- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b \ne c \ne d} \right]\].
- Vì \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}}\\{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}\end{array}} \right.\].
- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left[ {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b \ne c \ne d} \right]\].
Vì \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}}\\{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}\end{array}} \right.\].
+ TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \] \[ \Rightarrow a + b + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3\].
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \[\left\{ {1;2;3} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {1;3;5} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {2;3;4} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {3;4;5} \right\}\].
⇒ có \[4.3! = 24\] cách chọn \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\].
⇒ Có 24 số thỏa mãn.
TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \] \[ \Rightarrow a + b + c + 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3\] \[ \Rightarrow a + b + c\] chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \[\left\{ {0;1;3} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {1;2;4} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {0;3;4} \right\}\].
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} \,\,\left[ {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right]\].
Vì \[\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,15\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\\\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\].
+ TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \] \[ \Rightarrow a + b + c\,\, \vdots \,\,3\].
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \[\left\{ {1;2;3} \right\};\,\,\left\{ {1;3;5} \right\};\,\,\left\{ {2;3;4} \right\};\,\,\left\{ {3;4;5} \right\}\].
\[ \Rightarrow \] có \[4.3! = 24\] cách chọn \[a,\,\,b,\,\,c\].
\[ \Rightarrow \] Có 24 số thỏa mãn.
TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \] \[ \Rightarrow a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\] \[ \Rightarrow a + b + c\] chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \[\left\{ {0;1;3} \right\};\,\,\left\{ {1;2;4} \right\};\,\,\left\{ {0;3;4} \right\}\].
Phương pháp giải:
Sử dụng hai qui tắc đếm cơ bản
Lời giải chi tiết:
Gọi số cần tìm là \[\overline {abcd} \left[ {a \ne 0,0 \le a,b,c,d \le 9,a,b,c,d \in N} \right]\]
Theo bài ra ta có \[\overline {abcd} \le 2020\]
+] TH1 : \[a = 1\]
\[b\] có 9 cách chọn
\[c\] có 8 cách chọn
\[d\] có 7 cách chọn
Nên có \[9.8.7 = 504\] số
+]TH2 : \[a = 2\] suy ra \[b = 0\], \[c = 1\] và \[d\] có \[7\] cách chọn
Nên có \[7\] số thỏa mãn.
Vậy có tất cả \[504 + 7 = 511\] số.
Chọn D.