Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\] , cho \[A\left[ {a;0;0} \right],B\left[ {0;b;0} \right];\] \[C\left[ {0;0;c} \right],\left[ {abc \ne 0} \right]\]. Khi đó phương trình mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] là:
A.\[\frac{x}{c} + \frac{y}{b} + \frac{z}{a} = 1\]
B. \[\frac{x}{b} + \frac{y}{a} + \frac{z}{c} = 1\]
C. \[\frac{x}{a} + \frac{y}{c} + \frac{z}{b} = 1\]
D. \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]
Câu 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[[\alpha ]:\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + 3z - \,\,2020\,\, = \,\,0;\] đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{1 - \,\,y}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\,\, + \,\,3}}{3}\]. Góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[[\alpha ]\] là:
A. \[60^\circ .\] B. \[45^\circ .\]
C. \[30^\circ .\] D. \[90^\circ .\]
Câu 3. Phương trình \[{z^2} + az + b = 0\] có một nghiệm phức là \[z = 1 + 2i\]. Tổng 2 số \[a\]và \[b\] bằng:
A. \[ - 3\] B. 3
C. \[ - 4\] D. \[0\]
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1\] đồng biến trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\]?
A. \[m \le 0\]. B. \[m \le 12\].
C. \[m \ge 0\]. D. \[m \ge 12\].
Câu 5. Cho vectơ \[\overrightarrow a = \left[ {1;3;4} \right]\], tìm vectơ \[\overrightarrow b \] cùng phương với vectơ \[\overrightarrow a \]
A. \[\overrightarrow b = \left[ { - 2;6;8} \right].\]
B. \[\overrightarrow b = \left[ {2; - 6; - 8} \right].\]
C. \[\overrightarrow b = \left[ { - 2; - 6; - 8} \right].\]
D. \[\overrightarrow b = \left[ { - 2; - 6;8} \right].\]
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giởi hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3} - x\] và đồ thị hàm số \[y = {x^2} - x\]
A. \[\frac{1}{{12}}\] B. \[\frac{1}{8}\]
C. \[\frac{1}{4}\] D. \[\frac{1}{{16}}\]
Câu 7. Cho các điểm \[I\left[ {1;1; - 2} \right]\] và đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\]. Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\]có tâm \[I\] và cắt đường thẳng \[d\] tại hai điểm \[A,B\] sao cho tam giác \[IAB\] vuông là:
A. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 9.\]
B. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 36.\]
C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 3.\]
D. \[{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y + 1} \right]^2} + {\left[ {z - 2} \right]^2} = 9.\]
Câu 8. Cho số phức \[z\] thỏa \[z = 2i - 2\]. Môđun của số phức \[{z^{2016}}\] là:
A. \[{2^{3024}}\]. B. \[{2^{4032}}\].
C. \[{2^{6048}}\] D. \[{2^{2016}}\].
Câu 9. Giả sử hàm số \[f[x]\] xác định và liên tục trên đoạn \[[0;1]\] thỏa mãn \[f'[x] = f'[1 - x],\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]. Biết \[f[0] = 1;f[1] = 41\], giá trị của tích phân \[\int\limits_0^1 {f[x]dx} \] là
A. \[42\]. B. \[\sqrt {41} \].
C. \[21\]. D. \[40\].
Câu 10. Cho một mặt cầu có diện tích là \[S\], thể tích khối cầu đó là \[V\]. Tính bán kính \[R\] của mặt cầu.
A. \[R = \frac{{4V}}{S}\]. B. \[R = \frac{V}{{3S}}\]
C. \[R = \frac{{3V}}{S}\]. D. \[R = \frac{S}{{3V}}\]
Câu 11. Giả sử hàm số \[f\] liên tục trên đoạn \[[0;2]\] thỏa mãn \[\int\limits_0^2 {f[x]dx} = 6\]. Giá trị của tích phân \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left[ {2\sin x} \right]\cos xdx} \]là
A. \[ - 3\]. B. \[3\].
C. \[ - 6\]. D. \[6\].
Câu 12. Gọi \[A\] là điểm biểu diễn số phức \[z\], \[B\] là điểm biểu diễn số phức \[-z \]. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?
A. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.
B. A và B trùng gốc tọa độ khi \[z=0\].
C. A và B đối xứng qua gốc tọa độ.
D. Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.
Câu 13. Cho hàm số \[\left[ C \right]\;:\;y = {x^3} + 3{x^2}\]. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \[\left[ C \right]\] tại điểm \[M\left[ {1;4} \right]\] là
A. \[y = 9x + 5.\]
B. \[y = - 9x - 5.\]
C. \[y = 9x - 5.\]
D. \[y = - 9x + 5.\]
Câu 14. Thể tích khối tam diện vuông \[O.ABC\] vuông tại \[O\] có \[OA = a,{\rm{ }}OB = OC = 2a\] là
A. \[2{a^3}\]. B. \[\frac{{{a^3}}}{2} \cdot \]
C. \[\frac{{{a^3}}}{6} \cdot \] D. \[\frac{{2{a^3}}}{3}\]
Câu 15. Tích vô hướng của hai vectơ \[\overrightarrow a = \left[ { - 2;2;5} \right],\,\overrightarrow b = \left[ {0;1;2} \right]\] trong không gian bằng
A. \[12\]. B. \[14\].
C. \[10\]. D. \[13\].
Câu 16. Tập xác định của \[f\left[ x \right] = \sqrt {{{\log }_2}\left[ {3x + 4} \right]} \] là?
A. \[D = \left[ { - 1; + \infty } \right]\]
B. \[D = \left[ { - \frac{4}{3}; + \infty } \right]\]
C. \[D = \left[ { - 1; + \infty } \right]\]
D. \[D = \left[ {1; + \infty } \right]\]
Câu 17. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\] trên đoạn \[\left[ { - 4;0} \right]\] lần lượt là M và m. Giá trị của tổng \[M + m\] bằng bao nhiêu?
A. \[M + m = \frac{4}{3}\].
B. \[M + m = - \frac{{28}}{3}\].
C. \[M + m = - 4\].
D. \[M + m = - \frac{4}{3}\].
Câu 18. Phần thực của \[z = \left[ {2 + 3i} \right]i\] là
A. \[3\] B. \[ - 2\].
C. \[ - 3\]. D. \[2\]
Câu 19. Trong mặt phẳng phức \[Oxy\], các số phức \[z\] thỏa \[\left| {z - 5i} \right| \le 3\]. Nếu số phức \[z\] có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu ?
A. \[2\]. B. \[4\].
C. \[0\]. D. \[3\]
Câu 20. Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \[v[t] = - 6t + 12\,\,[m/s]\], trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?
A. \[6m\] B. \[0,4\,\,m\]
C. \[24\,\,m\] D. \[12\,m\]
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]đi qua điểm \[M\left[ {1;2;3} \right]\] và cắt các trục \[Ox,Oy,Oz\]lần lượt tại \[A\],\[B\],\[C\] [ khác gốc toạ độ \[O\]] sao cho \[M\] là trực tâm tam giác \[ABC\]. Mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]có phương trình là:
A. \[3x + 2y + z - 10 = 0\].
B. \[x + 2y + 3z + 14 = 0\].
C. \[x + 2y + 3z - 14 = 0\].
D. \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} - 1 = 0\].
Câu 22. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \[a\]. Tính diện tích xung quanh của hình nón.
A. \[\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\]. B. \[\pi {a^2}\sqrt 2 \]
C. \[\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\]. D. \[\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}\]
Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \[y = \left\{ \begin{array}{l} - x{\text{ nếu } }x \le 1\\x - 2{{\text{ nếu } } }x > 1\end{array} \right.\] và \[y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}\] là \[\frac{a}{b}\]. Khi đó \[a + 2b\] bằng
A. \[15\] B. \[17\]
C. \[18\] D. \[16\]
Câu 24. Trong không gian \[Oxyz\] cho hai vectơ \[\overrightarrow u \] và \[\overrightarrow v \], khi đó \[\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right|\] bằng
A. \[\overrightarrow u .\overrightarrow v .cos\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\]
B. \[\overrightarrow u .\overrightarrow v .\sin \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\]
C. \[\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\]
D. \[\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.cos\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\]
Câu 25. Phương trình \[{3^{1 - x}} = 2 + {\left[ {\frac{1}{9}} \right]^x}\]có bao nhiêu nghiệm âm?
A. \[1\] B. \[3\]
C. \[2\] D. \[0\]
Câu 26. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = a{x^2}\], \[y = bx\] \[\left[ {a,b \ne 0} \right]\] quay xung quanh trục \[Ox\]. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \[V = \pi .\frac{{{b^3}}}{{{a^3}}}\left[ {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right]\]
B. \[V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}}\]
C. \[V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}\].
D. \[V = \pi .\frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left[ {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right]\]
Câu 27. Hàm số \[f\left[ x \right] = 2\ln \left[ {x + 1} \right] - {x^2} + x\] đạt giá trị lớn nhất tại giá trị của x bằng:
A. \[0\] B. \[2\]
C. \[1\] D. \[e\]
Câu 28. Phương trình mặt cầu tâm \[I\left[ {1; - 2;3} \right]\] và tiếp xúc với trục \[Oy\] là:
A. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 8.\]
B. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 10.\]
C. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 9.\]
D. \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 16.\]
Câu 29. Cho hai điểm \[A,B\] phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua \[A\] và \[B\] là
A. trung điểm của đoạn thẳng \[AB\].
B. đường thẳng trung trực của \[AB\].
C. mặt phẳng song song với đường thẳng \[AB\].
D. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\].
Câu 30. Cho đồ thị hàm số \[y = f[x]\]. Diện tích hình phẳng [phần tô đậm trong hình] là
A. \[S = \int\limits_{ - 2}^0 {f[x]dx - } \int\limits_0^1 {f[x]dx} \]
B. \[S = \int\limits_{ - 2}^1 {f[x]dx} \]
C. \[S = \int\limits_0^{ - 2} {f[x]dx + } \int\limits_0^1 {f[x]dx} \]
D. \[S = \int\limits_{ - 2}^0 {f[x]dx + } \int\limits_0^1 {f[x]dx} \]
Câu 31. Cho hàm số \[f[x]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và số thực dương \[a\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?
A. \[\int\limits_a^a {f[x]dx} = f[a]\].
B. \[\int\limits_a^a {f\left[ x \right]dx} = 1\].
C. \[\int\limits_a^a {f[x]dx} = - 1\].
D. \[\int\limits_a^a {f[x]dx} = 0\].
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxy\] cho mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 9\]. Phương trình đường thẳng \[d\] đi qua tâm của mặt cầu \[\left[ S \right]\], song song với \[\left[ \alpha \right]:2x + 2y - z - 4 = 0\] và vuông góc với đường thẳng \[\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 6}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\] là.
A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - 5t\\z = - 3 - 8t\end{array} \right..\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 - 5t\\z = 3 - 8t\end{array} \right.\,.\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 5t\\z = 3 + 8t\end{array} \right..\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 5t\\z = 3 - 8t\end{array} \right..\]
Câu 33. Cho đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai cực trị.
B. Hàm số đồng biến trong khoảng \[\left[ { - \infty ; + \infty } \right]\].
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \[x = - 1\], tiệm cận ngang \[y = 2\].
D. Hàm số nghịch biến trong khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\].
Câu 34. Cho số phức \[z = 6 + 7i\]. Số phức liên hợp của \[z\] là
A. \[\overline z = - 6 + 7i\]. B. \[\overline z = 6 - 7i\].
C. \[\overline z = 6 + 7i\]. D. \[\overline z = - 6 - 7i\].
Câu 35. Tính khoảng cách từ điểm \[B\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:y + 1 = 0\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. \[\frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}.\] B. \[\left| {{y_0} + 1} \right|.\]
C. \[{y_0}.\] D. \[\left| {{y_0}} \right|.\]
Câu 36. Tập nghiệm của bất phương trình \[{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^x} > 32\] là:
A. \[\left[ {5; + \infty } \right]\].
B. \[\left[ { - \infty ; - 5} \right]\].
C. \[\left[ { - \infty ;5} \right]\].
D. \[\left[ { - 5; + \infty } \right]\].
Câu 37. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f[x],Ox,x = a,x = b\] quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A. \[V = \int\limits_a^b {{f^2}[x]dx.} \]
B. \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}[x]dx.} \]
C. \[V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {f[x]dx.} \]
D. \[V = \int\limits_a^b {{\pi ^2}{f^2}[x]dx.} \]
Câu 38. Tính tích phân \[I = \int\limits_0^{\ln 3} {x{e^x}dx} \]
A. \[I = 3\ln 3 - 3\]
B. \[I = 3\ln 3 - 2\]
C. \[I = 2 - 3\ln 3\]
D. \[I = 3 - 3\ln 3\]
Câu 39. Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left[ S \right]:\]\[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} + {\left[ {z - 3} \right]^2} = 9\], điểm \[A\left[ {0;0;2} \right]\]. Phương trình mặt phẳng \[\left[ P \right]\] đi qua \[A\] và cắt mặt cầu \[\left[ S \right]\] theo thiết diện là hình tròn \[\left[ C \right]\]có diện tích nhỏ nhất ?
A. \[\left[ P \right]:x + 2y + z - 2 = 0\].
B. \[\left[ P \right]:3x + 2y + 2z - 4 = 0\].
C. \[\left[ P \right]:x - 2y + 3z - 6 = 0\].
D. \[\left[ P \right]:x + 2y + 3z - 6 = 0\].
Câu 40. Cho hàm số \[f\] liên tục trên đoạn \[[0;3]\]. Nếu \[\int\limits_0^3 {f[x]dx} = 2\] thì tích phân \[\int\limits_0^3 {\left[ {x - 2f[x]} \right]dx} \] có giá trị bằng
A. \[7\]. B. \[\frac{5}{2}\].
C. \[5\]. D. \[\frac{1}{2}\].
Câu 41. Cho hai số phức \[{z_1} = 1 + i\] và \[{z_2} = - 5 + 2i\]. Tính môđun của số phức \[{z_1} + {z_2}\]
A. \[ - \sqrt 7 \]. B. \[5\]
C. \[ - 5\]. D. \[\sqrt 7 \].
Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn \[\int\limits_{ - 1}^1 {f[x]dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {f[x]dx} \]?
A. \[f[x] = x + 1\].
B. \[f[x] = {e^x}\].
C. \[f[x] = \cos x\].
D. \[f[x] = \sin x\].
Câu 43. Cho số phức \[z = a + ai\,\,\,\,\left[ {a \in \mathbb{R}} \right]\]. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng tọa độ là:
A. \[x = a\]. B. \[y = a\].
C. \[x + y = 0\]. D. \[y = x\].
Câu 44. Tích phân \[I = \int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} \] có giá trị bằng
A. \[\ln \frac{2}{5}\]. B. \[\frac{1}{3}\ln 3\].
C. \[3\ln 3\]. D. \[\ln \frac{5}{2}\].
Câu 45. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ?
A. \[{\left[ {x + y} \right]^2} = 2xy - {z^2} - 1.\]
B. \[{x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0.\]
C. \[2{x^2} + 2{y^2} = {\left[ {x + y} \right]^2} - {z^2} + 2x - 1.\]
D. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.\]
Câu 46. Đạo hàm của hàm số \[y = {\log _5}x,\,x > 0\]là:
A. \[y' = \frac{1}{{x\ln 5}}\]
B. \[y' = x\ln 5\]
C. \[y' = {5^x}\ln 5\]
D. \[y' = \frac{1}{{{5^x}\ln 5}}\]
Câu 47. Phần thực, phần ảo của số phức \[z\] thỏa mãn \[\overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\] lần lượt là
A. \[1;1\] B. \[1; - 2\].
C. \[1;2\]. D. \[1; - 1\].
Câu 48. Trong không gian với hệ trục toạ độ \[Oxyz,\] cho các điểm \[A\left[ {1;0;\,0} \right],\,B\left[ {0;b;\,0} \right],\,C\left[ {0;\,0;c} \right]\] trong đó \[b,\,c\] dương và mặt phẳng \[\left[ P \right]:\,y - \,z\, + 1\, = 0\]. Biết rằng \[mp\left[ {ABC} \right]\] vuông góc với \[mp\left[ P \right]\] và \[d\left[ {O,\,\left[ {ABC} \right]} \right]\, = \,\frac{1}{3}\], mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \[b + \,c = \,1.\]
B. \[2b + \,c = \,1.\]
C. \[b - 3\,c = \,1.\]
D. \[3b + \,c = \,3.\]
Câu 49. Số giao điểm của đồ thị hàm số \[y = \left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right]\] với trục \[Ox\] là
A. \[1\]. B. \[3.\]
C. \[0.\] D. \[2.\]
Câu 50. Trong không gian \[Oxyz\], tọa độ giao điểm M của đường thẳng \[d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]:3x + 5y - z - 2 = 0\] là
A. \[\left[ {0; - 2; - 3} \right]\] .
B. \[\left[ {0;2;3} \right]\].
C. \[\left[ {0;0; - 2} \right]\].
D. \[\left[ {0;0;2} \right]\] .
------- HẾT -------
ĐÁP ÁN
1D |
2D |
3B |
4D |
5C |
6A |
7B |
8A |
9C |
10C |
11B |
12A |
13C |
14D |
15A |
16A |
17B |
18C |
19A |
20D |
21C |
22A |
23B |
24C |
25A |
26D |
27C |
28B |
29D |
30A |
31D |
32C |
33C |
34B |
35B |
36B |
37B |
38B |
39A |
40D |
41B |
42D |
43C |
44D |
45D |
46A |
47A |
48A |
49B |
50C |
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1:
Phương pháp:
Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng \[\left[ {ABC} \right]\] là \[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]
Đáp án D
Câu 2:
Phương pháp:
Cho mặt phẳng \[\left[ P \right]\] có VTPT \[\overrightarrow n \] và đường thẳng \[d\] có VTCP \[\overrightarrow u \]
Khi đó góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là \[\alpha \]. Ta có:
\[\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}}\]
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng \[[\alpha ]:\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, + 3z - \,\,2020\,\, = \,\,0\] có 1 VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {1;2;3} \right]\]
Đường thẳng \[d:\,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{1}\,\, = \,\,\frac{{1 - \,\,y}}{2}\,\, = \,\,\frac{{z\,\, + \,\,3}}{3}\] có 1 VTCP là \[\overrightarrow u = \left[ {1;2;3} \right]\]
Góc giữa đường thẳng \[d\] và mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\] là \[\beta \].
\[\sin \beta = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\] \[ = \frac{{\left| {1.1 + 2.2 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }}\] \[ = \frac{{14}}{{14}} = 1\] \[ \Rightarrow \beta = {90^0}\]
Đáp án D
Câu 3:
Phương pháp:
Thay số phức \[z = 1 + 2i\] vào phương trình để tìm \[a + b\]
Hướng dẫn giải:
Vì \[z = 1 + 2i\] là nghiệm của phương trình \[{z^2} + az + b = 0\] nên ta có:
\[{\left[ {1 + 2i} \right]^2} + a.\left[ {1 + 2i} \right] + b = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 3 + 4i + a + 2ai + b = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {a + b - 3} \right] + \left[ {2a + 4} \right]i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b - 3 = 0\\2a + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = - 2 + 5 = 3\end{array}\]
Đáp án B
Câu 4:
Phương pháp:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có \[f'\left[ x \right] \ge 0\] với mọi \[x \in K\], dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm thì đồng biến trên \[K\].
Hướng dẫn giải:
Hàm số đã cho xác định trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\]
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 12x + m\]
Để hàm số đã cho đồng biến trên \[\left[ {0; + \infty } \right]\] thì \[y' \ge 0\] với mọi \[x > 0\] [dấu = xáy ra tại hữu hạn điểm]
\[ \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + m \ge 0\] với mọi \[x > 0\]
\[ \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 12x\] với mọi \[x > 0\]
Xét hàm số \[g\left[ x \right] = - 3{x^2} + 12x\] đạt giá trị lớn nhất là \[12\] tại \[x = - \frac{b}{{2a}} = 2\] \[ \in \left[ {0; + \infty } \right]\]
Nên \[m \ge 12\].
Đáp án D
Câu 5:
Phương pháp:
Véc tơ \[k\overrightarrow a \left[ {k \ne 0} \right]\] cùng phương với \[\overrightarrow a \]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\overrightarrow a = \left[ {1;3;4} \right]\] nên \[ - 2\overrightarrow a = \left[ { - 2; - 6; - 8} \right]\]\[ = \overrightarrow b \] cùng phương với \[\overrightarrow a .\]
Đáp án C
Câu 6:
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[y = f\left[ x \right];y = g\left[ x \right]\] và \[x = a;x = b\] được tính bởi công thức: \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[{x^3} - x = {x^2} - x\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {x - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x - \left[ {{x^2} - x} \right]} \right|} dx\] \[ = \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {{x^3} - {x^2}} \right]dx} } \right|\] \[ = \left| {\left. {\left[ {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_0^1} \right| = \left| {\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \right| = \frac{1}{{12}}\]
Đáp án A
Câu 7:
Phương pháp:
Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R\] có phương trình \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\overrightarrow u = \left[ {1;2;1} \right]\] là 1 VTCP của đường thẳng \[d\] và \[M\left[ { - 1;3;2} \right] \in d\]
Suy ra \[d\left[ {I;d} \right] = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {IM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\] \[ = 3\sqrt 2 \]
Vì \[IA = IB\] nên tam giác \[IAB\] vuông cân tại \[I\]. Kẻ \[IH \bot d\] tại \[H \Rightarrow IH = d\left[ {I;d} \right] = 3\sqrt 2 \]
Tam giác \[IHA\] vuông tạ \[H\] có \[\widehat {IAH} = {45^0}\] nên \[IHA\] vuông cân tại \[H\].
Suy ra \[IA = IH\sqrt 2 = 6\]
Hay bán kính mặt cầu là \[6\].
Phương trình mặt cầu \[\left[ S \right]\] là: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} + {\left[ {z + 2} \right]^2} = 36.\]
Đáp án B
Câu 8:
Phương pháp:
Số phức \[z = a + bi\] có mô đun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[z = 2i - 2 = 2\left[ {i - 1} \right]\] nên \[{z^2} = 4{\left[ {i - 1} \right]^2}\] \[ = 4.\left[ {{i^2} - 2i + 1} \right] = - 8i\]
Ta có: \[{z^{2016}} = {\left[ {{z^2}} \right]^{1008}}\] \[ = {\left[ { - 8i} \right]^{1008}} = {8^{1008}}.{\left[ {{i^2}} \right]^{504}}\] \[ = {8^{1008}}.{\left[ { - 1} \right]^{504}} = {8^{1008}}\] \[ = {2^{3024}}\]
Nên \[\left| {{z^{2016}}} \right| = {2^{3024}}\]
Đáp án A
Câu 9:
Phương pháp:
Biến đổi để có \[f\left[ x \right] + f\left[ {1 - x} \right] = 42\] rồi lấy tích phân hai vế.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[{f'}[x] = {f'}[1 - x]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{f'}[x]} dx = \int {{f'}[1 - x]dx} \\ \Rightarrow f\left[ x \right] = - f\left[ {1 - x} \right] + C\end{array}\]
Mà \[f\left[ 0 \right] = 1\] và \[f\left[ 1 \right] = 41\] suy ra \[f\left[ 0 \right] = - f\left[ {1 - 0} \right] + C\] \[ \Leftrightarrow C = 1 + 41 = 42\]
Như vậy
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = - f\left[ {1 - x} \right] + 42\\ \Leftrightarrow f\left[ x \right] + f\left[ {1 - x} \right] = 42\end{array}\]
\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left[ x \right]} dx + \int\limits_0^1 {f\left[ {1 - x} \right]dx} = \int\limits_0^1 {42} dx\]
Mà \[{f'}[x] = {f'}[1 - x]\]\[ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} = \int\limits_0^1 {f\left[ {1 - x} \right]dx} \]
Từ đó \[2\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} = 42\] \[ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} = 21\]
Đáp án C
Câu 10:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối cầu bán kính \[R\] là \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\] và công thức tính diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{3}R.4\pi {R^2}\] \[ = \frac{1}{3}R.S\] \[ \Rightarrow S = \frac{{3V}}{S}\]
Đáp án C
Câu 11:
Phương pháp:
Sử dụng: \[d\left[ {f\left[ x \right]} \right] = f'\left[ x \right]dx\] hoặc sử dụng phương pháp đổi biến số
Hướng dẫn giải:
Đặt \[2\sin x = t \Rightarrow 2\cos xdx = dt\]
Đổi cận: \[x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 2\] và \[x = 0 \Rightarrow t = 0\]
Ta có: \[\int\limits_0^2 {f\left[ t \right]\frac{1}{2}dt} \] \[ = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left[ t \right]dt} = \frac{1}{2}.6 = 3\]
Đáp án B
Câu 12:
Phương pháp:
Số phức \[z = a + bi\] có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \[M\left[ {a;b} \right]\]
Hướng dẫn giải:
Gọi \[z = x + yi\] có điểm biểu diễn \[A\left[ {x;y} \right]\]
Số phức \[ - z = - x - yi\] có điểm biểu diễn \[B\left[ { - x; - y} \right]\]
Suy ra hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nếu \[z \ne 0\], trùng với gốc tọa độ O nếu \[z = 0\] và đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ.
Vậy B, C, D đúng. A sai.
Đáp án A
Câu 13:
Phương pháp:
Sử dụng: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] là \[y = f'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[y' = 3{x^2} + 6x\]
\[y'\left[ 1 \right] = 9\]
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \[y = y'\left[ 1 \right]\left[ {x - 1} \right] + 4\] \[ \Leftrightarrow y = 9\left[ {x - 1} \right] + 4\] \[ \Leftrightarrow y = 9x - 5\]
Đáp án C
Câu 14:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối tam diện vuông \[OABC\] vuông tại \[O\] là \[V = \frac{1}{6}OA.OB.OC\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[V = \frac{1}{6}OA.OB.OC\] \[ = \frac{1}{6}.a.2a.2a = \frac{2}{3}{a^3}\]
Đáp án D
Câu 15:
Phương pháp:
Sử dụng \[\overrightarrow a = \left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right],\overrightarrow b = \left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]\] suy ra \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left[ { - 2} \right].0 + 2.1 + 5.2\] \[ = 12.\]
Đáp án A
Câu 16:
Phương pháp:
Hàm số \[y = {\log _a}f\left[ x \right]\] với \[a > 0\] xác định khi \[f\left[ x \right] > 0\]
Hướng dẫn giải:
Hàm số \[f\left[ x \right]\] xác định \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left[ {3x + 4} \right] \ge 0\\3x + 4 > 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 1\\3x + 4 > 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow 3x \ge - 3 \Leftrightarrow x \ge - 1\]
Vậy tập xác định \[D = \left[ { - 1; + \infty } \right]\]
Đáp án A
Câu 17:
Phương pháp:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]
B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm \[f'\left[ x \right]\], gpt \[f'\left[ x \right] = 0\] tìm các nghiệm \[{x_i} \in \left[ {a;b} \right]\] và các \[{x_j}\] làm cho \[f'\left[ x \right]\] không xác định [nếu có]
B3: Tính \[f\left[ a \right];f\left[ {{x_i}} \right];f\left[ {{x_j}} \right];f\left[ b \right]\]
Khi đó \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left[ x \right] = \max \left\{ {f\left[ a \right];f\left[ {{x_i}} \right];f\left[ {{x_j}} \right];f\left[ b \right]} \right\}\] và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left[ x \right] = \min \left\{ {f\left[ a \right];f\left[ {{x_i}} \right];f\left[ {{x_j}} \right];f\left[ b \right]} \right\}\]
Hướng dẫn giải:
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Ta có: \[y' = {x^2} + 4x + 3 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \in \left[ { - 4;0} \right]\\x = - 3 \in \left[ { - 4;0} \right]\end{array} \right.\]
Suy ra \[f\left[ 0 \right] = - 4;\] \[f\left[ { - 1} \right] = - \frac{{16}}{3};\] \[f\left[ { - 3} \right] = - 4;f\left[ { - 4} \right] = - \frac{{16}}{3}\]
Nên \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} y = - 4\] khi \[x = 0;x = - 3\]
\[\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;0} \right]} y = - \frac{{16}}{3}\] khi \[x = - 1;x = - 4\]
Từ đó \[M + m = - 4 + \frac{{ - 16}}{3} = - \frac{{18}}{3}\]
Đáp án B
Câu 18:
Phương pháp:
Số phức \[z = a + bi\] có \[a\] là phần thực
Hướng dẫn giải:
Ta có \[z = \left[ {2 + 3i} \right]i = - 3 + 2i\] có phần thực là \[ - 3.\]
Đáp án C
Câu 19:
Phương pháp:
Số phức \[z = a + bi\] có môđun \[\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]
Hướng dẫn giải:
Gọi \[z = x + yi\left[ {x;y \in \mathbb{R}} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}\left| {x + yi - 5i} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {x + \left[ {y - 5} \right]i} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} \le 9\end{array}\]
Tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình tròn tâm \[I\left[ {0;5} \right]\] bán kính \[R = 3\] [tính cả biên]
Số phức \[z\] có điểm biểu diễn \[M\left[ {x;y} \right]\] và có mô đun \[OM\]
Ta thấy \[OM\] nhỏ nhất khi \[M\] là giao điểm của đường thẳng \[OI\] với đường tròn \[\left[ I \right]:{x^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} = 9\]
Đường thẳng \[OI\] đi qua \[O\left[ {0;0} \right]\] và nhận \[\overrightarrow {OI} = \left[ {0;5} \right]\] làm VTCP nên có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\end{array} \right.\]
Thay \[x = 0;y = t\] vào phương trình đường tròn \[\left[ I \right]\] ta được: \[{\left[ {t - 5} \right]^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 2\end{array} \right.\]
Với \[t = 8 \Rightarrow M\left[ {0;8} \right]\] nên \[OM = 8\]
Với \[t = 2 \Rightarrow M\left[ {0;2} \right]\] nên \[OM = 2\] [nhận vì \[2 < 8\]]
Vậy \[z = 2i\] hay phần ảo cần tìm là \[2.\]
Đáp án A
Câu 20:
Phương pháp:
Sử dụng \[S\left[ t \right] = \int {v\left[ t \right]dt} \] với \[S\left[ t \right]\] là quãng đường và \[v\left[ t \right]\] là vận tốc tính theo thời gian \[t\].
Hướng dẫn giải:
Khi dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên ta có: \[v\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow - 6t + 12 = 0\] \[ \Leftrightarrow t = 2.\]
Quãng đường ô tô đi được là: \[S = \int\limits_0^2 {\left[ { - 6t + 12} \right]dt} \] \[ = \left. {\left[ { - 3{t^2} + 12t} \right]} \right|_0^2 = 12m\]
Đáp án D
Câu 21:
Phương pháp:
Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] và có \[\overrightarrow n = \left[ {a;b;c} \right]\] là VTPT thì có phương trình là \[a\left[ {x - {x_0}} \right] + b\left[ {y - {y_0}} \right] + c\left[ {z - {z_0}} \right] = 0\]
Hướng dẫn giải:
Vì M là trực tâm tam giác ABC nên \[MA \bot BC\]
Lại có \[OA \bot \left[ {OBC} \right]\] [do \[Ox;Oy;Oz\] đôi một vuông góc] nên \[BC \bot OA\]
Suy ra \[BC \bot \left[ {OAM} \right]\] nên \[BC \bot OM\]
Tương tự ta cũng có \[AB \bot OM\]
Suy ra \[OM \bot \left[ {ABC} \right]\]
Như vậy \[\left[ {ABC} \right]\] đi qua \[M\left[ {1;2;3} \right]\] và nhận \[\overrightarrow {OM} = \left[ {1;2;3} \right]\] làm VTPT nên có phương trình:
\[1\left[ {x - 1} \right] + 2\left[ {y - 2} \right] + 3\left[ {z - 3} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\]
Đáp án C
Câu 22:
Phương pháp:
Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \[R\] và đường sinh \[l\] là \[{S_{xq}} = \pi rl\]
Hướng dẫn giải:
Thiết diện qua trục là tam giác \[SAB\] vuông cân tại \[S,SA = SB = a\]
Nên \[AB = a\sqrt 2 \], suy ra bán kính đáy là \[R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\] , đường sinh hình nón là \[SA = a\]
Diện tích xung quanh hình nón là \[{S_{xq}} = \pi .\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\]
Đáp án A
Câu 23:
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[y = f\left[ x \right];y = g\left[ x \right]\] và \[x = a;x = b\] được tính theo công thức \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} \]
Hướng dẫn giải:
Với \[x \le 1\], xét phương trình hoành độ giao điểm: \[\frac{{10}}{3}x - {x^2} = - x\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - \frac{{13}}{3}x = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left[ {tm} \right]\\x = \frac{{13}}{3}\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Với \[x > 1\] xét phương trình hoành độ giao điểm \[\frac{{10}}{3}x - {x^2} = x - 2\] \[{x^2} - \frac{7}{3}x - 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left[ {tm} \right]\\x = - \frac{2}{3}\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Diện tích cần tìm là: \[S = \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - \left[ { - x} \right]} \right]} dx} \right|\] \[ + \left| {\int\limits_1^3 {\left[ {\frac{{10}}{3}x - {x^2} - \left[ {x - 2} \right]} \right]} dx} \right|\]
\[ = \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {\frac{{13}}{3}x - {x^2}} \right]} dx} \right| + \left| {\int\limits_1^3 {\left[ {\frac{7}{3}x - {x^2} + 2} \right]} dx} \right|\]
\[ = \left| {\left. {\left[ {\frac{{13}}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left[ {\frac{7}{6}{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right]} \right|_1^3} \right|\]
\[ = \frac{{13}}{2}\]
Nên \[a = 13;b = 2 \Rightarrow a + 2b = 17\]
Đáp án B
Câu 24:
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\sin \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\]
Đáp án C
Câu 25:
Phương pháp:
Đưa về giải phương trình mũ \[{a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\] với \[0 < a \ne 1;b > 0\]
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[{3^{1 - x}} = 2 + {\left[ {\frac{1}{9}} \right]^x}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^x}}} = 2 + \frac{1}{{{3^{2x}}}}\\ \Leftrightarrow {2.3^{2x}} - {3.3^x} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} = 1\\{3^x} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {\log _3}\frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm âm là \[x = {\log _3}\frac{1}{2} = - {\log _3}2\]
Đáp án A
Câu 26:
Phương pháp:
Cho phần hình phẳng giới hạn bởi \[y = f\left[ x \right];y = g\left[ x \right]\] và \[x = a;x = b\] quay xung quanh trục \[Ox\] là \[V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{{\left[ {f\left[ x \right]} \right]}^2} - {{\left[ {g\left[ x \right]} \right]}^2}} \right|} dx\]
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \[a{x^2} = bx \Leftrightarrow a{x^2} - bx = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{b}{a}\end{array} \right.\]
Thể tích cần tìm là
\[\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{\frac{b}{a}} {\left| {{a^2}{x^4} - {b^2}{x^2}} \right|dx} \\ = \pi \left| {\left. {\left[ {\frac{{{a^2}{x^5}}}{5} - {b^2}\frac{{{x^3}}}{3}} \right]} \right|_0^{\frac{b}{a}}} \right|\\ = \pi \left| {\frac{{{b^5}}}{{5{a^3}}} - \frac{{{b^5}}}{{3{a^3}}}} \right|\\ = \pi \frac{{{b^5}}}{{{a^3}}}\left[ {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right]\end{array}\]
Đáp án D
Câu 27:
Phương pháp:
Tìm TXĐ
Tính \[f'\left[ x \right]\]
Gpt \[f'\left[ x \right] = 0\], lập BBT rồi kết luận
Hướng dẫn giải:
TXĐ: \[D = \left[ { - 1; + \infty } \right]\]
Ta có \[f'\left[ x \right] = \frac{2}{{x + 1}} - 2x + 1\]
Nên \[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 1}} - 2x + 1 = 0\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 2 + \left[ { - 2x + 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = 0\\ \Rightarrow 2 - 2{x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left[ {tm} \right]\\x = \frac{{ - 3}}{2}\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\end{array}\]
Ta có BBT:
Vậy hàm số đã cho đạt GTLN tại \[x = 1.\]
Đáp án C
Câu 28:
Phương pháp:
Mặt cầu tâm \[I\left[ {a;b;c} \right]\] và bán kính \[R\] là: \[{\left[ {x - a} \right]^2} + {\left[ {y - b} \right]^2} + {\left[ {z - c} \right]^2} = {R^2}\]
Khoảng cách từ \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến \[Oy\] là \[d\left[ {M;Oy} \right] = \sqrt {x_0^2 + z_0^2} \]
Hướng dẫn giải:
Ta có: \[d\left[ {I;Oy} \right] = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \]
Mặt cầu tâm \[I\left[ {1; - 2;3} \right]\] và tiếp xúc với \[Oy\] nên có bán kính \[R = d\left[ {I;Oy} \right] = \sqrt {10} \]
Phương trình mặt cầu: \[{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} + {\left[ {y - 3} \right]^2} = 10\]
Đáp án B
Câu 29:
Phương pháp:
Sử dụng: Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B phân biệt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Hướng dẫn giải:
Trong không gian, tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B phân biệt là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Đáp án D
Câu 30:
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[y = f\left[ x \right],\] trục hoành và hai đường thẳng \[x = a;x = b\] là \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right]} \right|dx} \]
Hướng dẫn giải:
Từ hình vẽ ta có:
\[S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left[ x \right]dx} - \int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} \]
Đáp án A
Câu 31:
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tích phân.
Hướng dẫn giải:
Ta có \[\int\limits_a^a {f[x]dx} = 0\]
Đáp án D
Câu 32:
Phương pháp:
- Tìm tâm mặt cầu.
- Tìm VTCP của đường thẳng.
Chú ý: \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} \\\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]\]
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {1; - 2;3} \right]\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} = \left[ {2;2; - 1} \right],\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {3; - 1;1} \right]\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left[ {1; - 5; - 8} \right]\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} \\\overrightarrow {{u_d}} //\overrightarrow {{u_\Delta }} \end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} //\left[ {\overrightarrow {{n_{\left[ \alpha \right]}}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]\]
Chọn \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ { - 1;5;8} \right]\] ta có:
Đường thẳng \[d\] đi qua \[I\left[ {1; - 2;3} \right]\] và nhận \[\overrightarrow {{u_d}} = \left[ { - 1;5;8} \right]\] làm VTCP nên có phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 5t\\z = 3 + 8t\end{array} \right..\]
Đáp án C
Câu 33:
Phương pháp:
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
Hướng dẫn giải:
Hàm số không có cực trị nên A sai.
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\] nên B sai, D sai.
Đồ thị hàm số có TCĐ \[x = - 1\] và TCN \[y = 2\] nên C đúng.
Đáp án C
Câu 34:
Phương pháp:
Số phức liên hợp của \[z = a + bi\] là \[\overline z = a - bi\].
Hướng dẫn giải:
Số phức liên hợp của \[z = 6 + 7i\] là \[\overline z = 6 - 7i\]
Đáp án B
Câu 35:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]:ax + by + cz + d = 0\] là:
\[d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[d\left[ {B,\left[ P \right]} \right] = \frac{{\left| {{y_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }}\] \[ = \left| {{y_0} + 1} \right|\]
Đáp án B
Câu 36:
Phương pháp:
Sử dụng \[{a^{f\left[ x \right]}} > {a^{g\left[ x \right]}} \Leftrightarrow f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\] với \[0 < a < 1\].
Hướng dẫn giải:
Ta có :
\[\begin{array}{l}{\left[ {\frac{1}{2}} \right]^x} > 32 \Leftrightarrow {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^x} > {\left[ {\frac{1}{2}} \right]^{ - 5}}\\ \Leftrightarrow x < - 5\end{array}\]
Đáp án B
Câu 37:
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f[x],Ox,x = a,x = b\] quanh \[Ox\] là \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}[x]dx.} \]
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f[x],Ox,x = a,x = b\] quanh \[Ox\] là \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}[x]dx.} \]
Đáp án B
Câu 38:
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp từng phần tính tích phân:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\]
Hướng dẫn giải:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x{e^x}} \right|_0^{\ln 3} - \int\limits_0^{\ln 3} {{e^x}dx} \\ = \ln 3.{e^{\ln 3}} - 0 - \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln 3}\\ = 3\ln 3 - {e^{\ln 3}} + {e^0}\\ = 3\ln 3 - 3 + 1\\ = 3\ln 3 - 2\end{array}\]
Đáp án B
Câu 39:
Phương pháp:
- Kiểm tra vị trí điểm A so với mặt cầu.
- Nhận xét mối quan hệ giữa diện tích hình tròn với khoảng cách từ tâm I đến [P].
Từ đó suy ra điềm kiện.
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu \[\left[ S \right]\] có tâm \[I\left[ {1;2;3} \right]\] và bán kính \[R = 3\].
Ta có: \[IA = \sqrt {{{\left[ {0 - 1} \right]}^2} + {{\left[ {0 - 2} \right]}^2} + {{\left[ {2 - 3} \right]}^2}} \] \[ = \sqrt 6 < R\]
\[ \Rightarrow \] điểm \[A\] nằm trong mặt cầu.
Để hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì bán kính hình tròn \[r\] phải nhỏ nhất.
Dễ thấy \[r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left[ {I,\left[ P \right]} \right]} \] nên để \[{r_{\min }}\] thì \[d{\left[ {I,\left[ P \right]} \right]_{\max }}\].
Gọi \[H\] là hình chiếu của \[I\] trên mặt phẳng \[\left[ P \right]\] \[ \Rightarrow IH \le IA\] \[ \Rightarrow d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] \le IA\].
Do đó \[d{\left[ {I,\left[ P \right]} \right]_{\max }} = IA\] khi \[H \equiv A\] hay \[\left[ P \right]\] là mặt phẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[IA\] hay nhận \[\overrightarrow {IA} = \left[ { - 1; - 2; - 1} \right]\] làm VTPT.
Vậy \[\left[ P \right]:\] \[ - 1\left[ {x - 0} \right] - 2\left[ {y - 0} \right] - 1\left[ {z - 2} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow - x - 2y - z + 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow x + 2y + z - 2 = 0\]
Đáp án A
Câu 40:
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tích phân, tách tích phân cần tính thành hai tích phân.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\left[ {x - 2f[x]} \right]dx} \\ = \int\limits_0^3 {xdx} - 2\int\limits_0^3 {f\left[ x \right]dx} \\ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 - 2.2\\ = \frac{9}{2} - 4 = \frac{1}{2}\end{array}\]
Đáp án D
Câu 41:
Phương pháp:
Sử dụng công thức cộng hai số phức \[{z_1} + {z_2} = \left[ {{a_1} + {a_2}} \right] + \left[ {{b_1} + {b_2}} \right]i\]
Hướng dẫn giải:
Ta có :
\[\begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1 + i - 5 + 2i\\ = \left[ {1 - 5} \right] + \left[ {i + 2i} \right]\\ = - 4 + 3i\\ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| { - 4 + 3i} \right|\\ = \sqrt {{{\left[ { - 4} \right]}^2} + {3^2}} = 5\end{array}\]
Đáp án B
Câu 42:
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết: Nếu hàm số \[f\left[ x \right]\] là hàm số lẻ thì \[\int\limits_{ - a}^a {f\left[ x \right]dx} = 0\]
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Trong các hàm số đã cho, hàm số \[f\left[ x \right] = \sin x\] là hàm lẻ nên \[\int\limits_{ - 1}^1 {\sin xdx} = 0 = \int\limits_{ - 2}^2 {\sin xdx} \]
Đáp án D
Câu 43:
Phương pháp:
Số phức liên hợp của \[z = a + bi\] là \[\overline z = a - bi\].
Hướng dẫn giải:
\[z = a + ai \Rightarrow \overline z = a - ai\]
Tập hợp các điểm \[M\] biểu diễn số phức \[\overline z \] là \[\left[ {a; - a} \right]\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = a\\{y_M} = - a\end{array} \right.\]
Dễ thấy \[{x_M} + {y_M} = a + \left[ { - a} \right] = 0\] nên \[M\] thuộc đường thẳng \[x + y = 0\].
Đáp án C
Câu 44:
Phương pháp:
Sử dụng nguyên hàm của hàm số cơ bản: \[\int {\frac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\]
Hướng dẫn giải:
\[I = \int\limits_2^5 {\frac{{dx}}{x}} = \left. {\ln \left| x \right|} \right|_2^5\] \[ = \ln 5 - \ln 2 = \ln \frac{5}{2}\]
Đáp án D
Câu 45:
Phương pháp:
Phương trình mặt cầu dạng khai triển là:
\[{x^2} + {y^2} + {z^2}\] \[ - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\]
ở đó \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án A:
\[\begin{array}{l}{\left[ {x + y} \right]^2} = 2xy - {z^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 2xy - {z^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0\end{array}\]
Có \[a = 0,b = 0,c = 0,d = 1\]
\[ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\] \[ = {0^2} + {0^2} + {0^2} - 1 = - 1 < 0\]
Nên không là phương trình mặt cầu.
Đáp án B:
\[{x^2} + {y^2} - {z^2} + 2x - y + 1 = 0\] không là phương trình mặt cầu vì xuất hiện số hạng \[ - {z^2}\].
Đáp án C:
\[\begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} = {\left[ {x + y} \right]^2} - {z^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy - {z^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy - 2x + 1 = 0\end{array}\]
Đây không phải phương trình mặt cầu vì xuất hiện số hạng \[ - 2xy\].
Đáp án D: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0\]
Có \[a = 1,b = c = d = 0\] nên \[{a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 > 0\]
Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.
Đáp án D
Câu 46:
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm \[\left[ {{{\log }_a}x} \right]' = \frac{1}{{x\ln a}}\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[y' = \left[ {{{\log }_5}x} \right]' = \frac{1}{{x\ln 5}}\]
Đáp án A
Câu 47:
Phương pháp:
Tính toán thu gọn số phức \[\overline z \], từ đó suy ra phần thực và ảo của số phức \[z\].
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}\overline z = \frac{5}{{1 - 2i}} - 3i\\ = \frac{{5\left[ {1 + 2i} \right]}}{{\left[ {1 - 2i} \right]\left[ {1 + 2i} \right]}} - 3i\\ = \frac{{5 + 10i}}{{1 - 4{i^2}}} - 3i = \frac{{5 + 10i}}{{1 + 4}} - 3i\\ = \frac{{5 + 10i}}{5} - 3i = 1 + 2i - 3i\\ = 1 - i\\ \Rightarrow z = 1 + i\end{array}\]
Vậy phần thực và phần ảo của \[z\] là \[1\] và \[1\].
Đáp án A
Câu 48:
Phương pháp:
- Sử dụng công thức viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn để viết phương trình \[\left[ {ABC} \right]\]
- Sử dụng các giả thiết bài cho lập hệ phương trình ẩn \[b,c\]
Hướng dẫn giải:
Ta có \[A\left[ {1;0;0} \right],B\left[ {0;b;0} \right],C\left[ {0;0;c} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {ABC} \right]:\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\end{array}\]
\[ \Rightarrow \left[ {ABC} \right]\] có VTPT là \[\overrightarrow n = \left[ {1;\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right]\].
\[\left[ P \right]:y - z + 1 = 0\] \[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} = \left[ {0;1; - 1} \right]\]
\[\begin{array}{l}\left[ {ABC} \right] \bot \left[ P \right] \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{n_{\left[ P \right]}}} = 0\\ \Rightarrow 1.0 + \frac{1}{b}.1 + \frac{1}{c}.\left[ { - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 0\\ \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{b}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}d\left[ {O,\left[ {ABC} \right]} \right] = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {0 + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left[ {\frac{1}{b}} \right]}^2} + {{\left[ {\frac{1}{c}} \right]}^2}} }} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} = 3\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 9\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 8\end{array}\]
Thay \[\frac{1}{c} = \frac{1}{b}\] ta được:
\[\begin{array}{l}\frac{1}{{{b^2}}} + {\left[ {\frac{1}{b}} \right]^2} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 8\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = 8 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow b + c = 1\end{array}\]
Đáp án A
Câu 49:
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình.
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[\begin{array}{l}\left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3x + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 2\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy đồ thị hàm số cắt trục \[Ox\] tại \[3\] điểm phân biệt.
Đáp án B
Câu 50:
Phương pháp:
Viết phương trình đường thẳng \[d\] dưới dạng tham số.
Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và kết luận.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12 + 4t\\y = 9 + 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.\end{array}\]
Điểm \[M \in d\] \[ \Rightarrow M\left[ {12 + 4t;9 + 3t;1 + t} \right]\]
\[\begin{array}{l}M \in \left[ P \right]\\ \Leftrightarrow 3\left[ {12 + 4t} \right] + 5\left[ {9 + 3t} \right] - \left[ {1 + t} \right] - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 36 + 12t + 45 + 15t - 1 - t - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 78 + 26t = 0\\ \Leftrightarrow t = - 3\\ \Rightarrow M\left[ {0;0; - 2} \right]\end{array}\]
Đáp án C