Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số là dạng bài toán cực trị không ít lần khiến các em học sinh lo ngại, đặc biệt là trong bài tập hằng ngày và các đề thi. Hôm nay, VUIHOC sẽ tổng hợp toàn bộ lý thuyết bao gồm các định lý, quy tắc và các dạng bài tập cực trị hàm số điển hình trong chương trình Toán lớp 10.
Để hiểu phần kiến thức về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, học sinh cần nắm vững định lý sau đây:
Định lý: Cho hàm số $y=f[x]$ được xác định trên tập hợp D.
-
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f[x]$ trên D khi và chỉ khi $f[x]M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ thoả mãn $f[x_0]M$. Ký hiệu $M=maxf[x]$
-
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f[x] trên D khi và chỉ khi $f[x]m$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_0\in D$ thoả mãn $f[x_0]M$. Ký hiệu $M=minf[x]$
Tổng quát:
2. 5 dạng bài tập điển hình tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 10
Bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số được chia thành rất nhiều dạng khác nhau. Tuy nhiên khi tổng quát hoá và gộp chung lại, VUIHOC nhận thấy có 5 dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số điển hình sau đây.
2.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Các bước giải:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số [nếu chưa có sẵn ở đề bài]
Bước 2: Tính $f’[x]$, giải phương trình $f’[x]=0$ tính giá trị $x_1, x_2, x_3,...$
Bước 3: Tính giá trị $f[x_1], f[x_2], f[x_3],...$ và $f[a], f[b]$
Bước 4: So sánh và kết luận.
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là gtln gtnn của hàm số $y=x^3-3x^2+1$ trên [1;2]. Tính tổng M+m?
Hướng dẫn giải:
Tập xác định của hàm số y là $D=\mathbb{R}$
Ta có:
Ví dụ 2: Tìm gtln gtnn của hàm số trên đoạn lớp 10 [0;]
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Cho hàm số $y=f[x]$ liên tục và luôn nghịch biến trên đoạn [a;b]. Hỏi hàm số $f[x]$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
$y=f[x]$ liên tục và luôn nghịch biến trên [a;b] => với mọi $x\in [a;b]$ thì $f[b]\leq a\leq f[a]$.
Suy ra hàm số $y=f[x]$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x=a$.
2.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Cách giải của dạng toán này tượng như dạng tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn. Tuy nhiên, có những hàm số tồn tại gtnn gtln trên tập xác định nhưng trên khoảng của đề bài cho thì lại không tồn tại. Đối với những bài toán “đánh đố” này, nhiều bạn học sinh sẽ rất dễ bị mất điểm. Cùng VUIHOC tìm hiểu phương pháp chung để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng.
Phương pháp giải theo cách tự luận:
Xét khoảng hoặc nửa khoảng D, ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Tính $f’[x]$, giải phương trình $f’[x]=0$ để tìm nghiệm trên tập D.
-
Bước 2: Lập bảng biến thiên cho hàm số trên tập D.
-
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và định lý gtln gtnn của hàm số, ta suy ra yêu cầu đề bài cần tìm.
Phương pháp giải bằng máy tính CASIO:
-
Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f[x]$ trên miền [a;b] ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 [MODE 9 lập bảng giá trị]
-
Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.
Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step [có thể làm tròn để Step đẹp].
Lưu ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx,… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số $y=-3x^2+3x+1$ trên khoảng $[1;+\infty ]$
Hướng dẫn giải:
Tập xác định của hàm số $D=[0;+\infty ]$
Ta có:
Xét bảng biến thiên:
Kết luận: hàm số đạt max $y=3$ và không tồn tại min y.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 10 $y=x+\frac{4}{x}$ trên khoảng $[0; +\infty ]$
Hướng dẫn giải [ví dụ này ta có thể giải theo 2 cách]
Cách 1: Vì hàm số xác định trên khoảng [0;+\infty ] nên $x>0$ và $\frac{4}{x}>0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $x$ và $\frac{4}{x}$ ta được:
Kết luận: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4, dấu bằng xảy ra khi $x=2$.
Cách 2:
Tập xác định của hàm số: $D=[0;+\infty ]$
Ta có:
Lập bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4, dấu bằng xảy ra khi x=2
2.3. Dạng 3: Ứng dụng GTLN, GTNN vào giải toán thực tế
Dạng toán thực tế là những chủ đề lạ và khó, đòi hỏi các em học sinh phải linh hoạt trong phương pháp giải đồng thời biết cách phối hợp các hướng làm để đưa được ra đáp án đúng. Một dạng toán thực tế xuất hiện khá nhiều trong chương trình học cũng như các kỳ thi quan trọng, đó là ứng dụng tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Cùng VUIHOC xét các ví dụ sau đây.
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật có chu vi không đổi là 8 m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Gọi 2 kích thước của hình chữ nhật là a,b => $a+b=4$
Ta có:
Kết luận: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng $4m^2$.
Ví dụ 2: Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh dài 18cm. Thợ cơ khí cắt ở 4 góc của tấm nhôm đó lấy ra 4 hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, sau đó gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một chiếc hộp không có nắp. Tìm x để chiếc hộp sau khi gấp lại có thể tích lớn nhất?
Hướng dẫn giải:
Khối hộp có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng $18-2x$, chiều cao của khối hộp là x.
2.4. Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f[x] + g[m]| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
Phương pháp giải:
-
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số cho trước.
-
Bước 2: Gọi M là giá trị lớn nhất của số $y=\left | f[x]+g[m] \right |$ thì:
M = max{|α + g[m]|; |β + g[m]|}≥|α + g[m]|
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |α + g[m]| = |β + g[m]|
Áp dụng bất đẳng thức, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [α + g[m]]․[β + g[m]] ≥ 0
Ví dụ 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |$x^2 + 2x + m – 4$| trên đoạn [-2;1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Đặt $f[x]=x^2+2x$. Ta có:
$f’[x]=2x+2$
$f’[x]=0$ ⇔ x = $-1\in [-2; 1]$
$f[-2]=0; f[1]=3; f[-1] = -1$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
⇒ m = 3 [thỏa mãn]
Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f[x;m]=\left | x^2-2x+5 \right |+mx$ đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Ta có min f [x, m] ≤ f [0, m] = 5, ∀ m ∈ ℝ
Xét m = 2 ta có f [x,2] = |$x^2 – 2x + 5$| + 2x ≥ $x^2 – 2x + 5 + 2x$ ≥ 5, ∀ x ∈ ℝ
Dấu bằng xảy ra tại x = 0. Suy ra min f [x, 2] = 5, ∀ x ∈ ℝ
Do đó ⇒ max [min f [x, m]] = 5, đạt được khi m = 2
Tổng quát: y = |$ax^2 + bx + c$| + mx
Trường hợp 1: $a․c > 0$ ⇒ max [miny] = c
Đạt được khi $m = -b$
Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f [x, m] = |x2 – 4x – 7| đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Phương trình $x^2 – 4x – 7$ luôn có hai nghiệm trái dấu $x_1