Cách tính đường trung bình hình thang

Là một người sống hơn 30 năm ở Hà Nội. Blog được tạo ra để chia sẻ đến mọi người tất cả mọi thứ về Hà Nội. Hy vọng blog sẽ được nhiều bạn đọc đón nhận.

Đường trung bình của tam giác [edit]

Định lí 1

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

GT:  \[\Delta ABC, AM=MB, MN \parallel BC\]

KL:  \[AN=NC\]

Chứng minh:

Qua \[N\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\], cắt \[BC\] tại \[P\].

Hình thang \[MNPB\] có hai cạnh bên song song \[[MB \parallel NP]\] nên \[MB=NP\].

Do \[MB=AM\] [giả thiết]

suy ra \[AM=NP\].

Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta NPC\] ta có:

\[AM=NP\] [chứng minh trên]

\[\widehat{A}=\widehat{N_1}\] [hai góc đồng vị]

\[\widehat{M_1}=\widehat{P_1}\] [cùng bằng \[\widehat{B}\]]

Do đó \[\Delta AMN= \Delta NPC \].

\[\Rightarrow AN=NC\].

Vậy \[N\] là trung điểm của \[AC\]. \[\square\]

Đường thẳng \[MN\] ở chứng minh trên có nhiều tính chất thú vị và được áp dụng nhiều trong việc giải toán. Nó được gọi là đường trung bình của tam giác \[ABC.\]

Định nghĩa đường trung bình của tam giác

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Ở hình vẽ trên, \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[ABC\].

Lưu ý: Một tam giác có ba đường trung bình, tương ứng với ba cạnh đáy. Trong chứng minh Định lí 1, \[NP\] cũng là một đường trung bình của tam giác \[ABC\].

Định lí 2

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

GT:  \[\Delta ABC, AM=MB, AN=NC\]

KL:  \[MN \parallel BC, MN=\dfrac{1}{2}BC\]

Chứng minh:

Giả sử \[MN\] không song song với \[BC.\]

Khi đó, theo tiên đề Ơcit, tồn tại duy nhất đường thẳng \[MN'\] đi qua \[M\] và song song với \[BC,\] \[MN'\] không trùng với \[MN.\] [*]

Theo Định lí 1, thì \[MN'\] phải đi qua trung điểm của cạnh \[AC\], hay nói cách khác, \[MN'\] phải đi qua điểm \[N.\]

Do đó đường thẳng \[MN'\] trùng với đường thẳng \[MN.\] Điều này mâu thuẩn với [*].

Vậy \[MN \parallel BC\].    [1]

Kẻ \[NP \parallel AB, P \in BC.\]

Khi đó, hình thang \[MNPB [NP \parallel MN]\] có hai cạnh bên song song \[[MN \parallel BP]\] nên \[MN = BP\]

Mặt khác do \[P\] cũng là trung điểm của \[BC\] [theo Định lí 1], nên \[BP=\dfrac{1}{2}BC\]

Vậy \[MN=\dfrac{1}{2}BC\]    [2]

Từ [1] và [2] ta có điều phải chứng minh. \[\square\]

Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác [edit]

Từ các định lí trên, ta rút ra được hai cách cơ bản để chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác.

Cách 1: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[N\] là trung điểm của \[AC.\]

Cách 2: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[MN \parallel BC.\]

Đường trung bình của hình thang [edit]

Định lí 3

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

GT:  \[ABCD\] là hình thang, \[AB \parallel CD\]

 \[AM=MD, MN \parallel AB, MN \parallel DC\]

KL:  \[BN=NC\]

Chứng minh:

Gọi \[I\] là giao điểm của \[AC\] và \[MN.\]

Xét \[\Delta ADC\] ta có:

\[AM=MD\] [giả thiết]

\[MI \parallel DC\] [giả thiết]

Suy ra \[AI=IC\]

Xét \[\Delta ACB\] ta có:

\[AI=IC\] [chứng minh trên]

\[IN \parallel AB\] [giả thiết]

Suy ra \[BN=NC\]

Vậy \[N\] là trung điểm của \[BC.\] \[\square\]

Đường thẳng\[MN\] có tính chất như trên được gọi là đường trung bình của hình thang \[ABCD\].

Định nghĩa đường trung bình của hình thang

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lí 4

Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

GT:  \[ABCD\] là hình thang, \[AB \parallel CD\]

KL:  \[MN \parallel AB, MN \parallel DC, MN=\dfrac{AB+CD}{2}\]

Gọi \[P\] là giao điểm của \[AN\] và \[DC.\]

Xét hai \[\Delta NAB\] và \[\Delta NPC\] ta có:

\[\widehat{N_1} = \widehat{N_2}\] [đối đỉnh]

\[BN=NC\] [giả thiết]

\[\widehat{B}=\widehat{NCP}\] [so le trong]

Do đó \[\Delta NAB = \Delta NPC\] [g.c.g].

Suy ra, \[AN=NP, AB=CP\]

Vì \[M\] là trung điểm của \[AD, N\] là trung điểm của \[AP\] nên \[MN\] là đường trung bình của \[\Delta ADP.\]

Suy ra \[MN \parallel DP\] và \[MN= \dfrac{1}{2} DP\]

Mặt khác, \[DP=DC+CP=DC+AB,\] do đó:

\[MN=\dfrac{AB+CD}{2}\]. \[\square\]

Chứng minh một đoạn thẳng là đường trung bình của hình thang [edit]

Từ các định lí trên, ta rút ra được hai cách cơ bản để chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác.

Cách 1: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[N\] là trung điểm của \[BC.\]

Cách 2: Chứng minh \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[MN \parallel CD.\]