Với Cách viết phương trình mặt cầu có tâm I cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập viết phương trình mặt cầu có tâm I từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I [a; b; c] và bán kính R là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [2; 3; -1] và có bán kính R = 5.
Hướng dẫn:
Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I [a; b; c] và bán kính R là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I [2; 3; -1] và có bán kính R = 5 là:
[S]: [x-2]2+[y-3]2+[z+1]2=25.
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A [4; -3; 7], B[2; 1; 3]
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm của AB
Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu.
⇒ I[3; -1;5]
Bán kính mặt cầu là:
R=IA
Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là:
[x-3]2+[y+1]2+[z-5]2=9
Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB/2
Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P] bằng bán kính R
R=d[I;[P]]
Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với mặt phẳng [P]: x + 2x + 2z – 5 = 0.
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
d[I;[P]]
Do [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] nên bán kính mặt cầu R=d[I;[P]]=8/3
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với [P] là:
[x-1]2+[y+2]2+z2=64/9
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy]
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z = 0
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:
d[I;[Oxy]]=|-2|/√[12 ]=2
Phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] là:
[x-3]2+[y+1]2+[z+2]2=4
Bài 3: Cho 4 điểm A [3; -2; -2], B [3; 2; 0], C [0; 2; 1] và D [-1; 1; 2]. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng [BCD].
Hướng dẫn:
BC→=[-3;0;1]; BD→=[-4; -1;2]
⇒ [BC→ , BD→ ]=[1;2;3]
⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [BCD] là: n→ =[1;2;3]
Phương trình mặt phẳng [BCD] có VPPT n→=[1;2;3] và đi qua điểm B[3; 2; 0] là: x-3+2[y-2]+3z=0
⇔ x+2y+3z-7=0
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng [BCD] là:
d[A;[BCD]]
Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với [BCD] là:
[x-3]2+[y+2]2+[z+2]2=14
Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính R
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P là:
d=d[I;[P]]
Bán kính R của mặt cầu được tính theo công thức:
R=√[r2+d2 ]
Khi đó phương trình mặt cầu có tâm I [a; b; c] và bán kính R là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng [P]: 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I [2; 1; 3]. Phương trình mặt cầu [S] tâm I cắt mặt phẳng [P] theo một đường tròn [C] có bán kính bằng 4 là:
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
d[I;P]
Bán kính R của mặt cầu là:
R
Phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x-2]2+[y-1]2+[z-3]2=25
Bài 2: Cho điểm A [1; 2; 4] và mặt phẳng [P]: x + y + z =1. Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm A, biết mặt cầu [S] cắt mặt phẳng [P] theo một thiết diện là một đường tròn có chu vi 4π
Hướng dẫn:
Gọi r là bán kính thiết diện
Theo bài ra, đường tròn thiết diện có chu vi 4π
⇒ 2πr = 4π ⇒ r=2
Phương trình mặt phẳng [P]: x + y + z – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
d[I;P]
Gọi R là bán kính mặt cầu
⇒ R=√[r2+d2 ]=4
Phương trình mặt cầu tâm I, bán kính R = 4 là:
[x-1]2+[y-2]2+[z-4]2=16
Bài 3: Cho hai mặt phẳng [P]: 5x – 4y + z – 6 = 0, [Q]: 2x – y + z + 7 = 0 và đường thẳng
Hướng dẫn:
I là giao điểm của [P] và Δ
I thuộc Δ nên I [1+7t; 3t; 1 – 2t]
Lại có I thuộc [P] nên:
5[1+7t] -4.3t+1 -2t-6=0 ⇔ t=0
⇒ I[1;0;1]
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [Q] là:
d[I;[Q]]
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của [S] và mặt phẳng [Q]. Ta có:
πr2 =20π ⇒ r=2√5
Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:
⇒ R=√[r2 +d2 ]= √[330]/3
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
[x-1]2+y2+[z-1]2=110/3
39
00:27:49 Bài 1: Tọa độ của vectơ trong không gian
40
00:40:44 Bài 2: Tọa độ của điểm trong không gian
45
00:18:23 Bài 7: Ứng dụng tích có hướng tính diện tích
46
00:22:03 Bài 8: Ứng dụng tích có hướng tính thể tích
48
00:32:07 Bài 9: Bài toán viết phương trình mặt phẳng
51
00:19:42 Bài 12: Bài toán góc giữa các mặt phẳng
53
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt phẳng
57
00:14:57 Bài 17: Góc giữa hai đường thẳng
58
00:15:13 Bài 18: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
60
Kiểm tra: Đề thi online phần Đường thẳng
61
00:19:21 Bài 20: Bài toán viết phương trình mặt cầu
65
Kiểm tra: Đề thi online phần Mặt cầu
66
00:37:14 Bài 24: Ôn tập, nâng cao