I. Định nghĩa và tính chất tích vô hướng của hai vectơ
1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
2. Bình phương vô hướng
được kí hiệu:và được gọi là bình phương vô hướng của.
3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơtuỳ ý và số thực k bất kì, ta có :
[tính giao hoán]
[tính phân phối đối với phép cộng].
Kết quả:
a]
b]Độ dài của vectơ và góc giữa hai vectơ :
ChoTa có :
[biểu thức toạ độ của tích vô hướng].
4. Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ. Gọilà hình chiếu của B trên đường thẳngOB.
Công thức hình chiếu: .
II. Một số dạng toán cơ bản áp dụng tích vô hướng của hai vecto
DẠNG I.Tính các biểu thức lượng giác của góc từđến
Phương pháp giải:Dùng định nghĩa, các công thức đã học, góc bù nhau, phụ nhau.
Ví dụ: Tính
Giải
DẠNG II.Tínhtích vô hướng của hai vectơ
Phương pháp giải:
Tuỳ theo đề bài, có thể dùng:
Định nghĩa, dùng biểu thức toạ độ của tích vô hướng.
Công thức hình chiếu.
Có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng để đưa về tổng, hiệu của nhữngtích vô hướng đơn giản.
Cần lưu ý vài trường hợp đặc biệt:
Trường hợp A, B , Cthẳng hàng :
+ Nếu A ở ngoài đoạn BC thì
+ Nếu A ở giữa B và Cthì
Ví dụ:Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8,Tính
Giải
DẠNG III.Chứng minh một đẳng thức về tích vô hướng hay đẳng thức về độ dài.
Phương pháp giải:
Dùng định nghĩa, các tính chất về tích vô hướng như dạng II.
Đưa bình phương độ dài về bình phương vectơ :
Ví dụ:Cho tam giác ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
Giải
Ta có
Cộng [1], [2], [3] và thu gọn ta có:
DẠNG IV.Chứng minhhai đường thẳng hay hai vectơ vuông góc.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
Ví dụ:Cho hình thang vuông ABCD. Đường cao AB và hai cạnh đáyAD, BC có độ dài lần lượt là h, a, b. Tìm điều kiện giữa a, b, h để AC và BD vuông góc với nhau.
Giải
Mànên:
Vậy
DẠNG V.Tìm tập hợp điểm
Phương pháp giải:
Các dạng cơ bản:
1.
: Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB.
: Gọi I là trung điểm của AB.
Tập hợp điểm là đường tròn tâm I, bán kínhnếu.
Chú ý:Khi: Tập hợp các điểm M là tâp Ø.
2.
: Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc BC.
: Gọi; H lần lượt là hình chiếu của A, M lên đường thẳng BC.Tập hợp phải tìm là đường thẳng vuông góc với BC tại H cho bởi hệ thức: