Giải bài tập Toán Hình 12 trang 91 92

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 2 trang 91 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 3 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 4 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 5 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 6 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 7 trang 92 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 8 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 9 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 10 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 11 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 12 trang 93 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 1 trang 94 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 2 trang 94 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 3 trang 94 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 4 trang 94 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 5 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 6 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 7 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 8 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 9 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 10 trang 95 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 11 trang 96 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 12 trang 96 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 13 trang 96 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 14 trang 97 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Giải bài 15 trang 97 SGK Hình học 12

Đề bài:

Lời giải:

Sau nội dung Giải bài tập trang 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97 SGK Hình học 12, Ôn tập chương III - Phương pháp toạ độ trong không gian, các em có thể xem tiếp Giải Toán 12 trang 99, 100, 101, 102 SGK Hình học hoặc xem lại bạn Giải toán lớp 12 trang 89, 90, 91 SGK Hình Học để học tốt Toán 12 hơn.

Các em cùng ôn luyện lại các kiến thức hình học chương III qua phần Giải bài tập trang 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97 SGK Hình học 12 với các dạng bài cơ bản, quen thuộc như chứng minh, tính toán, xác định tọa độ, lập phương trình.

Giải toán lớp 6 tập 1 trang 38, 39 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 Giải bài tập trang 93, 94 SGK Hình học 10 Giải toán lớp 6 tập 1 trang 91, 92, 93 nhân hai số nguyên cùng dấu Giải toán lớp 6 tập 2 trang 91, 92, 93 Đường tròn Giải bài tập trang 92, 93, 94 SGK Toán 3 Tập 2, sách Cánh Diều Giải bài tập trang 95, 96, 97 SGK Toán 3 Tập 2, sách Cánh Diều

Cho bốn điểm \[A\left[ 1;0;0 \right],B\left[ 0;1;0 \right],C\left[ 0;0;1 \right],D\left[ -2;1;-1 \right]\]

a] Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b] Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c] Tính độ dài đường cao của hình chóp.

Gợi ý: 

a] Chứng minh \[\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right].\overrightarrow{AC}\ne 0\], suy ta bốn điểm không đồng phẳng.

b] Vận dụng công thức \[\cos \left[ AB,CD \right]=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\].

c] Khoảng cách từ A đến [BCD] là độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

a] Ta có \[\overrightarrow{AB}=\left[ -1;0;0 \right],\overrightarrow{AC}=\left[ -1;0;1 \right],\overrightarrow{CD}=\left[ -2;1;-2 \right]\]

\[\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=\left[ -2;-2;1 \right]\]

\[\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right].\overrightarrow{AC}=\left[ -2 \right].\left[ -1 \right]+\left[ -2 \right].0+1.1=3\ne 0\]

Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b] \[\cos \left[ AB,CD \right]=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}=\dfrac{\left| 2+1+0 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{9}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\]

\[\Rightarrow \left[ AB,CD \right]={{45}^{o}}\]

c] Ta có \[\overrightarrow{BC}=\left[ 0;-1;1 \right],\overrightarrow{BD}=\left[ -2;0;-1 \right]\]

Mặt phẳng [BCD] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow{{{n}_{\left[ BCD \right]}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=\left[ 1;-2;-2 \right]\]

Phương trình mặt phẳng [BCD] có dạng 

\[x-2\left[ y-1 \right]-2z=0 \\ \Leftrightarrow x-2y-2z+2=0 \]

Khoảng cách từ A đến [BCD] là độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

Suy ra \[d\left[ A,\left[ BCD \right] \right]=\dfrac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=1\]

Vậy độ dài đường cao của hình chóp bằng 1.

Cho mặt cầu [S] có đường kính AB biết rằng \[A\left[ 6;2;-5 \right],B\left[ -4;0;7 \right]\]

a] Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu [S].

b] Lập phương trình mặt cầu [S].

c] Lập phương trình mặt phẳng  tiếp xúc với mặt cầu [S] tại điểm A.

a] Mặt cầu [S] có tâm là trung điểm của AB và bán kính \[r=\dfrac{AB}{2}\].

Ta có \[I\left[ 1;1;1 \right]\]

 

\[\overrightarrow{AB}=\left[ -10;-2;12 \right]\\ \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{10}^{2}}+{{2}^{2}}+{{12}^{2}}}=2\sqrt{62} \\ \Rightarrow r=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{62} \]

 

b] Phương trình chính tắc của mặt cầu [S] là

 

 \[{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=62 \]

 

c] Ta có \[\overrightarrow{IA}=\left[ 5;1;-6 \right]\]

 

Mặt phẳng tiếp xúc với [S] tại A nhận \[\overrightarrow{IA}\] là vectơ pháp tuyến và đi qua A có dạng

 

\[5\left[ x-6 \right]+y-2-6\left[ z+5 \right]=0 \\ \Leftrightarrow 5x+y-6z-62=0 \]

 

Ghi nhớ:

Tọa độ tâm I của đoạn thẳng AB trong không gian là: \[\left[\dfrac{x_A+x_B} 2; \dfrac{y_A+y_B} 2, \dfrac{z_A+z_B} 2 \right]\]

Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm \[I [a, b, c]\] và bán kính R là: \[[x-a]^2+[y-b]^2+[z-c]^2=R^2\]

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hệ toạ độ \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A[ 1 ; 0 ; 0 ], B[ 0 ; 1 ; 0 ], C[ 0 ; 0 ; 1 ], D[ -2 ; 1 ; -1]\]

LG a

a] Chứng minh \[A, B, C, D\] là bốn đỉnh của một tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện tức là chứng minh 4 điểm này không đồng phẳng

Bằng cách viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\] [ dạng đoạn chắn] rồi chứng minh \[D \notin \left[ {ABC} \right]\].

Lời giải chi tiết:

Viết phương trình mặt phẳng \[[ABC]\]: Theo phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có:

\[[ABC]\]: \[{x \over 1} + {y \over 1} + {z \over 1} = 1 \] \[\Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\]

Thế các toạ độ của \[D\] vào vế phải của phương trình mặt phẳng \[[ABC]\], ta có: \[-2 + 1 - 1 - 1 = -3 ≠ 0\]

Vậy \[D ∉ [ABC]\] hay bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng, suy ra \[A, B, C, D\] là bốn đỉnh của 1 tứ diện.

Cách khác:

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = [ - 1;1;0];\;\;\overrightarrow {CD} = \left[ { - 2;1; - 2} \right];\;\;\overrightarrow {AC} = \left[ { - 1;0;1} \right]\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left[ {1;1;1} \right]\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} } \right].\;\overrightarrow {CD} \; = [ - 2].1 + 1.1 + [ - 2].1 = - 3

\end{array}\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AC} ;\;\overrightarrow {CD} \;\] không đồng phẳng.

\[ \Rightarrow A, B, C, D\] không đồng phẳng

\[ \Rightarrow A, B, C, D\] là 4 đỉnh của hình tứ diện

LG b

b] Tìm góc giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].

Phương pháp giải:

Gọi \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[AB, CD\] ta có: \[\cos α =\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|\].

\[\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\]

Lời giải chi tiết:

Gọi \[\displaystyle α\] là góc giữa hai đường thẳng \[\displaystyle AB, CD\] ta có:

\[\displaystyle \cos α =\left| {\cos \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|\]

\[\displaystyle \cos \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] \] \[\displaystyle = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}\]

Ta có: \[\displaystyle \overrightarrow {AB}  = [ - 1,1,0]\], \[\displaystyle \overrightarrow {CD}  = [ - 2,1, - 2]\]

\[\displaystyle \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}= [-1].[-2] + 1.1 + 0.[-2] = 3\]

\[\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{[ - 1]}^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2 \]

\[\displaystyle \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{[ - 2]}^2} + {1^2} + {{[ - 2]}^2}} = 3\]

\[\displaystyle \Rightarrow \cos [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] = {3 \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \] \[\Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ] =  45^0\] \[\displaystyle  \Rightarrow  α = 45^0\]

LG c

c] Tính độ dài đường cao của hình chóp \[A.BCD\].

Phương pháp giải:

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD bằng \[d\left[ {A;\left[ {BCD} \right]} \right]\].

+] Viết phương trình mặt phẳng [BCD].

+] Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,\,Ax + By + Cz + D = 0\] là: \[d\left[ {M;\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có \[\displaystyle \overrightarrow {BC}  = [0; - 1;1],\] \[\displaystyle \overrightarrow {BD}  = [ - 2;0; - 1]\]

Gọi \[\displaystyle \overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của \[\displaystyle [BCD]\] thì: 

\[\displaystyle \overrightarrow n_{[BCD]}  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] \] \[\displaystyle = [1; -2; -2]\]

Phương trình mặt phẳng \[\displaystyle [BCD]\]:

\[\displaystyle 1[x - 0] - 2[y - 1] - 2[ z - 0] = 0\]

\[\displaystyle \Leftrightarrow  x - 2y - 2z + 2 = 0\]

Chiều cao của hình chóp \[\displaystyle A.BCD\] bằng khoảng cách từ điểm \[\displaystyle A\] đến mặt phẳng \[\displaystyle [BCD]\]:

\[\displaystyle h = d[A,[BCD]] = {{\left| {1 + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {[-2]^2} + {{[ - 2]}^2}} }}\] \[\displaystyle = {3 \over 3} = 1\]

Loigiaihay.com