Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
, trong đó a và b là các số nguyên với b {\displaystyle \neq }
0.[1]
Một phần tư
Tập hợp số hữu tỉ ký hiệu là Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
.[2]
Một cách tổng quát: Q = { x | x = m n ; m Z , n Z } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{x|x={\frac {m}{n}};m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z^{*}} \right\}}
Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được.
Các số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là các số vô tỉ.
Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỷ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các phân số p/q, vì mỗi số hữu tỷ có thể biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng hạn các phân số 1/3, 2/6, 3/9,...
Mục lục
- 1 Biểu diễn số hữu tỉ
- 1.1 Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khác
- 1.2 Biểu diễn bằng liên phân số:
- 2 Số hữu tỉ trong quan hệ với các tập hợp số khác
- 3 Xây dựng tập các số hữu tỉ từ tập số nguyên
- 4 Xem thêm
- 5 Tham khảo
- 6 Liên kết ngoài
Biểu diễn số hữu tỉSửa đổi
Biểu diễn trong hệ thập phân và các hệ cơ số khácSửa đổi
Khi biểu diễn số hữu tỉ theo hệ ghi số cơ số 10 [dạng thập phân], số hữu tỉ có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại.
Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn
VD: phân số 4 25 {\displaystyle {\frac {4}{25}}}
có mẫu số là 25 = 5 2 {\displaystyle 25=5^{2}}
không có ước nguyên tố nào khác 5 nên có thể viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn 4 25 = 0 , 16 {\displaystyle {\frac {4}{25}}=0,16}
Một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu có ít nhất 1 ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
Ví dụ 1: phân số 5 7 {\displaystyle {\frac {5}{7}}}
có mẫu số là 7 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
5 7 {\displaystyle {\frac {5}{7}}}
= 0 , 71428571428571428571428571428571... {\displaystyle =0,71428571428571428571428571428571...\,}
= 0 , [ 714285 ] {\displaystyle =0,[714285]\,}
Ví dụ 2: phân số 24 17 {\displaystyle {\frac {24}{17}}}
có mẫu số là 17 nên được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn
24 17 {\displaystyle {\frac {24}{17}}}
= 1 , 4117647058823529411764705882353... {\displaystyle =1,4117647058823529411764705882353...\,}
= 1 , [ 4117647058823529 ] {\displaystyle =1,[4117647058823529]\,}
Dãy các chữ số lặp lại trong biểu diễn thập phân của các số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là chu kỳ, và số các chữ số trong chu kỳ này có thể chứng minh được rằng không vượt quá |b|.
Một cách tổng quát, trong một hệ cơ số bất kỳ, các chữ số sau dấu phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Biểu diễn bằng liên phân số:Sửa đổi
Một số thực là số hữu tỉ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là hữu hạn.
Số hữu tỉ trong quan hệ với các tập hợp số khácSửa đổi
Các tập hợp số. N {\displaystyle \mathbb {N} }
: Tập hợp số tự nhiên Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
: Tập hợp số nguyên Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
: Tập hợp số hữu tỉ R {\displaystyle \mathbb {R} }
: Tập hợp số thực I = R Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
: Tập hợp số vô tỉ
Ta có N Z Q R {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} }
.
Xây dựng tập các số hữu tỉ từ tập số nguyênSửa đổi
Trong toán học hiện đại, người ta xây dựng tập hợp các số hữu tỉ như trường các thương của Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
.
Xét tập tích Decaters: Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}}
= { [ a ; b ] | a Z , b Z } {\displaystyle \{[a;b]|a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} ^{*}\}}
Trên đó xác định một quan hệ tương đương: [ a , b ] [ c , d ] a d = b c {\displaystyle \left[a,b\right]\sim \left[c,d\right]\Leftrightarrow ad=bc}
lớp tương đương của cặp [a, b] được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a cho b: a / b = [ [ a , b ] ] {\displaystyle a/b={\left[[a,b]\right]}_{\sim }}
Tập các lớp này [tập thương] được gọi là tập các số hữu tỷ và ký hiệu là Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
. Trên tập Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*}}
định nghĩa các phép toán: [ a , b ] + [ c , d ] = [ a d + b c , b d ] {\displaystyle \left[a,b\right]+\left[c,d\right]=\left[ad+bc,bd\right]}
[ a , b ] × [ c , d ] = [ a c , b d ] {\displaystyle \left[a,b\right]\times \left[c,d\right]=\left[ac,bd\right]}
Khi đó nếu [ a , b ] [ a , b ] {\displaystyle \left[a,b\right]\sim \left[a',b'\right]}
và [ c , d ] [ c , d ] {\displaystyle \left[c,d\right]\sim \left[c',d'\right]}
thì [ a , b ] + [ c , d ] [ a , b ] + [ c , d ] {\displaystyle \left[a,b\right]+\left[c,d\right]\sim \left[a',b'\right]+\left[c',d'\right]}
; và [ a , b ] × [ c , d ] [ a , b ] × [ c , d ] {\displaystyle \left[a,b\right]\times \left[c,d\right]\sim \left[a',b'\right]\times \left[c',d'\right]}
.
Do đó các phép toán trên có thể được chuyển sang thành các phép toán trên tập các lớp tương đương nói trên, nghĩa là tập Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
.
Để xem Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
là bộ phận của Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
ta nhúng Z {\displaystyle \mathbb {Z} }
vào Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
nhờ đơn ánh cho mỗi số nguyên n ứng với lớp n/1 trong Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
.
Xem thêmSửa đổi
- Số nguyên tố
- Số nguyên
- Số tự nhiên
- Số vô tỉ
- Số đại số
- Số siêu việt
- Số thực
- Số phức
- Số siêu phức
Tham khảoSửa đổi
- ^ Rosen, Kenneth [2007]. Discrete Mathematics and its Applications [ấn bản 6]. New York, NY: McGraw-Hill. tr.105, 158160. ISBN978-0-07-288008-3.
- ^ Rouse, Margaret. Mathematical Symbols. Truy cập ngày 1 tháng 4 năm 2015.
Liên kết ngoàiSửa đổi
- Số hữu tỉ tại MathWorld.