Phương pháp áp dụng
Cho hai phương trình f[x, m] = 0 [1] và g[x, m] = 0 [2]
1. Xác định tham số để phương trình [1] là hệ quả của phương trình [2] [nói cách khác Để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2]], ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
Hướng 1: Nếu [1] & [2] đều giải được.
Ta thực hiện theo các bước sau:
Cho hai phương trình f[x, m] = 0 [1] và g[x, m] = 0 [2]
1. Xác định tham số để phương trình [1] là hệ quả của phương trình [2] [nói cách khác Để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2]], ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
- Giải và tìm nghiệm x = x$_0$ của [1].
- Để phương trình [1] là hệ quả của phương trình [2], trước hết cần x = x$_0$ cũng là nghiệm của [2], tức là: g[x$_0$, m] = 0 => m = m$_0$.
- Vậy m = m$_0$ chính là điều kiện cần.
- [1] f[x, m$_0$] = 0 => nghiệm của [1]
- [2] g[x, m$_0$] = 0 => nghiệm của [2]
- Kết luận.
Hướng 1: Nếu [1] & [2] đều giải được.
Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Giải [1] để tìm tập nghiệm D$_1$. Giải [2] để tìm tập nghiệm D$_2$.
- Bước 2: Thiết lập điều kiện để D$_1$ = D$_2$.
- Bước 1: Điều kiện cần: Giải và tìm nghiệm x = x$_0$ của [1]. Để phương trình [1] & [2] tương đương, trước hết cần x = x$_0$ cũng là nghiệm của [2], tức là: g[x$_0$, m] = 0 => m = m$_0$. Vậy m = m$_0$ chính là điều kiện cần.
- Bước 2: Điều kiện đủ: Với m = m$_0$, ta được: [1] f[x, m$_0$] = 0 => nghiệm của [1] và [2] g[x, m$_0$] = 0 => nghiệm của [2]
Thí dụ 1. Cho hai phương trình: $\sqrt {x + 1} - 2 = 0$, [1] và x$^2$ - 2mx - m$^2$ - 2 = 0. [2]
Tìm m để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2].
Giải
Biến đổi [1] về dạng: $\sqrt {x + 1} = 2$ x + 1 = 4 x = 3.Do đó, để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2] điều kiện là x = 3 cũng là nghiệm của [2], tức là:
9 - 6m - m$^2$ - 2 = 0 m$^2$ + 6m - 7 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 7\end{array} \right..$
Vậy, với m = 1 hoặc m = -7 thoả mãn điều kiện đầu bài.
* Nhận xét: Như vậy, trong lời giải của thí dụ trên ta đã không sử dụng mẫu phương pháp điều kiện cần và đủ bởi các lý do sau:
- Phương trình [1] không chứa tham số.
- Dễ dàng tìm được tất cả các nghiệm của [1] và phép thử các nghiệm đó vào [2] đơn giản.
Trong trường hợp [1] có chứa tham số ta cần chỉ ra được một nghiệm tường minh của [1] để tìm được điều kiện cần cho m. Cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau:
Thí dụ 2. Cho hai phương trình: x$^2$ - [m + 2]x + m + 1 = 0, [1]
x$^3$ - 2x$^2$ - mx - m$^2$ + 3 = 0. [2]
Tìm m để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2].
Giải
Điều kiện cần: Nhận xét rằng với mọi m phương trình [1] luôn có nghiệm x = 1.Do đó, để mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2] trước hết cần x = 1 cũng là nghiệm của [2], tức là:
1 - 2 - m - m$^2$ + 3 = 0 m$^2$ + m - 2 = 0 $ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right..$.
Đó chính là điều kiện cần của m.
Điều kiện đủ: Ta lần lượt:
Với m = 1, ta được:
[1] x$^2$ - 3x + 2 = 0 x = 1 hoặc x = 2.
[2] x$^3$ - 2x$^2$ - x + 2 = 0 [x - 1][x$^2$ - x - 2] = 0 x = ±1 hoặc x = 2.
suy ra mọi nghiệm của [1] cũng là nghiệm của [2], tức m = 1 thoả mãn.
Với m = -2, ta được:
[1] x$^2$ - 1 = 0 x = ±1.
[2] x$^3$ - 2x$^2$ + 2x - 1 = 0 [x - 1][x$^2$ - x + 1] = 0 x = 1.
suy ra x = -1 không là nghiệm của [2], tức m = -2 không thoả mãn.
Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài.