Véc tơ đơn vị trên trục \[Oy\] là:
Điểm \[M\left[ {x;y;z} \right]\] nếu và chỉ nếu:
Hình chiếu của điểm \[M\left[ {1; - 1;0} \right]\] lên trục ${\rm{O}}z$ là:
Điểm \[M \in \left[ {Oxy} \right]\] thì tọa độ của \[M\] là:
Tọa độ điểm \[M\] là trung điểm đoạn thẳng \[AB\] là:
Tọa độ trọng tâm tam giác \[ABC\] là:
Tọa độ trọng tâm tứ diện \[ABCD\] là:
1. Định nghĩa
Cho đường thẳng \[d\]. Phép biến hình biến mỗi điểm \[M\] thuộc \[d\] thành chính nó, biến mỗi điểm \[M\] không thuộc \[d\] thành \[M'\] sao cho \[d\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[MM'\], được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng \[d\] hay phép đối xứng trục \[d\].
Phép đối xứng trục \[d\] thường được kí hiệu là \[Đ_d\]
Nếu hình \[H'\] là ảnh của hình \[H\] qua \[Đ_d\] thì ta còn nói \[H\] đối xứng với \[H'\] qua \[d\], hay \[H\] và \[H'\] đối xứng với nhau qua \[d\].
2. Nhận xét
+] Cho đường thẳng \[d\]. Với mỗi điểm \[M\], gọi \[M''\] là hình chiếu vuông góc của \[M\] trên đường thẳng \[d\]. Khi đó
\[M' = Đ_dM]\] \[ \Leftrightarrow \] \[\overrightarrow{M''M'}\] = \[-\overrightarrow{M''M}\]
+] \[M' = Đ_d[M]\] \[ \Leftrightarrow \] \[M = Đ_d[M']\]
3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \[Ox\]
\[\left\{\begin{matrix} {x}'= x\\ {y}'= -y. \end{matrix}\right.\]
4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \[Oy\]
\[\left\{\begin{matrix} {x}'= -x\\ {y}'= y \end{matrix}\right.\]
5. Tính chất
+] Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
+] Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
6. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng \[d\] được gọi là trục đối xứng của hình \[H\] nếu phép đối xứng qua \[d\] biến \[H\] thành chính nó. Tức \[Đ_d [H'] = H\]
Khi đó ta nói \[H\] là hình có trục đối xứng.
Loigiaihay.com
Với Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
Biểu thức tọa độ:
Trong hệ trục tọa độ Oxy
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M[2;3]. Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox.
Hướng dẫn giải:
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox:
Với mỗi M[x;y] gọi M' = DOx[M] = [x';y'] thì
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A[3;5]. Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Ox.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Đa, với a là đường thẳng có phương trình: 2x - y = 0. Lấy A[2;2]; tìm ảnh của A qua phép đối xứng trục a.
Hướng dẫn giải:
Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox, với M[x;y] gọi M'là ảnh của M qua phép đôi xứng trục Ox. Khi đó tọa độ điềm M'là:
A. M'[x;y]
B. M'[-x;y]
C. M'[-x;-y]
D. M'[x;-y]
Lời giải:
.
Chọn D.
Đối xứng qua trục Ox thì
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Oy, với M[x;y] gọi M'là ánh của M qua phép đối xứng trục Oy Khi đó tọa độ điềm M'là:
A. M'[x;y]
B. M'[-x;y]
C. M'[-x;-y]
D. M'[x;-y]
Lời giải:
.
Chọn B.
Nếu d≡Oy. Với mỗi M[x;y] gọi M' = DOy[M] = [x';y'] thì
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M[2;3]. Hỏi M là ảnh của điểm nào trong các điêm sau qua phép đối xứng trục Oy?
A. [3;2]
B. [2;-3]
C. [3;-2]
D. [-2;3]
Lời giải:
.
Chọn D.
Nếu d≡Oy. Với mỗi M[x;y] gọi M' = DOy[M] = [x';y'] thì
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điêm M[2;3]. Hỏi trong trong các điểm sau, điểm nào là ảnh của M qua phép đôi xứng qua đường thắng d:x - y = 0?
A. [3;2]
B. [2;-3]
C. [3;-2]
D. [-2;3]
Lời giải:
.
Chọn A.
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d MH⊥d ⇒ MH:x + y+c = 0
• M ∈ MH ⇒ 2 + 3 + c = 0 ⇒ c = -5
Suy ra MH:x + y - 5 = 0.
• H = d ∩ MH. nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình
Dd[M] = M' ⇒ H là trung điểm của MM'
Vậy: M'[3;2]
Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M[-2;3] qua phép đối xứng trục Δ: x + y = 0 là
A. M'[3;2].
B. M'[-3;-2].
C. M'[3;-2].
D. M'[-3;2].
Lời giải:
Chọn D.
Ta biết Đ[Δ][M] = M'khi và chỉ khi [Δ] là trung trực của đoạn MM'
Vậy M'[-3;2].
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Oy, điểm A[3;5] biến thành điểm nào trong các điểm sau?
A. A1'[3;5].
B. A2'[-3;5].
C. 3y' - 4x' + 5 = 0.
D. A4'[-3;-5].
Lời giải:
.
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Oy:
Gọi DOy[A[x;y]] thì M'.
Chọn B.
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục biến điểm A[2;1] thành A'[2;5] có trục đối xứng là:
A. Đường thẳng y = 3.
B. Đường thẳng x = 3.
C. Đường thẳng y = 6.
D. Đường thẳng x + y - 3 = 0.
Lời giải:
.
Gọi Đa[A] = A' → a là đường trung trực của đoạn thẳng AA'.
Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AA' → H[2;3].
Ta có
Đường thẳng a qua điểm H và có một VTPT
Chọn A.
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M[1;3] và M'[-1;1].Phép đối xứng trục Đa biến điểm M thành M'. Khi đó trục a có phương trình:
A. x - y + 2 = 0.
B. x - y - 2 = 0.
C. x + y + 2 = 0.
D. x + y - 2 = 0.
Lời giải:
Chọn D
Cách 1. Ta có: a là trung trực của MM'
Gọi A[x;y] ∈ a ⇒ AM = AM' ⇔ AM2 = AM'2
⇔ [x - 1]2 + [y - 3]2 = [x + 1]2 + [y - 1]2 ⇔ x + y - 2 = 0
Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ ⇒ I[0;2]
Vì d là trục đối xứng nên d đi qua I và nhận
-2[x - 0] - 2[y - 2] = 0 ⇔ -2x - 2y + 4 = 0 ⇔ x + y - 2 = 0
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng trục biến điểm M[2;3] thành M'[3;2] thì nó biến điểm C[1;-6] thành điểm:
A. C'[4;16].
B. C'[1;6].
C. C'[-6;-1].
D. C'[-6;1].
Lời giải:
.
Gọi Đa[M] = M'→a là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.
Gọi I là trung điểm đoạn thẳng
Đường thẳng a qua điểm I và có một vtpt
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên a ⇒ CH ⊥ a ⇒ CH: x + y + c = 0
• C ∈ CH ⇒ 1 - 6 + c = 0 ⇒ c = 5
Suy ra CH: x + y + 5 = 0.
• H = d ∩ CH nên tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình
Da[C] = C' ⇒ H là trung điểm của CC'
Suy ra C'[-6;1].
Chọn D.
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A[1;5], B[-1;2], C[6;-4]. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép đối xứng trục DOy biến điểm G thành điểm G' có tọa độ là:
A. [-2;-1].
B. [2;-4].
C. [0;-3].
D. [-2;1].
Lời giải:
.
Chọn D.