4.

Tiếp tuyếnΔsong song vớidnên có phương trình dạng6x−8y+c=0,[c≠2019].

Δtiếp xúc với[C]⇔d[I,Δ]=R⇔|30+c|100√=4

Giải phương trình này ta đượcc=10hoặcc=−70.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán với phương trình tương ứng là

6x−8y+10=0;6x−8y−70=0

Ngoài dạng bài tập phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng, chúng ta còn có hai dạng bài tập khác:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M[x0; y0] thuộc đường tròn. Ta dùng công thức tách đôi toạ độ.

- Nếu phường trình đường trong là: x2 + y2 - 2ax – 2by +c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx0 + yy0 – a[x + x0] – b[y + y0] + c = 0

-Nếu phương trình đường tròn là: [x – a]2 + [y – b]2 = R2thì phương trình tiếp tuyến là: [x – a][x0 – a] + [y – b][y0 – b] = R2

Dạng 2: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm I[x0; y0] cho trước ngoài đường tròn.

Viết phường trình của đường thẳng d qua I[x0; y0] :

y – y0 = m[x – x0] ⇔ mx – y – mx0+ y0 = 0 [1]

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m; thay m vào [1] ta được phường trình tiếp tuyến.

Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến

2. Bài tập vận dụng

Bài 1.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn[C]:x2+y2−4x+8y−5=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:2x−3y+5=0.

Bài 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn[C]:x2+y2+2x−2y−15=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=4x−2019.

Bài 3.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn[C]:[x+5]2+[y+2]2=36 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y=−5x+13.

Bài 4.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn[C]:2x2+2y2−4x+12y+18=0 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:−3x+4y+2018=0.

Bài 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn[C]:[x−1]2+[y−3]2=22 biết tiếp tuyến song song với đường thẳngd:y= −2018x+35

Dưới đây là một số kiến thức bổ sung để bạn đọc hiểu rõ thêm về tiếp tuyến của đường tròn.

1. Tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyến của một đường cong tại mộtđiểmbất kỳ thuộc đường cong có nghĩa là một đường thẳng chỉchạmvào đường cong tại điểm đó.

Tiếp tuyến

2. Tiếp tuyến của đường tròn là gì?

Tiếp tuyến của đường tròn là mộtđường thẳngđi qua một điểm của đường tròn và vuông góc vớibán kínhđi qua điểm đó.

Tiếp tuyếncủa đường tròn

3. Tính chất của tiếp tuyến

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì qua tâm.

- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.

Tính chất tiếp tuyến của đường tròn

- 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm bất kỳ, điểm đó sẽ có khoảng cách cách đều 2 tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm cắt nhau đi qua tâm đường tròn được gọi là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm cắt nhau được gọi là tia phân giác của 2 bán kính đi qua các tiếp điểm.

- Nếu 2 tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì góc BOA và góc BPA bù nhau.

4. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từtâmcủa một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.