Nhận xét hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ {\left| x \right|} \right]\] là hàm chẵn, do đó điều kiện để hàm \[g\left[ x \right]\] có đúng \[7\] điểm cực trị là hàm \[f\left[ x \right]\] có đúng \[3\] điểm cực trị dương tương đương với \[f’\left[ x \right] = 0\] có đúng \[3\] nghiệm dương phân biệt
Xét \[f’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 30{x^2} + 48x = m – 4\,\,\,\,\,[*]\]
Đặt \[h\left[ x \right] = 4{x^3} – 30{x^2} + 48x\]
\[h’\left[ x \right] = 12{x^2} – 60x + 48\] , \[h’\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên của hàm số \[h\left[ x \right]\]
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có đúng \[3\] nghiệm dương phân biệt \[ \Leftrightarrow 0 < m – 4 < 22 \Leftrightarrow 4 < m < 26\] , với \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {5;6;7;…;25} \right\}\] . Vậy có \[21\] giá trị nguyên của \[m\] thỏa mãn.
adsense
Câu 50: Đề tham khảo 2022
Cho hàm số \[y=f[x]\] có đạo hàm là \[f'[x]=x^2+10 x, \forall x \in \mathbb{R}\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y=f\left[x^4-8 x^2+m\right]\] có đúng 9 điểm cực trị?
A. 16
B. 9
C. 15
D. 10
LỜI GIẢI
Ta có \[f'[x]=0\Leftrightarrow x=0;x=-10\].
adsense
\[y’=[4x^3-16x].f’\left[x^4-8x^2+m\right]=0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 4{x^3} – 16x = 0 \vee f\left[ {{x^4} – 8{x^2} + m} \right] = 0\\
\Leftrightarrow x = 0 \vee x = – 2 \vee {x^4} – 8{x^2} + m = 0 \vee {x^4} – 8{x^2} + m = – 10\\
\Leftrightarrow x = 0;x = 2;x = – 2;{x^4} – 8{x^2} = – m[1];{x^4} – 8{x^2} = – m – 10[2]
\end{array}\]
Để hàm số \[y=f\left[x^4-8 x^2+m\right]\] có 9 điểm cực trị thì \[f’\left[x^4-8 x^2+m\right]=0\] phải có 6 nghiệm phân biệt.
Suy ra phương trình [1] phải có 2 nghiệm và phương trình [2] phải có 4 nghiệm.
Ta có: \[\left\{\begin{array}l-m \geq 0 \ -16