4. Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 3x + 1 - m và y = -2x + m + 3 cắt nhau tại một điểm:
a, Trên trục tung
b, Trên trục hoành
a, Đồ thị hàm số y = 3x + 1 - m cắt trục tung tại A[0; 1 - m]. Nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì điểm đó phải là A[0; 1 - m]
Đồ thị hàm số y = -2x + m + 3 đi qua A[0; 1 - m] 1 - m = 2.0 + m + 3 m = -1
b, Đồ thị hàm số y = 3x + 1 - m cắt trục hoành tại B[$\frac{m-1}{3}$; 0]. Nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì điểm đó phải là B[$\frac{m-1}{3}$; 0].
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]$.
+] $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+] \[d\] cắt $d'$\[ \Leftrightarrow a \ne a'\].
+] \[d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].
Ngoài ra, \[d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\].
Ví dụ:
Hai đường thẳng \[y=3x+1\] và \[y=3x-6\] có hệ số \[a=a'[=3]\] và \[b\ne b'\] \[[1\ne -6]\] nên chúng song song với nhau.
Hai đường thẳng \[y=3x+1\] và \[y=3x+1\] có hệ số \[a=a'[=3]\] và \[b= b'[=1]\] nên chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng \[y=x\] và \[y=-2x+3\] có hệ số \[a\ne a'\] \[[1\ne -2]\] nên chúng cắt nhau.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số $m$ để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
Phương pháp:
Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]$ và $d':y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]$.
+] $d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.$
+] \[d\] cắt $d'$\[ \Leftrightarrow a \ne a'\].
+] \[d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp:
+] Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.
Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau
+] Ta có\[y = ax + b\] với \[a \ne 0\], \[b \ne 0\] là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm \[A\left[ {0;b} \right]\], cắt trục hoành tại điểm \[B\left[ { - \dfrac{b}{a};0} \right]\].
+] Điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] thuộc đường thẳng \[y = ax + b\] khi và chỉ khi \[{y_0} = a{x_0} + b\].
Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d$ luôn đi qua với mọi tham số $m$
Phương pháp:
Gọi $M\left[ {x;y} \right]$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left[ {x;y} \right]$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.
Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.
Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$
Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.
Khi đó $M\left[ {x;y} \right]$ là điểm cố định cần tìm.
Trả lời câu hỏi Bài 4 trang 53 SGK Toán 9 Tập 1. a] Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ
- Tìm m, n để [d1] đi qua điểm C[- 2; 5] và song song với [d2]: y = x – 5. c] Tìm m, n để [d1] trùng với [d3]: y = - 5x + 5.
- Tìm m, n để [d1] cắt [d4]: y = mx + 3m + n tại điểm D[1; 9].
- Tìm m, n để [d1] cắt [P]: y = x2 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
- Tìm m, n để [d1] cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 và cắt trục hoành tại
54
điểm có hoành độ là - 2.
Bài 2: Cho hàm số [d1]: y = 1
2x + 3 và [d]: y = - 3x + 3.
- Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ. b] Tính góc tạo bởi [d1] và [d2] với trục Ox.
- Gọi giao điểm của [d1] và [d2] là A, giao điểm của [d1], [d2] với trục hoành lần lợt là B và C. Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
Chú ý: Gọi α là góc tạo bởi đờng thẳng [d]: y = ax + b với trục Ox
+ a > 0 thì tgα = a. + a < 0 thì tg[1800 - α] = - a. Bài 3: Cho hàm số : y = [m – 2]x + m2 + 3m + 3 [d1] a] Tìm m để hàm số đồng biến. b] Tìm m để [d1] và hai đờng thẳng [d2]: y = 3x – 13 và [d3] : y = - 2x – 3 đồng quy.
- Tìm m để [d1] cắt [d4]: y = x + 21 tại một điểm trên trục tung. d] Tìm m để [d1] đi qua A [3 ; 4] và song song với [d5]: y = - m2x – 1
- Chứng minh rằng [d1] cắt [P]: y = x2 tại hai điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hoành độ giao điểm của [d1] và [P]. Tìm m để x12 + x22 = 15.
- Tìm m để [d1] tạo với hai trục toạ độ 1 tam giác vuông cân. g] Tìm m để [d1] cắt [d6]: y = - 3x + 1 tại một điểm trên trục tung.
Chú ý : 1] Hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì a≠a’và b = b’.
- Đờng thẳng y = ax + b tạo với hai trục 1 tam giác vuông cân khi: Cách giải: Đờng thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M[0, b] Cách giải: Đờng thẳng y = ax + b tạo với trục Oy tại điểm M[0, b]