PHƯƠNG PHÁP 1: CALC THEO CHIỀU THUẬN
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ \ge 0$ hoặc Vế trái $ \le 0$
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán .
CALC THUẬN có nội dung: Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng [a;b] [a;b] thì bất phương trình đúng với mọi giá trị thuộc khoảng [a;b]
*Chú ý: Nếu khoảng [a;b] và [c;d] cùng thỏa mãn mà $\left[ {a,b} \right] \subset \left[ {c,d} \right]$ thì [c;d] là đáp án chính xác
Ví dụ minh họa
VD1. Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right] > 0$ có tập nghiệm là?
A. $\left[ { – \propto ; – 2} \right]$
B. $\left[ {4; + \propto } \right]$
C. $\left[ { – 2;1} \right] \cup \left[ {1;4} \right]$
D. $\left[ { – \propto ; – 2} \right] \cup \left[ {4; + \propto } \right]$ [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017]
Lời giải:
Nhập vế trái vào máy tính Casio
A đúng B đúng vậy A$ \cup $ B là đúng nhất và D là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right] > {\log _{\frac{1}{2}}}1$ ${\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right] > {\log _{\frac{1}{2}}}1$ [1]
Vì cơ số $\frac{1}{2}$ thuộc $\left[ {0;1} \right]$ nên [1] $ \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < 1 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < {\log _3}3$ [2] Vì cơ số 3>1nên [2] $\Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} < 3 \Leftrightarrow 3 – \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x – 4}}{{x – 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$
Xét điều kiện tồn tại $\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0\\ {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 0\\ {\log _3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > {\log _3}1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x – 1}} > 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x – 1}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < – 2 \end{array} \right.$
Kết hợp đáp số $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1 \end{array} \right.$ và điều kiện $\left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < – 2 \end{array} \right.$ ta được $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < – 2 \end{array} \right.$
Bình luận :
- Ngay ví dụ 1 đã cho chúng ta thấy sức mạnh của Casio đối với dạng bài bất phương trình. Nếu tự luận làm nhanh mất 2 phút thì làm Casio chỉ mất 30 giây • Trong tự luận nhiều bạn thường hay sai lầm ở chỗ là làm ra đáp số $\left[ \begin{array}{l} x > 4\\ x < 1\end{array} \right.$ là dừng lại mà quên mất việc phải kết hợp điều kiện $\left[ \begin{array}{l}x > 1\\ x < – 2 \end{array} \right.$
- Cách Casio thì các bạn chú ý Đáp án A đúng , đáp án B đúng thì đáp án hợp của chúng là đáp án D mới là đáp án chính xác của bài toán.
VD2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}$ : A. $x \in \left[ { – \propto ; – 2} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}5; + \propto } \right]$ B. $x \in \left[ { – \propto ; – 2} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}5; + \propto } \right]$ C. $x \in \left[ { – \propto ;{{\log }_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right]$
D. $x \in \left[ { – \propto ;lo{g_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right]$ [Chuyên Thái Bình 2017]
Lời giải
Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} – 4}} – {5^{x – 2}} \ge 0$ Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio
Vì nửa khoảng $\left[ { – \propto ;lo{g_2}5 – 2} \right]$ chứa nửa khoảng $\left[ { – \propto ; – 2} \right]$ vậy đáp án D là đáp án đúng nhất
Cách tham khảo: Tự luận Logarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta được ${\log _2}\left[ {{2^{{x^2} – 4}}} \right] \ge {\log _2}\left[ {{5^{x – 2}}} \right] \Leftrightarrow {x^2} – 4 \ge \left[ {x – 2} \right]{\log _2}5$ $ \Leftrightarrow \left[ {x – 2} \right]\left[ {x + 2 – {{\log }_2}5} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 – 2 \end{array} \right.$ Vậy ta chọn đáp án D. Bình luận : • Bài toán này lại thể hiện nhược điểm của Casio là bấm máy sẽ mất tầm 1.5 phút so với 30 giây của tự luận. Các e tham khảo và rút cho mình kinh nghiệm khi nào thì làm tự luận khi nào thì làm theo cách Casio
• Các tự luận tác giả dùng phương pháp Logarit hóa 2 vế vì trong bài toán xuất hiện đặc điểm “ có 2 cơ số khác nhau và số mũ có nhân tử chung” các bạn lưu ý điều này.
VD3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 > 0$ : A. $S = \left[ {2; + \propto } \right]$ B. S= [0;2] C. S=R
D. $\left[ { – \propto ;2} \right]$ [Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017]
Lời giải
Nhập vế trái vào máy tính Casio
Giá trị này cũng nhận vậy D là đáp án chính xác
Cách tham khảo: Tự luận Bất phương trình $ \Leftrightarrow $ ${2.2^x} + {3.3^x} + 1 > {6^x} \Leftrightarrow 2.{\left[ {\frac{2}{6}} \right]^x} + 3.{\left[ {\frac{3}{6}} \right]^x} + {\left[ {\frac{1}{6}} \right]^x} > 1$ $ \Leftrightarrow 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^x} + 3.{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^x} + {\left[ {\frac{1}{6}} \right]^x} > 1$ [1] Đặt $f\left[ x \right] = 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^x} + 3.{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^x} + {\left[ {\frac{1}{6}} \right]^x}$ khi đó [1] $ \Leftrightarrow f\left[ x \right] > f\left[ 2 \right]$ [2] Ta có $f’\left[ x \right] = 2.{\left[ {\frac{1}{3}} \right]^x}\ln \left[ {\frac{1}{3}} \right] + 3.{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^x}\ln \left[ {\frac{1}{2}} \right] + {\left[ {\frac{1}{6}} \right]^x}\ln \left[ {\frac{1}{6}} \right] < 0$ với mọi x $ \Rightarrow $ Hàm số f[x] nghịch biến trên R
Khi đó [2] $ \Leftrightarrow x < 2$ Bình luận :
- Tiếp tục nhắc nhở các bạn tính chất quan trọng của bất phương trình : B là đáp án đúng nhưng D mới là đáp án chính xác [đúng nhất]
- Phần tự luận tác giả dùng phương pháp hàm số với dấu hiệu “Một bất phương trình có 3 số hạng với 3 cơ số khác nhau”
- Nội dng của phương pháp hàm số như sau : Cho một bất phương trình dạng $f\left[ u \right] > f\left[ v \right]$ trên miền $\left[ {a;b} \right]$ nếu hàm đại diện f[t] đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì u= v còn hàm đại diện luôn nghịch biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì u< v 2]
Phương pháp 2: CALC theo chiều nghịch
Bước 1: Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phương trình sẽ có dạng Vế trái $ \ge 0$ hoặc Vế trái $ \le 0$
Bước 2: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio để xét dấu các khoảng nghiệm từ đó rút ra đáp số đúng nhất của bài toán . CALC NGHỊCH có nội dung : Nếu bất phương trình có nghiệm tập nghiệm là khoảng [a;b] thì bất phương trình sai với mọi giá trị không thuộc khoảng [a;b]
Ví dụ minh họa VD1. Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_3}\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}} \right] > 0$ có tập nghiệm là: A. $\left[ { – \propto ; – 2} \right]$ B. $\left[ {4; + \propto } \right]$ C. $\left[ { – 2;1} \right] \cup \left[ {1;4} \right]$
D. $\left[ { – \propto ; – 2} \right] \cup \left[ {4; + \propto } \right]$ [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017 ]
Lời giải:
Nhập vế trái vào máy tính Casio
Đáp án A đúng B đúng vậy ta chọn hợp của 2 đáp án là đáp án D chính xác.
VD2. Giải bất phương trình ${2^{{x^2} – 4}} \ge {5^{x – 2}}$. A. $x \in \left[ { – \propto ; – 2} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}5; + \propto } \right]$ B. $x \in \left[ { – \propto ; – 2} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}5; + \propto } \right]$ C. $x \in \left[ { – \propto ;{{\log }_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right]$
D. $x \in \left[ { – \propto ;lo{g_2}5 – 2} \right] \cup \left[ {2; + \propto } \right]$ [Chuyên Thái Bình 2017]
Lời giải:
Chuyển bất phương trình về bài toán xét dấu ${2^{{x^2} – 4}} – {5^{x – 2}} \ge 0$ Vì bất phương trình có dấu = nên chúng ta chỉ chọn đáp án chứa dấu = do đó A và C loại Nhập vế trái vào máy tính Casio
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác
VD3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${2.2^x} + {3.3^x} – {6^x} + 1 > 0$: A. $S = \left[ {2; + \propto } \right]$ B. $S = \left[ {0;2} \right]$ C. S=R
D. $\left[ { – \propto ;2} \right]$ [Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017]
Lời giải:
Nhập vế trái vào máy tính Casio
Đáp án A, C, B đều sai vậy không cần thử thêm cũng biết đáp án D chính xác
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Bất phương trình $\ln \left[ {\left[ {x – 1} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 3} \right] + 1} \right] > 0$ có tập nghiệm là :
A. $\left[ {1;2} \right] \cup \left[ {3; + \propto } \right]$
B. $\left[ {1;2} \right] \cap \left[ {3; + \propto } \right]$
C. $\left[ { – \propto ;1} \right] \cap \left[ {2;3} \right]$
D. $\left[ { – \propto ;1} \right] \cup \left[ {2;3} \right]$ [Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017]
Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left[ {x – 1} \right] – 1} $ là : A. $\left[ {1; + \propto } \right]$ B. $\left[ {1;\frac{3}{2}} \right]$ C. $\left[ {1; + \propto } \right]$ D. $\left[ {\frac{3}{2}; + \propto } \right]$
[THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017]
Bài 3. Nghiệm của bất phương trình ${\log _{x – 1}}\left[ {{x^2} + x – 6} \right] > 1$ là: A. x > 1 B. $x > \sqrt 5 $ C. $x > 1;x \ne 2$ D. $1 < x < \sqrt 5 ,x \ne 2$
[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017]
Bài 4. Giải bất phương trình ${\left[ {\tan \frac{\pi }{7}} \right]^{{x^2} – x – 9}} \le {\left[ {\tan \frac{\pi }{7}} \right]^{x – 1}}$: A. $x \le – 2$ B. $x \ge 4$ C. $ – 2 \le x \le 4$ D. $x \le – 2$ hoặc $x \ge 4$
[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017]
Bài 5. Bất phương trình ${2^{{x^2}}}{.3^x} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên : A.1 B. Vô số C. 0 D. 2
[THPT HN Amsterdam 2017]
Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${32.4^x} – {18.2^x} + 1 < 0$ là tập con của tập A. $\left[ { – 5; – 2} \right]$ B. $\left[ { – 4;0} \right]$ C. $\left[ {1;4} \right]$ D. $\left[ { – 3;1} \right]$ [Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Bất phương trình $\ln \left[ {\left[ {x – 1} \right]\left[ {x – 2} \right]\left[ {x – 3} \right] + 1} \right] > 0$ có tập nghiệm là : A. $\left[ {1;2} \right] \cup \left[ {3; + \propto } \right]$ B. $\left[ {1;2} \right] \cap \left[ {3; + \propto } \right]$ C. $\left[ { – \propto ;1} \right] \cap \left[ {2;3} \right]$ D. $\left[ { – \propto ;1} \right] \cup \left[ {2;3} \right]$
[Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017]
Lời giải:
Kiểm tra khoảng nghiệm [1;2] với cận dưới X= 1+ 0.1 và cận trên X= 2- 0.1
Tóm lại hợp của hai khoảng trên là đúng $ \Rightarrow $ A là đáp số chính xác
Bài 2. Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left[ {x – 1} \right] – 1} $ là : A. $\left[ {1; + \propto } \right]$ B. $\left[ {1;\frac{3}{2}} \right]$ C. $\left[ {1; + \propto } \right]$
D. $\left[ {\frac{3}{2}; + \propto } \right]$ [THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2017]
Lời giải:
Điều kiện : ${\log _{0.5}}\left[ {x – 1} \right] – 1 \ge 0$ [ trong căn $ \ge 0$] Kiểm tra khoảng nghiệm $\left[ {1; + \propto } \right]$ với cận dưới X=1 và cận trên ${10^9}$
Hơn nữa $X = \frac{3}{2} + 0.1$ vi phạm $ \Rightarrow $ C và D loại luôn
Bài 3. Nghiệm của bất phương trình ${\log _{x – 1}}\left[ {{x^2} + x – 6} \right] > 1$ là? A. x >1 B. $x > \sqrt 5 $ C. $x > 1;x \ne 2$
D. $1 < x < \sqrt 5 ,x \ne 2$ [Chuyên Khoa học tự nhiên 2017]
Lời giải:
Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${\log _{x – 1}}\left[ {{x^2} + x – 6} \right] – 1 > 0$ Kiểm tra khoảng nghiệm x> 1 với cận dưới X= 1+0.1 và cận trên $X = {10^9}$
Cận dưới X=1 + 0.1 vi phạm nên A , C , D đều sai
Bài 4. Giải bất phương trình ${\left[ {\tan \frac{\pi }{7}} \right]^{{x^2} – x – 9}} \le {\left[ {\tan \frac{\pi }{7}} \right]^{x – 1}}$. A. $x \le – 2$ B. $x \ge 4$ C. $ – 2 \le x \le 4$ D. $x \le – 2$ hoặc $x \ge 4$
[Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 2017]
Lời giải:
Casio cách 1 Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu ${\left[ {\tan \frac{\pi }{7}} \right]^{{x^2} – x – 9}} – {\left[ {\tan \frac{\pi }{7}} \right]^{x – 1}} \le 0$ Kiểm tra khoảng nghiệm $x \le – 2$ với cận dưới X= -10 và cận trên X= -2
Tóm lại A , B đều nhận nên hợp của chúng là D là đáp số chính xác.
Bài 5. Bất phương trình ${2^{{x^2}}}{.3^x} < 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên. A. 1 B. Vô số C. 0 D. 2 [THPT HN Amsterdam 2017]
[Xem đáp án ở Bài 5 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn]
Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình ${32.4^x} – {18.2^x} + 1 < 0$ là tập con của tập? A. [-5, -2] B. [-4; 0] C. [1;4] D. [-3; 1] [Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]
[Xem đáp án ở Bài 6 – phần 2 vì phương pháp sau tỏ ra hiệu quả hơn hẳn]