Cho số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| {z + 1 i} \right| = \left| {z 1 + 2i} \right|\]. Biết modul của số phức \[{\rm{w}} = \left[ {3 + 4i} \right]z 5 + 10i\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[\frac{{a\sqrt b }}{c}\], với \[a,b,c\] là các số nguyên dương và \[b\]là số nguyên tố. Khi đó tổng \[a + 2b + 3c\] bằng
A. \[129\].
B. \[180\].
C. \[64\]
D. \[25\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \[z = x + yi\], với \[x,y \in \mathbb{R}\].
Từ giả thiết ta có: \[\sqrt {{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + {{\left[ {y 1} \right]}^2}} = \sqrt {{{\left[ {x 1} \right]}^2} + {{\left[ {y + 2} \right]}^2}} \] \[ \Leftrightarrow \] \[4x 6y = 3\]\[\left[ * \right]\].
Mặt khác, \[\left| {\rm{w}} \right| = \left| {\left[ {3 + 4i} \right]z 5 + 10i} \right| = \left| {3 + 4i} \right|\left| {z \frac{{5 10i}}{{3 + 4i}}} \right|\]\[ = \]\[5\left| {z + 1 + 2i} \right|\] \[ = \] \[5\sqrt {{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + {{\left[ {y + 2} \right]}^2}} \].
Từ \[\left[ * \right]\] ta suy ra \[x = \frac{{3 + 6y}}{4}\] thế vào \[\left| {\rm{w}} \right|\] ta được: \[\left| {\rm{w}} \right| = 5\sqrt {\frac{{{{\left[ {6y + 7} \right]}^2}}}{{16}} + {{\left[ {y + 2} \right]}^2}} = \frac{5}{4}\sqrt {52{y^2} + 148y + 113} \]\[ = \] \[\frac{5}{4}\sqrt {13{{\left[ {2y + \frac{{37}}{{13}}} \right]}^2} + \frac{{100}}{{13}}} \] \[ \ge \]\[\frac{{25\sqrt {13} }}{{26}}\].
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[\left| {\rm{w}} \right|\] bằng \[\frac{{25\sqrt {13} }}{{26}}\] đạt được khi \[y = \frac{{37}}{{26}}\] và \[x = \frac{{18}}{{13}}\].
Khi đó \[a = 25,b = 13,c = 26\] nên \[a + 2b + 3c = 129\].
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia