Việc tính toán độ dài hoặc độ lớn của vectơ thường được yêu cầu trực tiếp dưới dạng phương pháp chính quy hóa trong học máy hoặc là một phần của hoạt động ma trận hoặc vectơ rộng hơn
Trong hướng dẫn này, bạn sẽ khám phá những cách khác nhau để tính độ dài hoặc độ lớn của véc-tơ, được gọi là định mức véc-tơ
Sau khi hoàn thành hướng dẫn này, bạn sẽ biết
- Định mức L1 được tính bằng tổng các giá trị tuyệt đối của vectơ
- Định mức L2 được tính là căn bậc hai của tổng các giá trị vectơ bình phương
- Định mức tối đa được tính là giá trị vectơ tối đa
Bắt đầu dự án của bạn với cuốn sách mới của tôi Đại số tuyến tính cho Học máy, bao gồm các hướng dẫn từng bước và các tệp mã nguồn Python cho tất cả các ví dụ
Bắt đầu nào
- Cập nhật tháng 3/2018. Đã sửa lỗi đánh máy trong phương trình định mức tối đa
- Cập nhật tháng 9/2018. Đã sửa lỗi đánh máy liên quan đến kích thước của các vectơ được xác định
Giới thiệu sơ lược về Định mức vectơ trong Học máy
Ảnh của Cosimo, bảo lưu một số quyền.
Hướng dẫn tổng quan
Hướng dẫn này được chia thành 4 phần;
- định mức véc tơ
- Vectơ L1 Chuẩn
- Định mức véc tơ L2
- Véc tơ định mức tối đa
Cần trợ giúp về Đại số tuyến tính cho Học máy?
Tham gia khóa học xử lý sự cố email miễn phí trong 7 ngày của tôi ngay bây giờ [có mã mẫu]
Nhấp để đăng ký và cũng nhận được phiên bản PDF Ebook miễn phí của khóa học
Tải xuống khóa học nhỏ MIỄN PHÍ của bạn
định mức véc tơ
Việc tính toán kích thước hoặc độ dài của vectơ thường được yêu cầu trực tiếp hoặc là một phần của phép toán vectơ hoặc ma trận vectơ rộng hơn
Độ dài của vectơ gọi là chỉ tiêu của vectơ hay độ lớn của vectơ
Độ dài của vectơ là một số không âm mô tả phạm vi của vectơ trong không gian và đôi khi được gọi là độ lớn hoặc chuẩn của vectơ
— Trang 112, No Bullshit Guide To Linear Algebra, 2017
Độ dài của vectơ luôn là một số dương, ngoại trừ vectơ có tất cả các giá trị bằng 0. Nó được tính bằng cách sử dụng một số biện pháp tóm tắt khoảng cách của vectơ từ gốc của không gian vectơ. Ví dụ, nguồn gốc của một không gian vectơ cho một vectơ có 3 phần tử là [0, 0, 0]
Các ký hiệu được sử dụng để biểu diễn định mức vectơ trong các tính toán rộng hơn và loại phép tính định mức vectơ hầu như luôn có ký hiệu riêng của nó
Chúng ta sẽ xem xét một số phép tính định mức vectơ phổ biến được sử dụng trong học máy
Vectơ L1 Chuẩn
Độ dài của vectơ có thể được tính bằng định mức L1, trong đó 1 là chỉ số trên của L, e. g. L^1
Ký hiệu cho định mức L1 của một vectơ là. v. 1, trong đó 1 là một chỉ số. Như vậy, độ dài này đôi khi được gọi là định mức xe taxi hoặc định mức Manhattan
1
l1[v] =. v. 1
Định mức L1 được tính bằng tổng của các giá trị vectơ tuyệt đối, trong đó giá trị tuyệt đối của một đại lượng vô hướng sử dụng ký hiệu. a1. Trên thực tế, chuẩn là phép tính khoảng cách Manhattan từ gốc của không gian vectơ
1
v. 1 =. a1. +. a2. +. a3
Định mức L1 của vectơ có thể được tính bằng NumPy bằng cách sử dụng hàm Norm[] với tham số để chỉ định thứ tự định mức, trong trường hợp này là 1
1
2
3
4
5
6
7
# l1 chuẩn của một vectơ
từ numpy nhập mảng
từ numpy. linalg nhập chuẩn
a = mảng[[1, 2, 3]]
in[a]
l1 = chuẩn[a, 1]
in[l1]
Đầu tiên, một vectơ 1×3 được xác định, sau đó định mức L1 của vectơ được tính
Chạy ví dụ trước tiên in vectơ đã xác định và sau đó là định mức L1 của vectơ
1
2
3
[1 2 3]
6. 0
Định mức L1 thường được sử dụng khi điều chỉnh các thuật toán học máy như một phương pháp chính quy hóa, ví dụ:. g. một phương pháp để giữ cho các hệ số của mô hình nhỏ và do đó, mô hình ít phức tạp hơn
Định mức véc tơ L2
Độ dài của vectơ có thể được tính bằng định mức L2, trong đó 2 là chỉ số trên của L, e. g. l^2
Ký hiệu cho định mức L2 của một vectơ là. v. 2 trong đó 2 là một chỉ số
1
l2[v] =. v. 2
Định mức L2 tính toán khoảng cách của tọa độ vectơ từ gốc của không gian vectơ. Như vậy, nó còn được gọi là chuẩn Euclide vì nó được tính bằng khoảng cách Euclide từ gốc tọa độ. Kết quả là một giá trị khoảng cách dương
Định mức L2 được tính bằng căn bậc hai của tổng các giá trị vectơ bình phương
1
v. 2 = sqrt[a1^2 + a2^2 + a3^2]
Định mức L2 của một vectơ có thể được tính bằng NumPy bằng cách sử dụng hàm Norm[] với các tham số mặc định
1
2
3
4
5
6
7
# l2 chuẩn của một vectơ
từ numpy nhập mảng
từ numpy. linalg nhập chuẩn
a = mảng[[1, 2, 3]]
in[a]
l2 = chuẩn[a]
in[l2]
Đầu tiên, một vectơ 1×3 được xác định, sau đó định mức L2 của vectơ được tính
Chạy ví dụ trước tiên in vectơ đã xác định và sau đó là định mức L2 của vectơ
1
2
3
[1 2 3]
3. 74165738677
Giống như định mức L1, định mức L2 thường được sử dụng khi điều chỉnh các thuật toán học máy như một phương pháp chính quy hóa, e. g. một phương pháp để giữ cho các hệ số của mô hình nhỏ và do đó, mô hình ít phức tạp hơn
Cho đến nay, định mức L2 được sử dụng phổ biến hơn các định mức vectơ khác trong học máy
Véc tơ định mức tối đa
Độ dài của một vectơ có thể được tính bằng cách sử dụng định mức tối đa, còn được gọi là định mức tối đa
Định mức tối đa của một vectơ được gọi là L^inf trong đó inf là chỉ số trên và có thể được biểu thị bằng ký hiệu vô cực. Ký hiệu cho định mức tối đa là. x. inf, trong đó inf là một chỉ số
1
maxnorm[v] =. v. inf
Định mức tối đa được tính là trả về giá trị tối đa của vectơ, do đó có tên
1
v. inf = tối đa [. a1. ,. a2. ,. a3. ]
Định mức tối đa của một vectơ có thể được tính bằng NumPy bằng cách sử dụng hàm Norm[] với tham số thứ tự được đặt thành inf
1
2
3
4
5
6
7
8
# định mức tối đa của một vectơ
từ numpy nhập inf
từ numpy nhập mảng
từ numpy. linalg nhập chuẩn
a = mảng[[1, 2, 3]]
in[a]
chuẩn tối đa = chuẩn[a, inf]
in[định mức tối đa]
Đầu tiên, một vectơ 1×3 được xác định, sau đó định mức tối đa của vectơ được tính
Chạy ví dụ trước tiên in vectơ đã xác định và sau đó là định mức tối đa của vectơ
1
2
3
[1 2 3]
3. 0
Định mức tối đa cũng được sử dụng như một chính quy hóa trong học máy, chẳng hạn như trên các trọng số mạng thần kinh, được gọi là chính quy hóa định mức tối đa
Tiện ích mở rộng
Phần này liệt kê một số ý tưởng để mở rộng hướng dẫn mà bạn có thể muốn khám phá
- Tạo 5 ví dụ bằng cách sử dụng từng thao tác bằng dữ liệu của riêng bạn
- Thực hiện từng thao tác ma trận theo cách thủ công cho các ma trận được xác định là danh sách các danh sách
- Tìm kiếm các tài liệu học máy và tìm 1 ví dụ về từng thao tác đang được sử dụng
Nếu bạn khám phá bất kỳ tiện ích mở rộng nào trong số này, tôi rất muốn biết
Đọc thêm
Phần này cung cấp nhiều tài nguyên hơn về chủ đề này nếu bạn muốn tìm hiểu sâu hơn
Sách
- Nhập môn Đại số tuyến tính, 2016
- Chương 2, Đại số tuyến tính, Học sâu, 2016
API
- cục mịch. linalg. định mức [] API
Bài viết
- Định mức [toán học] trên Wikipedia
Bản tóm tắt
Trong hướng dẫn này, bạn đã khám phá ra các cách khác nhau để tính toán độ dài hoặc độ lớn của vectơ, được gọi là định mức vectơ