Các kiến thức về hàm số nói chung hay hàm số đồng biến trên r nói riêng là một trong các nền tảng cơ bản trong toán học. Vì thế mà, trong bài viết này, Monkey sẽ tập trung giải đáp các câu hỏi như: “Hàm số là gì?”, “Hàm số đồng biến trên r khi nào?”, “Hàm số nghịch biến trên r khi nào?”...
Hàm số là gì?
Giả sử X và Y' là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc ƒ cho tương ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng ƒ là một hàm từ X vào Y, kí hiệu:
ƒ : X → Y
X → ƒ[x]
Nếu X, Y là các tập hợp số thì ƒ được gọi là một hàm số. Trong chương trình Toán 9 chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là X ⊂ R và Y ⊂ R. X được gọi là tập xác định [hay miền xác định] của hàm số ƒ. Tập xác định thường được kí hiệu là D.
Số thực x ∈ X được gọi là biến số độc lập [gọi tắt là biến số hay đối số]. Số thực y = ƒ[x] ∈ Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập hợp tất cả các giá trị của ƒ[x] khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập giá trị [hay miền giá trị] của hàm số ƒ.
Ta cũng có thể định nghĩa hàm số như sau: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho: Với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị thì y được gọi là hàm hằng. Chẳng hạn, y = 3 là một hàm hằng.
Kí hiệu: Khi y là hàm số của x, ta có thể kí hiệu là y = ƒ[x], hoặc y = g[x] hoặc y = h[x],...
Tập xác định của hàm số y = ƒ[x] là tập con của R bao gồm các giá trị sao cho biểu thức ƒ[x] xác định.
Định lí về tính đồng biến nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b]. Khi đó hàm số sẽ đồng biến và nghịch biến với:
- Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
- Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f’[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
Khi nào hàm số đồng biến trên r? hàm số nghịch biến trên r khi nào?
Trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số đồng biến trên r, điều kiện trước tiên là hàm số phải xác định trên R đã.
Giả sử hàm số y=f[x] xác định và liên tục và có đạo hàm trên R. Khi đó hàm số y=f[x] đơn điệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:
Hàm số y=f[x] xác định trên R.
Hàm số y=f[x] có đạo hàm không đổi dấu trên R.
Ở điều kiện thứ 2 để hàm số đồng biến trên r chúng ta cần chú ý là y’ có thể bằng 0 nhưng chỉ được bằng 0 tại hữu hạn điểm [hoặc số điểm mà đạo hàm bằng 0 là tập đếm được].
Một số trường hợp cụ thể chúng ta cần phải nhớ về điều kiện hàm số luôn đồng biến trên r, như sau:
Hàm số đa thức bậc 1
Hàm số đa thức bậc 3
Lưu ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được, ví dụ như: Hàm số bậc 2, 4,...
Các bài viết không thể bỏ lỡ
Monkey Math - Ứng dụng học toán tiếng Anh chỉ với 2K/Ngày
Tổng hợp các dạng bài tập hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao
Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết
Các dạng bài tập ứng dụng hàm số đồng biến nghịch biến trên r thường gặp
Dưới đây là tổng hợp một số dạng bài tập liên quan tới điều kiện hàm số đồng biến trên r để các em áp dụng và thực hành:
Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f[x]
f’[x] > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
f’[x] < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
Tính f’[x], giải phương trình f’[x] = 0 tìm nghiệm.
Lập bảng xét dấu f’[x]
Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Ví dụ: Cho hàm số f[x] = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 ≤ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên ℝ
B. f [a] > f [b]
C. f [b] < 0
D. f [a] < f [b]
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.
Ta có: f’[x] = -6x2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ
⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ.
0 ≤ a < b ⇒ f [0] ≥ f [a] > f [b]
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m
Kiến thức chung
Để hàm số đồng biến trên khoảng [a;b] thì f’[x] ≥ 0, ∀ x ∊ [a;b].
Để hàm số nghịch biến trên khoảng [a;b] thì f’[x] ≤ 0, ∀ x ∊ [a;b].
Chú ý: Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d
Khi a > 0 để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k
Khi a < 0 để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng k ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k
Ví dụ: Hàm số y = x3 – 3x2 + [m – 2] x + 1 luôn đồng biến khi:
Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.
Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2
Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ
⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ 15 – 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 5
Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính đạo hàm f’[x] = 0. Tìm các điểm xi [i= 1, 2,… n] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2
Hàm số xác định với mọi x ∊ ℝ
y’ = -4x3 + 2x = 2x [-2x2 + 1]
Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2
Bảng biến thiên:
Các bài tập mẫu khác
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x³+2[m-1]x²+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.
Hướng dẫn giải:
Để y=x³+2[m-1]x²+3x-2 đồng biến trên R thì [m-1]²-3.3≤0⇔-3≤m-1≤3⇔-2≤m≤4.
Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.
Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx³-mx²-[m+4]x+2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.
Hướng dẫn giải:
Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m=0, hàm số trở thành y=-x+2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với m≠0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m