Giải phương trình đường thẳng trong không gian

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình đường thẳng trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình đường thẳng trong không gian: Viết phương trình đường thẳng. Phương pháp. Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương. Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B. Một vectơ chỉ phương của d là AB. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng O cho trước: Vì d // O nên vectơ chỉ phương của O cũng là vectơ chỉ phương của d. Đường thẳng d đi qua điểm M0 và vuông góc với mặt phẳng [P] cho trước: Vì d nên vectơ pháp tuyến của [P] cũng là vectơ chỉ phương của d. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng [P], [Q]. Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương. Tìm toạ độ một điểm A bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của [P], [Q] với việc chọn giá trị cho một ẩn. Tìm một vectơ chỉ phương của d. Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng Vì d nên một vectơ chỉ phương của d là. Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A[2; 1; 1], B[2; 3; 1] và C[0; 1; 3]. Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Phương trình đường thẳng d là. Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G[0; 1; 1]. Đường thẳng d đi qua G[0; 1; 1] và có vectơ chỉ phương cùng phương với AB. Phương trình đường thẳng d là. Vậy đường thẳng d đi qua A[1; 0; 0] và có vectơ chỉ phương u[1; 1; 1]. Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho hai M[1; 2; 3], N[3; 4; 5] và mặt phẳng [P]: Gọi I là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng [P], các điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N. Biết rằng trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là. Gọi I là trung điểm của HK. Khi đó I thuộc mặt phẳng [Q] là mặt phẳng trung trực của đoạn MN. Ta có [Q] đi qua trung điểm của MN là điểm J[2; 3; 4] và nhận MN làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là [Qxyz]. Tìm được d và vectơ chỉ phương của d là [1; 2; 1].

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz. Cho điểm E [1; 1; 1], mặt cầu S và mặt phẳng [P]. Gọi O là đường thẳng đi qua E, nằm trong [P] và cắt S tại hai điểm A, B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình tham số của là. Gọi abc là một vectơ chỉ phương của A. Mặt cầu [S] có tâm O[0; 0; 0] và bán kính R = 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB. Ta có OAB là tam giác đều cạnh R nên suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng bằng OH.

Phương trình đường thẳng trong không gian là phần nội dung thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Vì vậy các em cần nắm vững kiến thức để có thể làm bài hiệu quả và chính xác hơn. Để tìm hiểu rõ lý thuyết và cách giải bài tập phương trình đường thẳng trong không gian, các em hãy theo dõi bài viết dưới đây của Marathon Education nhé!

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Tròn

Lý thuyết về phương trình đường thẳng trong không gian

Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian [Nguồn: Internet]

Trong không gian, chúng ta có đường thẳng Δ đi qua điểm M [x; y; z] với vecto chỉ phương = [a; b; c] có phương trình tham số dưới dạng như sau:

\begin{cases} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ ct \end{cases}[t\in \R]

Trong đó, t được gọi là tham số. 

>>> Xem thêm: Lý Thuyết Toán 10 Phương Trình Đường Thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian

Nếu cả 3 số a, b, c đều khác không, chúng ta có thể viết phương trình trên ở dạng phương trình chính tắc: 

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ [a,b,c \not=0]

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua một điểm M[x; y; z] và có vectơ chỉ phương là = [a; b; c]. Đồng thời, đường thẳng d1 đi qua điểm M1[x1; y1; z1] và có vectơ chỉ phương 1= [a1; b1; c1]. Khi đó ta có:

\begin{aligned} &\small\text{Cho đường thẳng }d_0 \text{ đi qua một điểm }M_0[x_0; y_0; z_0] \text{ và có vectơ chỉ phương là }\vec{u_0}=[a_0; b_0; c_0]. \\ &\small\text{Đồng thời, đường thẳng }d_1 \text{ đi qua điểm }M_1[x_1; y_1; z_1] \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u_1}= [a_1; b_1; c_1].\\ &\small\text{Khi đó ta có: }\\ &\small \circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ nằm trong một mặt phẳng ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0\\ &\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ sẽ cắt nhau ⇔ }\begin{cases} [\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0 \\ [\vec{u_0},\vec{u_1}]\not=0\end{cases}\\ &\small\circ d_0\ ⊥\ d_1 ⇔ \vec{u_0}.\vec{u_1}=\vec{0}\\ &\small\circ d_0 \ //\ d_1 ⇔ \begin{cases}[\vec{u_0},{u_1}]=\vec{0} \\ [\vec{u_0}.\overrightarrow{M_0.M_1} \not=0\end{cases}\\ &\small\circ d_0 \equiv d_1 ⇔[\vec{u_o},\vec{u_1}]=[\vec{u_0},\overrightarrow{M_0M_1}]=\vec{0}\\ &\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ chéo nhau ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}\not=0\\ \end{aligned}

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

\begin{aligned} &\small\text{Khi đường thẳng d đi qua điểm }M_0 [x_0; y_0; z_0] \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}= [a; b; c]. \text{ Bên cạnh đó, ta}\\ &\small\text{có mặt phẳng }[P] = Ax + By + Cz + D = 0 \text{ có vectơ pháp tuyến } \vec{n}= [A; B; C]. \text{ Khi đó ta có: }\\ &\small \circ d \text{ cắt } [P] ⇔ Aa+Bb+Cc\not=0\\ &\small\circ d \ //\ [P] ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D\not=0 \end{cases}\\ &\small\circ d\sub [P] ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D=0 \end{cases}\\ &\small\circ d\ ⊥\ [P] ⇔ \vec{u}\text{ // }\vec{n} ⇔ [\vec{u},\vec{n}]=\vec{0} \end{aligned}

Góc giữa 2 đường thẳng

\begin{aligned} &\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương }\vec{u}= [a; b; c]. \text{ Đồng thời đường thẳng d' có vectơ chỉ phương }\\ &\small\vec{u'}= [a’; b’; c’]. \text{ Gọi }0^\text{o} ≤ α ≤ 90^\text{o} \text{ là góc giữa 2 đường thẳng đó, chúng ta có:}\\ &cosα=\frac{|\vec{u}.\vec{u'}|}{|\vec{u}|.|\vec{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}} \end{aligned}

Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian

Giải bài tập phương trình đường thẳng trong không gian [Nguồn: Internet]

\small \text{Ta có điểm }M_0 [x_0; y_0; z_0] \text{và có vectơ chỉ phương }\vec{u_0} = [a; b; c]

Phương pháp giải:

\begin{aligned} &\small\bull\text{Phương trình tham số của đường thằng [d] là: }\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct \end{cases}\ [t\in \R]\\ &\small\bull\text{Nếu }a.b.c\not=0\text{ thì đường thẳng [d] sẽ có phương trình chính tắc là: }\\ &\ \ \ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ [a,b,c\not=0] \end{aligned}

Ví dụ:

  Cách Tìm Tập Xác Định Và Điều Kiện Hàm Số Mũ

Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua một điểm A[1;2;-1] và có vectơ chỉ phương là:

Hướng dẫn giải:

\small \text{Ta có phương trình tham số của đường thẳng [d] là: }\begin{cases}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-1+3t\end{cases}

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Khi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. Các em sẽ giải bài tập theo 2 bước cơ bản như sau:

\begin{aligned} &\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\overrightarrow{AB}\\ &\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua A và nhận }\overrightarrow{AB}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\ \end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua các điểm A[1; 2; 0], B[-1; 1; 3]

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\bull\text{Ta có: }\overrightarrow{AB}[-2;1;3]\\ &\small\bull\text{Phương trình đường thẳng [d] đi qua A có vectơ chỉ phương được phương trình tham số như sau: }\\ &\small\ \begin{cases} x=1-2t\\y=2-t\\z=3t \end{cases} \end{aligned}

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng d

Các bước để viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng d bất kỳ:

\begin{aligned} &\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{u} \text{ của đường thẳng [d].}\\ &\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng [d'] đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{u}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\ \end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A[2; 1; -3] và song song với đường thẳng d có phương trình là:

\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{1}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\bull\text{Vì [d’] // [d] nên nhận }\vec{u_d}=[2;4;1]\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\ &\small\bull\text{Ta được phương trình tham số của [d']: }\begin{cases}x=2+2t\\y=1+4t\\z=-3+t \end{cases} \end{aligned}

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng P

Khi đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng P, ta sẽ viết được phương trình đường thẳng theo các bước như sau: 

\begin{aligned} &\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{n} \text{ của mặt phẳng [P].}\\ &\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{n}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\ \end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm A[1; 1; -2] và vuông góc với mặt phẳng [P]: x – y – z – 1 = 0.

  Tổng Hợp Công Thức Toán 12 Đầy Đủ Và Chính Xác

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\bull\text{Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là }\vec{n}=[1;-1;-1]\text{ đồng thời là vectơ chỉ phương của }\\ &\small\text{ đường thẳng [d]}\\ &\small\bull\text{Phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm A và nhận } \vec{n} \text{ làm vectơ chỉ phương có phương trình}\\ &\small\text{tham số như sau:} \begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=-2-t\end{cases}\\ \end{aligned}

Dạng 5: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường thẳng trong không gian

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

d:\begin{cases}x=-t\\y=3t\\z=-1-2t\end{cases} \ ;\ d':\begin{cases}x=0\\y=9\\z=5t\end{cases}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\text{Đường thẳng d đi qua }M_0[0; 0; -1] \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d}=[-1;3;-2]\\ &\small\text{Đường thẳng d' đi qua }M'_0[0; 9; 0] \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d'}=[0;0;5]\\ &\small \Rightarrow\overrightarrow{M_0M'_0}=[0;9;1] \text{ và }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}]=[15;5;0]\not=0\\ &\small\text{Ta có: }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}].\overrightarrow{M_0M'_0}=15.0+9.5+1.0=45\not=0\\ &\small\text{Vậy d và d' chéo nhau.} \end{aligned}

Dạng 6: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Ví dụ:

Xét vị trí tương đối của mặt phẳng [P]: x + y + z + 2 =0 và đường thẳng

d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2+4t\\z=3+t\end{cases}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\text{Đường thẳng D đi qua }M_0[1;2;3]\text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}=[2;4;1]\\ &\small\text{Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến là: } \vec{n}=[1;1;1]\\ &\small\text{Ta có: }\vec{n}.\vec{u}=2+4+1=7\not=0\\ &\small\text{Vậy d cắt [P].} \end{aligned}

Dạng 7: Tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

Phương pháp giải:

Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian bằng hoặc bù so với góc giữa hai vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Vì vậy, để tính góc của 2 đường thẳng chéo nhau, ta sử sụng công thức sau:

cos\varphi=|cos[\vec{u_1},\vec{u_2}]|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}

Ví dụ:

Tính góc giữa 2 đường thẳng

\Delta_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{2}\ ;\ \Delta_2:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-1}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_1 \text{ là }\vec{u_1}=[2;-1;2]\\ &\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_2 \text{ là }\vec{u_2}=[2;2;-1]\\ &\small\text{Gọi }\varphi \text{ là góc giữa hai đường thẳng }\Delta_1 \text{ và } \Delta_2,\text{ ta có:}\\ &cos\varphi=|cos[\vec{u_1},\vec{u_2}]|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}=0 \Rightarrow \varphi=90^\text{o} \end{aligned}

Dạng 8: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Phương pháp giải:

\begin{aligned} &\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là }\vec{u}[a,b,c].\\ &\small\text{Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến là }\vec{n}[A,B,C].\\ &\small\text{Góc }\varphi\text{ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.}\\ &\small\text{Ta có công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian như sau:}\\ &\small sin\varphi=\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{aligned}

Ví dụ:

Tiin1h sin góc giữa mặt phẳng [P]: 2x – y + 2z -1 =0 và đường thẳng d có phương trình tham số là:

d: \begin{cases}x=1+2t\\y=-1+3t\\z=2-t \end{cases}

Hướng dẫn giải:

\begin{aligned} &\small\text{Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: }\vec{u_d}=[2;3;-1]\\ &\small\text{Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [P] là: }\overrightarrow{n_{[P]}}=[2;-1;-2]\\ &\small\text{Sin góc giữa d và [P] là:}\\ &\small sin[d;[P]]=\frac{|\vec{u_d}.\overrightarrow{n_{[P]}}|}{|\vec{u_d}|.|\overrightarrow{n_{[P]}}|}=\frac{|4-3-2|}{\sqrt{2^2+3^2+[-1]^2}.\sqrt{2^2+[-1]^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}.3}=\frac{\sqrt{14}}{42} \end{aligned}

Học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Marathon Education

Marathon Education là nền tảng học livestream trực tuyến Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh uy tín và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình giảng dạy bám sát chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Marathon Education sẽ giúp các em lấy lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.

  Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết

Tại Marathon, các em sẽ được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc TOP 1% giáo viên dạy giỏi toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị từ Thạc Sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương pháp dạy sáng tạo, gần gũi, các thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Marathon Education còn có đội ngũ cố vấn học tập chuyên môn luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá nhân hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Marathon Education luôn đảm bảo đường truyền ổn định chống giật/lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, các em có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên tại Marathon Education, các em còn nhận được các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và nội dung môn học được biên soạn chi tiết, kỹ lưỡng và chỉn chu giúp các em học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.

Marathon Education cam kết đầu ra 8+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Nếu không đạt điểm số như cam kết, Marathon sẽ hoàn trả các em 100% học phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học 2022 – 2023 tại Marathon Education ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39% giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Các khóa học online tại Marathon Education

Trên đây là chia sẻ của team Marathon về các kiến thức cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian và các dạng bài tập thường gặp. Việc ôn tập và ghi chú những nội dung quan trọng sẽ giúp các em học tập có hiệu quả và tự tin hơn trong môn Toán. Chúc các em học tốt và đạt nhiều thành tích cao hơn tại trường lớp!