Bạn có bài tập chứng minh tứ giác là hình vuông nhưng bạn không biết cách chứng minh như thế nào? Bởi bạn không nhớ được dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông. Sau đây, điện máy Ebest sẽ chia sẻ lý thuyết định nghĩa hình vuông là gì? Dấu hiệu nhận biết, tính chất hình vuông và cách chứng minh hình vuông chi tiết trong bài viết dưới đây để các bạn cùng tham khảo
Hình vuông là gì?
Hình vuông là hình tứ giác đều có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau [4 góc vuông]. Có thể coi hình vuông là hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau hoặc là hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.
Tính chất hình vuông
Trong một hình vuông có:
- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và giao nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Có 2 cặp cạnh song song.
- Có 4 cạnh bằng nhau.
- Có một đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đồng thời tâm của cả hai đường tròn trùng nhau và là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông.
- 1 đường chéo sẽ chia hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau.
- Giao điểm của các đường phân giác, trung tuyến, trung trực đều trùng tại một điểm.
- Có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Một hình tứ giác là một hình vuông nếu như và chỉ nếu như nó là một trong những hình sau:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.
- Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc.
- Hình thoi có một góc vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
- Hình bình hành có một góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau.
Tham khảo thêm:
Bài tập chứng minh hình vuông
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A [D ∈ BC ]. Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.
Lời giải
+ Xét tứ giác AEDF có A∧ = E∧ = F∧ = 900
⇒ AEDF là hình chữ nhật . [1]
Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của góc Aˆ
⇒ EAD∧ = DAF∧ = 450.
+ Xét Δ AED có AED∧ = 900; DAE∧ = 450 ⇒ EDA∧ = 450
⇒ Δ AED vuông cân tại E nên AE = ED [2]
Từ [ 1 ],[ 2 ] ⇒ AEDF là hình vuông
Ví dụ 2: Tìm các hình vuông trên hình 105.
Lời giải
– ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ ABCD là hình bình hành
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật
Hình chữ nhật ABCD có AB = BC ⇒ ABCD là hình vuông
– MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau ⇒ MNPQ là hình chữ nhật
Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O ⇒ MNPQ là hình vuông
– RSTU có 4 cạnh bằng nhau ⇒ RSTU là hình thoi
Hình thoi RSTU có một góc vuông ⇒ RSTU là hình vuông
Ví dụ 3: Cho hình 107, trong đó ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình vuông.
Lời giải:
Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.
Theo giả thiết ta có: AE = BF = CG = DH nên ta có:
AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH
⇔ BE = CF= DG = HA
Xét các tam giác vuông AEH, BFE, CGF, DHG có:
AE= BF = CG = DH [giả thiết]
HA= BE = CF = DG [chứng minh trên]
⇒ ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG [ c.g.c]
Suy ra: HE = EF = FG = GH [các cạnh tương ứng]
Tứ giác EFGH là hình thoi có 1 góc bằng 90o nên EFGH là hình vuông
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC.
a] Chứng minh rằng BI ⊥ AK.
b] Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.
Lời giải
Xét Δ BAI và Δ ADK có:
⇒ Δ BAI = Δ ADK [c – g – c]
⇒ ABIˆ = DAKˆ [góc tương ứng bằng nhau]
Mà IAEˆ + EABˆ = 900 ⇒ ABIˆ + EABˆ = 900
+ Xét Δ ABE có EABˆ + ABEˆ + AEBˆ = 1800
⇒ AEBˆ = 1800 – [ABEˆ + BAEˆ] = 1800 – 900 = 900 hay AK ⊥ BI [đpcm]
+ Xét tứ giác EBCK có KEBˆ + EBCˆ + BCKˆ+ CKEˆ = 3600
⇒ EBCˆ + EKCˆ = 1800.
Mà AKDˆ + AKCˆ = 1800 nên EBCˆ = EKDˆ
+ Tứ giác EBCK nội tiếp nên BECˆ = BKCˆ
Mà BKCˆ = AKDˆ nên EBCˆ = BECˆ hay tam giác BEC cân tại C
⇒ CE = BC = AB [đpcm]
Ví dụ 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung diểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a] Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b] Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?
a] E, F là trung điểm AB, CD ⇒ AE = EB = AB/2, DF = FC = CD/2.
Ta có: AB = CD = 2AD = 2BC
⇒ AE = EB = BC = CF = FD = DA.
+ Tứ giác ADFE có AE // DF, AE = DF
⇒ ADFE là hình bình hành.
Hình bình hành ADFE có Â = 90º
⇒ ADFE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật ADFE là hình chữ nhật có AE= AD
⇒ ADFE là hình vuông.
b] Tứ giác DEBF có EB // DF, EB = DF nên là hình bình hành
Do đó DE // BF
Tương tự: AF // EC
Suy ra EMFN là hình bình hành
Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF, ME ⊥ MF.
Hình bình hành EMFN có M̂ = 90º nên là hình chữ nhật.
Lại có ME = MF nên EMFN là hình vuông.
Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết về định nghĩa, dấu hiệu nhận biết và tính chất hình vuông có thể giúp các bạn vận dụng vào làm bài tập đơn giản nhé
Hình học là một lĩnh vực quan trọng ở trường và được áp dụng rất nhiều trong những công trình hiện nay. Bên cạnh Tam giác, Tứ giác, Hình chữ nhật,… thì các bài toán về Hình bình hành cũng xuất hiện khá nhiều trong chương trình cấp Trung học cơ sở và Trung học phổ thông. Chính vì vậy, Gia Sư Việt sẽ đem đến bài học: Khái niệm, tính chất và cách chứng minh tứ giác là hình bình hành. Từ đó, các bạn nhanh chóng tiếp thu kiến thức và giải bài tập hiệu quả hơn.
I. Khái niệm về Hình bình hành
Hình bình hành là Tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
Từ khái niệm trên ta có: Tứ giác ABCD là Hình bình hành ⇔ AB // CD và AD // BC
Nhận xét: Hình bình hành là một hình thang có hai cạnh bên song song [ Hình bình hành là một dạng đặc biệt của hình thang ].
II. Tính chất của Hình bình hành
– Tính chất 1: Trong Hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => AB = CD và AD = BC
– Tính chất 2: Trong hình bình hành, các góc đối bằng nhau.
Cho Hình bình hành ABCD => Góc A = C; Góc B = D
– Tính chất 3: Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cho Hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O => OA = OC và OB = OD
III. Các cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành
Cách 1: Tứ giác có các cạnh đối song song
Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Ta có:
EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên EF // AC [1]
Tương tự, HG là đường trung bình của tam giác ACD, nên HG // AC [2]
Từ [1] và [2] suy ra HG // EF
Tiếp theo:
FG là đường trung bình của tam giác CBD, nên FG // BD [3]
Tương tự, HE là đường trung bình của tam giác ABD, nên HE // BD [4]
Từ [3] và [4] suy ra HE // FG
Xét tứ giác EFGH có:
HG // EF và HE // FG;
Vậy Tứ giác EFGH là Hình bình hành do các cạnh đối song song. [ đpcm]
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD [AB > BC]. Tia phân giác góc D cắt AB ở E, tia phân giác góc B cắt CD ở F. Chứng minh DEBF là hình bình hành.
Ta có:
Góc B1 = D1 do đều bằng một ½ của hai góc bằng nhau B và D trong hình bình hành ABCD
AB // CD [ABCD là hình bình hành] => Góc B1 = F1 [so le trong]
Mà hai góc này lại ở vị trí đồng vị => DE // BF
Xét tứ giác DEBF có:
DE // BF [chứng minh trên]
BE // DF [ do AB // CD]
Vậy Tứ giác DEBF là Hình bình hành do các cạnh đối song song. [ đpcm]
Cách 2: Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Ví dụ 3: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆CDA. Chứng minh rằng ABCD là Hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆CDA => AD = BC và AB = CD
=> ABCD là hình bình hành dó có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Cách 3: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.
Ta có:
ABCD là hình bình hành => AD // BC và AD = BC
AD // BC => DE // BF [1]
E là trung điểm AD => DE = AD/2
F là trung điểm BC => BF = BC/2
Mà AD = BC [ABCD là hình bình hành]
DE = BF [2]
Từ [1] và [2] => Tứ giác DEBF là hình bình hành do có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Cách 4: Tứ giác có các góc đối bằng nhau
Ví dụ 5: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆ ADC và ∆BAD = ∆BCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Theo bài ra, ta có:
∆ABC = ∆ADC => Góc ABC = Góc ADC [1]
∆BAD = ∆BCD => Góc BAD = Góc BCD [2]
Từ [1] và [2] suy ra Tứ giác ABCD là hình bình hành do các góc đối bằng nhau.
Cách 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại mỗi trung điểm mỗi đường
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.
Ta có:
OA = OC [tính chất hình bình hành] [1]
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
Góc AEO = Góc CFO = 90°
OA = OC
Góc AOE = Góc COF [đối đỉnh]
Suy ra, ∆AEO = ∆CFO [cạnh huyền – góc nhọn] => OE = OF [2]
Từ [1] và [2] suy ra Tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường chéo BD cắt AK, AI lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: AK // CI và DM = MN = NB
Ta có:
AB // CD và AB = CD [ do ABCD là hình bình hành]
I, K lần lượt là trung điểm AB, DC => AI=IB và DK = KC
Tứ giác AICK có cặp cạnh đối song song và bằng nhau [AI và KC] nên AICK là Hình bình hành nên AK // CI [điều phải chứng minh]
Tiếp theo ta có:
AM // IN và MK // NC
Xét tam giác AMB có:
AM // IN
AI = BI [I là trung điểm AB]
IN là đường trung bình của tam giác AMB
N là trung điểm MB => MN = NB [1]
Tương tự, xét tam giác DNC có:
MK // NC
DK = CK [K là trung điểm DC]
MK là đường trung bình của tam giác DNC
M là trung điểm DN => DM = NM [2]
Từ [1] và [2] suy ra DM = MN = NB [điều phải chứng minh].
Lời kết: Vừa rồi là bài viết về khái niệm, tính chất và cách chứng minh Tứ giác là Hình bình hành với các ví dụ, bài tập thường gặp. Đây là mảng kiến thức tuy cơ bản nhưng sẽ giúp ích rất nhiều cho học sinh khi làm bài không chỉ với Hình bình hành, mà còn liên quan đến các nội dung khác trong môn Hình. Các em hãy luôn đồng hành cùng Gia Sư Việt để nắm được nhiều kiến thức và bài tập hơn nhé!
Tham khảo thêm:
♦ Giáp pháp khắc phục tình trạng “mất gốc Hóa” hiệu quả nhất
♦ Phương pháp học 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ hiệu quả nhất
♦ Định nghĩa, tính chất & cách chứng minh các Tam giác đặc biệt