Shortlink: //wp.me/P8gtr-10X
I. Khái niệm chung:
1. Định nghĩa:
1 hệ gồm m phương trình của n ẩn số có dạng:
trong đó: ; hệ số [của ẩn] ; hệ số tự do.
2. Nhận xét:
Ta đặt:
; ;
Khi đó, theo công thức của phép nhân ma trận ta có:
Hay hệ phương trình [1.1] có thể viết thành phương trình ma trận: [1.2] và được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình.
Trong đó: A ma trận hệ số của [1.1] ; X ma trận ẩn số [cột ẩn số] ; B ma trận tự do [cột tự do]
Ma trận được gọi là ma trận mở rộng [ma trận bổ sung]
3. Phương trình tuyến tính thuần nhất [Homogeneous systems]:
Từ hệ [1.1] nếu . Ta có:
Hay:
Khi đó: hệ [1.3] được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất [do luôn có 1 nghiệm tầm thường trivial solution ] tương ứng với hệ [1.1]. Hệ [1.1] được gọi là hệ phương trình tuyến tính [pttt] tổng quát [hay pttt không thuần nhất]
4. Hai hệ pttt cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. Ta nhấn mạnh rằng, hai hệ pttt tương đương thì nhất thiết phải có cùng số ẩn, nhưng số phương trình có thể khác nhau.
Ví dụ: Hai hệ phương trình và là hai hệ tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là:
II. Hệ Cramer:
1. Định nghĩa:
Hệ phương trình tuyến tính [tổng quát] gồm n phương trình và n ẩn được gọi là hệ Cramer, nếu ma trận của nó không suy biến.
[ Cho thì AX = B gọi là hệ Cramer nếu ]
2. Nghiệm của hệ Cramer:
Do hệ phương trình Cramer có nên A khả nghịch và tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo . Khi đó: nhân hai vế của [1.2] cho ta có:
[1.4]
Vậy hệ có nghiệm duy nhất xác định bởi [1.4]
3. Định lý Cramer [Cramers rule công thức xác định công thức nghiệm của hệ Cramer]
Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn số đều có duy nhất một nghiệm cho bởi công thức:
[1.5]
trong đó D là định thức của ma trận hệ số A của hệ [1.1]; Dj là định thức nhận được từ D bằng cách thay cột thứ j của D bằng cột hệ số tự do
Chứng minh:
Theo phần 2, hệ Cramer có ma trận hệ số A là khả nghịch nên tồn tại ma trận nghịch đảo: [trong đó là ma trận phụ hợp của ma trận A]
Do đó, từ hpt:
[*]
Bây giờ, ta xét: . Ta có:
[**]
Từ [*] , [**] ta có:
Hay:
Ta đặt: [***]
Mặt khác theo định nghĩa định thức ta có:
[****]
So sánh vế phải của [***] với [****] ta nhận thấy Dj có được từ D bằng cách thay cột j của ma trận hệ số A bằng cột ma trận tự do B. [dpcm]
Nhận xét:
Từ cách chứng minh trên ta nhận thấy: Với hệ gồm n phương trình, n ẩn số:
Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất.
Nếu và tồn tại thì hệ chắc chắn vô nghiệm.
Nếu thì có dạng vô định nên không thể kết luận được. Với trường hợp này ta phải giải trực tiếp [sẽ đề cập chi tiết ở phần sau]