Cây tìm kiếm nhị phân là cấu trúc dữ liệu cây nhị phân dựa trên nút có các thuộc tính sau.
- Cây con bên trái của nút chỉ chứa các nút có khóa nhỏ hơn khóa của nút
- Cây con bên phải của nút chỉ chứa các nút có khóa lớn hơn khóa của nút
- Mỗi cây con bên trái và bên phải cũng phải là cây tìm kiếm nhị phân.
Không được có nút trùng lặp.
Các thuộc tính trên của Cây tìm kiếm nhị phân cung cấp thứ tự giữa các khóa để các hoạt động như tìm kiếm, tối thiểu và tối đa có thể được thực hiện nhanh chóng. Nếu không có thứ tự, thì chúng ta có thể phải so sánh mọi khóa để tìm kiếm một khóa đã cho
Làm cách nào để tìm kiếm khóa trong Cây nhị phân đã cho?
Để tìm kiếm một giá trị, nếu chúng ta có một mảng được sắp xếp, chúng ta có thể thực hiện tìm kiếm nhị phân. Giả sử chúng ta muốn tìm kiếm một số trong mảng, trong tìm kiếm nhị phân, trước tiên chúng ta xác định danh sách đầy đủ là không gian tìm kiếm của mình, số chỉ có thể tồn tại trong không gian tìm kiếm. Bây giờ ta so sánh số cần tìm hoặc phần tử cần tìm với phần tử ở giữa [trung vị] của không gian tìm kiếm, nếu bản ghi cần tìm nhỏ hơn phần tử ở giữa thì ta tìm ở nửa bên trái, ngược lại ta tìm tiếp . Trong tìm kiếm nhị phân, chúng tôi bắt đầu với phần tử 'n' trong không gian tìm kiếm và nếu phần tử ở giữa không phải là phần tử mà chúng tôi đang tìm kiếm, chúng tôi sẽ giảm không gian tìm kiếm xuống 'n/2', chúng tôi tiếp tục giảm không gian tìm kiếm cho đến khi chúng tôi tìm thấy .
Hoạt động tìm kiếm trong cây tìm kiếm nhị phân sẽ rất giống nhau. Giả sử chúng ta muốn tìm kiếm một số, chúng ta bắt đầu từ gốc, sau đó chúng ta so sánh giá trị cần tìm với giá trị của gốc, nếu bằng nhau thì chúng ta hoàn thành việc tìm kiếm nếu nó nhỏ hơn thì chúng ta biết rằng chúng ta cần . Tìm kiếm một phần tử trong cây tìm kiếm nhị phân về cơ bản là quá trình duyệt này, ở mỗi bước chúng ta đi sang trái hoặc phải và ở mỗi bước chúng ta loại bỏ một trong các cây con. Nếu cây cân bằng [chúng ta gọi là cây cân bằng nếu đối với tất cả các nút, sự khác biệt giữa chiều cao của cây con bên trái và bên phải không lớn hơn một], chúng ta bắt đầu với một không gian tìm kiếm gồm 'n' nút và khi chúng ta loại bỏ một trong các cây con. . Trong bước tiếp theo, chúng tôi giảm không gian tìm kiếm xuống 'n/4' và chúng tôi lặp lại cho đến khi chúng tôi tìm thấy phần tử hoặc không gian tìm kiếm của chúng tôi bị giảm xuống chỉ còn một nút. Tìm kiếm ở đây cũng là một tìm kiếm nhị phân do đó có tên;
Thực hành được đề xuấtTìm kiếm một nút trong BSTDùng thử
Thực hiện
C++
10 15 20 30 40 50 6018
10 15 20 30 40 50 6019
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Java
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con trăn
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C#
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Javascript
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_______08____6180
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10 15 20 30 40 50 60196
10 15 20 30 40 50 600____6188
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10 15 20 30 40 50 606
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10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 6068
10 15 20 30 40 50 6069
Hình minh họa để tìm kiếm 6 trong cây bên dưới.
- Bắt đầu từ gốc.
- So sánh phần tử cần tìm với root, nếu nhỏ hơn root thì gọi đệ quy cây con trái, ngược lại gọi đệ quy cây con phải.
- Nếu tìm thấy phần tử cần tìm ở bất kỳ đâu, trả về true, ngược lại trả về false.
Chèn một phím
Một khóa mới luôn được chèn vào lá. Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm khóa từ gốc cho đến khi chạm vào nút lá. Khi một nút lá được tìm thấy, nút mới được thêm vào làm nút con của nút lá.
100 100
/ \ Chèn 40 / \
20 500 ———> 20 500
/ \ / \
10 30 10 30
\
40
Thực hiện
C++
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_______00____088
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10 15 20 30 40 50 60206
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C
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10 15 20 30 40 50 601839
10 15 20 30 40 50 601948
10 15 20 30 40 50 602093
10 15 20 30 40 50 606
10 15 20 30 40 50 607
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602008
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 601959
10 15 20 30 40 50 602093____61961
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 601859
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 601965
10 15 20 30 40 50 602093
10 15 20 30 40 50 601967
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602021
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 606
10 15 20 30 40 50 607
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10 15 20 30 40 50 600____61976
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 6037
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10 15 20 30 40 50 600____6192
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10 15 20 30 40 50 600____61983
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 6037
10 15 20 30 40 50 60086
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 6025
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 601991
10 15 20 30 40 50 60204
10 15 20 30 40 50 601944
10 15 20 30 40 50 602093____61995
10 15 20 30 40 50 602093
10 15 20 30 40 50 60097____0098
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 602093____61999
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 600____6192
10 15 20 30 40 50 602026
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602031
10 15 20 30 40 50 602032
10 15 20 30 40 50 602033
10 15 20 30 40 50 602034
10 15 20 30 40 50 602035
10 15 20 30 40 50 602036
10 15 20 30 40 50 602037
10 15 20 30 40 50 602038
10 15 20 30 40 50 602039
10 15 20 30 40 50 605____62041
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60120
10 15 20 30 40 50 60206____0122
10 15 20 30 40 50 60206____0124
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60126
10 15 20 30 40 50 60206____0128
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60130
10 15 20 30 40 50 60206____0132
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602258
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60136
10 15 20 30 40 50 60137
10 15 20 30 40 50 6069
Đầu ra
10 15 20 30 40 50 6051
Hình minh họa để chèn 2 vào cây bên dưới.
- Bắt đầu từ gốc.
- So sánh phần tử chèn với root, nếu nhỏ hơn root thì gọi đệ quy cây con trái, ngược lại gọi đệ quy cây con phải.
- Sau khi đến cuối, chỉ cần chèn nút đó vào bên trái [nếu nhỏ hơn hiện tại] hoặc bên phải.
Thời gian phức tạp. Độ phức tạp về thời gian trong trường hợp xấu nhất của các hoạt động tìm kiếm và chèn là O[h] trong đó h là chiều cao của Cây tìm kiếm nhị phân. Trong trường hợp xấu nhất, chúng ta có thể phải di chuyển từ nút gốc đến nút lá sâu nhất. Chiều cao của cây bị lệch có thể trở thành n và độ phức tạp về thời gian của thao tác tìm kiếm và chèn có thể trở thành O[n].
Thực hiện. Chèn sử dụng vòng lặp
C++
10 15 20 30 40 50 60139
10 15 20 30 40 50 60140
10 15 20 30 40 50 60141
10 15 20 30 40 50 6073
10 15 20 30 40 50 6074
10 15 20 30 40 50 6075
10 15 20 30 40 50 60145
10 15 20 30 40 50 6076
10 15 20 30 40 50 602080
10 15 20 30 40 50 60194
10 15 20 30 40 50 6084
10 15 20 30 40 50 600____623
10 15 20 30 40 50 60152
_______00____0154
_______00____0156
10 15 20 30 40 50 600____62088
10 15 20 30 40 50 6023
10 15 20 30 40 50 60160
10 15 20 30 40 50 60206____0162
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 601812
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 601814
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 6025
10 15 20 30 40 50 600____6192
10 15 20 30 40 50 601806
10 15 20 30 40 50 60172
10 15 20 30 40 50 601804
10 15 20 30 40 50 60174
10 15 20 30 40 50 6023
10 15 20 30 40 50 6024
10 15 20 30 40 50 6025
10 15 20 30 40 50 600______0179
10 15 20 30 40 50 601839
10 15 20 30 40 50 601948
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 601834
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60186
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 606
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_______00____0193
_______00____0195
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10 15 20 30 40 50 60197
10 15 20 30 40 50 60198
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 60201
10 15 20 30 40 50 602093
10 15 20 30 40 50 60203
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10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 601859
10 15 20 30 40 50 603
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10 15 20 30 40 50 60206
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10 15 20 30 40 50 600____6192
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 60222
10 15 20 30 40 50 60206____0224
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10 15 20 30 40 50 60232
10 15 20 30 40 50 6025
_______00____0195
_______00____0237
10 15 20 30 40 50 600
10 15 20 30 40 50 60197
10 15 20 30 40 50 60240
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 60243
10 15 20 30 40 50 602093____0245
10 15 20 30 40 50 602093____0205
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 601859
10 15 20 30 40 50 6025
10 15 20 30 40 50 602093____0254
10 15 20 30 40 50 602093____0256
10 15 20 30 40 50 602093
10 15 20 30 40 50 60258
10 15 20 30 40 50 60259
10 15 20 30 40 50 601888
10 15 20 30 40 50 602093____0215
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 600____6192
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 601898
10 15 20 30 40 50 6023
10 15 20 30 40 50 601900
10 15 20 30 40 50 6025
_______00____0273
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_______00____0277
_______00____0279
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_______00____0283
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10 15 20 30 40 50 601922
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 60294
Java
10 15 20 30 40 50 60295
10 15 20 30 40 50 60296
10 15 20 30 40 50 60295
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10 15 20 30 40 50 60300
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10 15 20 30 40 50 601804
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10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 602235
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 602033
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 60320
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 602239
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 60328
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 602243
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 602230
10 15 20 30 40 50 602251
10 15 20 30 40 50 6094
10 15 20 30 40 50 60206
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10 15 20 30 40 50 60192
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10 15 20 30 40 50 60344
_______00____0346
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_______00____0351
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10 15 20 30 40 50 6023
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10 15 20 30 40 50 601906
10 15 20 30 40 50 60250
10 15 20 30 40 50 60250
10 15 20 30 40 50 60194
10 15 20 30 40 50 601804
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10 15 20 30 40 50 6023
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10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60374
10 15 20 30 40 50 601839
10 15 20 30 40 50 601948
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10 15 20 30 40 50 60206
10 15 20 30 40 50 60192
10 15 20 30 40 50 60206
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10 15 20 30 40 50 60204
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10 15 20 30 40 50 60397
10 15 20 30 40 50 60204
10 15 20 30 40 50 60399
_______62093____03____0402
_______0403____0404
_______0403____0406
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10 15 20 30 40 50 602093
10 15 20 30 40 50 601859
10 15 20 30 40 50 603
10 15 20 30 40 50 60412
_______0403____0404
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