Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình cần 100 trừ x bình bằng m có nghiệm thực
Câu 44639 Vận dụng cao
Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để phương trình \[\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} + 2\sqrt { - {x^2} + 4} - 2m + 3 = 0\] có nghiệm.
Đáp án đúng: d
Phương pháp giải
- Đặt \[t = \sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} \], tìm diều kiện của \[t\]
- Đưa phương trình về bậc hai ẩn \[t\] rồi tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \[t\] thỏa mãn điều kiện vừa tìm được.
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình cos2x+m+cosx=mcó nghiệm thực?
A. 2
B.5
C. 3
Đáp án chính xác
D.4
Xem lời giải
Phương pháp tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn
- Bước 1: Hàm số đạt cực đại [cực tiểu] tại điểm x0 thì f’ [x0] = 0, tìm được tham số.
- Bước 2: Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để thử lại.
Dạng 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Phương pháp
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
–Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔
–Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔
Bài tập mẫu
Bài tập 1: Tìm m để hàm số
A. m = -1.
B. m = -5.
C. m = 5.
D. m = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có y’ = x2 – 2mx + m2 – 4 ⇒ y’’ = 2x – 2m
Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì
y’ [3] = 0 ⇔ m2 – 6m + 5 = 0 ⇔
Với m = 1, y’’ [3] = 2.3 – 2.1 = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu.
Với m = 5, y’’ [3] = 2.3 – 2.5 = -4 < 0 suy ra x = 3 là điểm cực đại.
Bài tập 2: Hàm số y = ax3 + x2 – 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của H = 4a – b là
A. H = 1.
B. H = -1.
C. H = -2.
D. H = 3.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = 3ax2 + 2x – 5 ⇒ y’’ = 6ax + 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’ [1] = 0 ⇔ a = 1.
Thay a = 1 ta thấy y’’ [1] = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.
Mặt khác ta có: y [1] = 2 ⇔ 1 + 1 – 5 + b = 2 ⇔ b = 5
Vậy H = 4. 1 – 5 = -1.
Bài tập 3: Hàm số f [x] = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f [0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f [1] = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b – 3c + d là
A. T = 2
B. T = 3
C. T = 4
D. T = 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có f’ [x] = 3ax2 + 2bx + c.
Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f [0] = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f [1] = 1 nên ta có hệ phương trình
Bài tập 4: Giá trị của m để hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu là
A. m ≥ 0
B. m ≤ 0
C. m > 0
D. m < 0
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hàm số y = x3 + mx – 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Do đó m < 0.
Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên có các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 5: Với giá trị nào của m thì hàm số H10 có cực trị?
A.
B. m < 1
C.
D. m ≤ 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx2 + 2x + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x2 + x + 7, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.
Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu.
Xét m # 0, để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0
⇔ 1 – m > 0 ⇔ m < 1.
Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị.
Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba [bậc cao nhất] có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.
Bài tập 6: Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx3 – 3mx2 – [m – 1] x + 2 không có cực trị.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’ = 3mx2 – 6mx – m + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhận m = 0.
Xét m ≠ 0, hàm số không có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
⇔ ∆’ = 9m2 – 3m [1 – m] ≤ 0 ⇔ 12m2 – 3m ≤ 0 ⇔ .
Hợp cả hai trường hợp, khi thì hàm số không có cực trị.
Bài tập 7: Số giá trị nguyên của tham số m ∊ [-20; 20] để hàm số
A. 18
B. 17
C. 19
D. 16
Hướng dẫn giải
Chọn A.
y’ = [m – 1] x2 + 2[m2 – 4] x + [m2 – 9].
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu
⇔ [m – 1][m2 – 9] < 0 ⇔
Vậy m ∊ {-20; -19; …; -4; 2}, có 18 giá trị của m.
Bài tập 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx3 + m [m – 1] x2 – [m + 1] x -1 có hai điểm cực trị đối nhau?
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’= 3mx2 + 2m [m – 1] x – [m + 1].
Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm đối nhau
⇔
Bài tập 9: Giá trị của m để đồ thị hàm số
A .
B.
C. m < 0
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx2 + 2 [m – 1] x + m + 2.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương
⇔
Bài tập 10: Cho hàm số y = x3 + [1 – 2m] x2 + [2 – m] x +m + 2. Các giá trị của m để đồ thì của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 + 2 [1 – 2m] x + 2 – m.
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = [1 – 2m]2 – 3 [2 – m] > 0 ⇔ 4m2 – m – 5 > 0 ⇔
Khi đó, giả sử x1, x2 [với x1 < x2] là hai nghiệm của phương trình y’ = 0.
Bảng biến thiên
Khi đó, yêu càu bài toán trở thành:
x2 < 1 ⇔
⇔
Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và
Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:
Xét x1 < x2 < 1
⇔
⇔
⇔
Bài tập 11: Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 + x2 + mx – 1 nằm bên phải trục tung.
A. m < 0
B.
C.
D. Không tồn tại
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 + 2x + m.
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = 1 – 3m > 0 ⇔ [1].
Khi đó, giả sử x1, x2 [với x1 < x2] là nghiệm của phương trình y’ = 0 thì
Bảng biến thiên
Do
⇔ x1 x2 < 0 ⇔
Từ [1], [2] ta có m < 0.
Bài tập 12: Giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn yêu cầu x1 < -2 < x2 là
A. m < 2
B. m < 2 hoặc m > 6
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: y’ = x2 – 2 [m – 2] x + [4m – 8].
Yêu cầu bài toán trở thành
[x1 + 2] [x2+2] < 0 ⇔ [4m – 8] + 4 [m – 2] + 4 < 0 ⇔ .
Bài tập 13: Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y = [x – m] [x2 – 2x – m – 1] có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn
A. 2
B. -2
C. 4
D. 0
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x2 – 2 [m + 2] x + m – 1.
Hàm số có hai điểm cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = m2 + m + 7 > 0 [luôn đúng].
Theo định lí Vi-ét ta có:
Vậy tổng cần tìm bằng 4 + [-2] = 2.
Cách giải bất phương trình mũ
#1. Đưa về cùng cơ số
#2. Đặt ẩn phụ
αa2f[x] + βaf[x] + λ = 0. Đặt t = a f[x], [t > 0]