VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: Tìm 11, d hoặc 1, 2, và tính S, theo một trong hai công thức sau: Sn = n[ui + un], Sn = nui + n[n − 1]. Ví dụ 1. Cho cấp số cộng [can] có số hạng đầu 11 = 2 và công sai d= 3. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên. Áp dụng Công thức [3.4], ta có S100 = 100 – 2 + 100[100 – 1]. Ví dụ 2. Tính tổng S = 100 + 105 + 110 +…+ 995. Các số hạng của tổng S lập thành cấp số cộng [un] với tui = 100, d = 5. Giả sử 995 là số hạng thứ m, n thuộc N*, ta có 995 = 100 + [m – 1]5 = 50 = 900 = n = 180. 180[100 +995] Do đó S = S180 = 98550. a] Chứng minh rằng [un] là cấp số cộng. b] Tính tổng của 30 Số hạng đầu. c] Biết S = 195, tìm m. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho cấp số cộng [n] có 3 = -15, 04 = 18. Tính tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên. Lời giải. Áp dụng công thức n + 1 = n + d, ta có d = 14 – 3 = 18 -[-15] = 33. Áp dụng công thức tun = 1 +[– 1]d, ta có tu1 = 103 – [3 – 1]d = -15 – [3 – 1]33 = -81. Áp dụng Công thức [4′], ta có S20 = 4650.
Bài 2. Cho cấp số cộng [Un]: 4, 7, 10, 13, 16, … Hãy tìm số hạng thứ 50 và tính tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho. Lời giải. Ta có 1 = 4, d = 3. Suy ra 1050 = u1 + [50 – 1]d = 4 + 49.3 = 151. Bài 3. Tính tổng S = 1002 – 992 + 982 – 972 +…+ 22 – 12. Lời giải. Ta có S = 199 + 1954 +…+ 7 + 3. Suy ra S là tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng có 1 = 3, QL50 = 199, d = 4.
Công thức tính cấp số cộng
Cấp số cộng là 1 dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn] thỏa mãn điều kiện: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với 1 số không đổi. Vậy công thức cấp số cộng là gì? Điều kiện thành lập cấp số cộng như thế nào? Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Công thức cấp số cộng
II. Số hạng thứ n của cấp số cộng
III.Điều kiện lập thành cấp số cộng
Ba số hạng
IV. Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng
Tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:
Chú ý
a. Dãy số
c. Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua
V. Phân dạng bài tập cấp số cộng
Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng
Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức:
Bước 2: Kết luận:
- Nếu d là số không đổi thì dãy là CSC.
- Nếu d thay đổi theo n thì dãy không là CSC.
Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng
Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d
Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát
Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên
Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:
Dạng 5: Tìm cấp số cộng
- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu công sai d.
- Tìm công thức cho số hạng tổng quát
VI. Bài tập cấp số cộng
Bài 1. Cho cấp cấp số cộng
Gợi ý
Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
Bài 2: Cho một CSC có
Gợi ý
Bài 3: Cho một CSC có
Gợi ý
Bài 4: Cho CSC
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số.
2. Tính tổng cấp số cộng của 15 số hạng đầu.
3. Tính
Gợi ý
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1. Số hạng thứ 100 của cấp số:
2. Tổng của 15 số hạng đầu:
3. Ta có:
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
Cập nhật: 13/07/2021
Cấp số cộng là dạng toán cơ bản của kiến thức lớp 11 có rất nhiều trong các đề thì tốt nghiệp và đại học. Tuy nhiên, có rất nhiều các bạn học sinh không nắm chắc được tính chất cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, công thức cấp số cộng,..Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng hợp chi tiết lý thuyết về cấp số cộng và bài tập chi tiết trong bài viết dưới đây.
Cấp số cộng là gì?
Trong toán học, cấp số cộng là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn] trong đó kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0.
[un] là cấp số cộng ⇔ ∀n ∈ N∗, Un+1 = Un+ d
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
d = Un+1– un
Tính chất cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với với nó, nghĩa là
Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng
Nếu 1 cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bằng công thức sau:
un= u1 + [n – 1]d [ n ≥ 2].
Công thức tính tổng cấp số cộng
Giả sử [un] là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó, [Sn = u1+u2+u3+…un]. Khi đó ta có:
Kết hợp với công thức: un= u1 + [n – 1]d, ta có:
Tham khảo
Bài tập về cấp số cộng có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Dãy số 1; 3; 5; 7 là một cấp số cộng. Vì 3=1+2; 5=3+2; 7=5+2 nên đây là cấp số cộng với công sai d=2, u1= 1.
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng biết số hạng thứ 7 là 100 và công sai là 2.
Lời giải:
Áp dụng công thức: un= u1 + [n – 1]d
u2 = u7 + [ 2 – 7 ]d = 100 – 5.2 = 90
Ví dụ 3: Cho ba số 3; x; 9 theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm x.
Ta có:
Vậy x = 6 .
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2. Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng.
Áp dụng công thức:
Ta có:
Ví dụ 5: Một xưởng có đăng tuyển công nhân với đãi ngộ về lương như sau: Trong quý đầu tiên thì xưởng trả là 6 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,5 triệu cho 1 quý. Hỏi với đãi ngộ trên thì sau 5 năm làm việc tại xưởng, tổng số lương của công nhân đó là bao nhiêu?
Lời giải
Giả sử công nhân làm cho xưởng n quý thì mước lương khi đó kí hiệu [un] [triệu đồng]
Quý đầu: u1 = 6
Các quý tiếp theo: un+1 = un + 0,5 với ∀n ≥ 1
Mức lương của công nhân mỗi quý là 1 số hạng của dãy số un. Mặt khác, lương của quý sau hơn lương quý trước là 0,5 triệu nên dãy số un là một cấp số cộng với công sai d = 0,5.
Ta biết 1 năm sẽ có 4 quý => 5 năm sẽ có 5.4 = 20 quý. Theo y/c của đề bài ta cần tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng [un].
Lương tháng quý 20 của công nhân: u20 = 6 + [20 – 1].0,5 = 15,5 triệu đồng
Tổng số lương của công nhân nhận được sau 5 năm làm việc tại xưởng:
Ví dụ 6:
Ví dụ 7 Cho CSC [un] thỏa mãn
1. Xác định công sai?
2. Tính tổng S = u5 + u7 +…+ u2011
Lời giải
2. Ta có u5,u7,…,u2011 lập thành CSC với công sai d = 6 và có 1003 số hạng nên
Hy vọng với những thông tin mà chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp các bạn nắm được cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng để vận dụng giải các bài tập nhé
Đánh giá bài viết
XEM THÊM
Định lý Sin, Cos và công thức sin cos trong tam giác chi tiết từ A – Z
Tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, logarit cực đơn giản [VD minh họa]